橫觀各向同性地基應(yīng)力和位移解析解的新求法

橫觀各向同性地基應(yīng)力和位移解析解的新求法

1土地基屬性對稱原理的應(yīng)用基底設(shè)計(jì)和計(jì)算理論主要用于解決地表（或一定埋深）引起的地下坍塌的額外力和位移?，F(xiàn)在，在軸向同性線靈活性理論中，基本解是由每向同性線的離散部分獲得的。實(shí)際上巖土地基接近橫觀各向同性,對于橫觀各向同性體軸對稱問題的研究,勒克尼茨開(Leknitskii)于1940年給出了橫觀各向同性體軸對稱問題的通解。丁皓江等于1988年從基本方程出發(fā)推導(dǎo)出了此問題應(yīng)力解法的通解。Gerrard和Wardle等人于1971~1973年間得到了層狀橫觀各向同性地基表面軸對稱荷載作用下的解析解。文獻(xiàn)通過對拉甫函數(shù)的修正,僅得到了反映地基巖土各向異性的指標(biāo)S1=S2情況下的解答,此解只是一種特殊情況下的解答,對于大多數(shù)地基巖土反映出來的各向異性性質(zhì)往往是S1≠S2,因此通過對各向同性下的拉甫位移解重新修正,利用Hankel積分變換理論,主要討論S1≠S2時(shí)軸對稱荷載作用下地基中的應(yīng)力和位移解,并進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,此解具有一般性。2應(yīng)力分量的表示在不考慮體積力作用下的平衡微分方程利用軸對稱問題的平衡微分方程(1)式、幾何方程和本構(gòu)方程,可得到用位移分量表示應(yīng)力分量的方程如下:式中E1,μ1——橫觀各向同性面內(nèi)的彈性模量和泊松比;E2,μ2——垂直橫觀各向同性面內(nèi)的彈性模量和泊松比;G2——垂直橫觀各向同性面內(nèi)的剪切模量可以看出只要測定出橫觀各向同性地基五個獨(dú)立彈性常數(shù)E1、E2、μ1、μ2、G2,便可得到(2)式中的參數(shù)dij。3進(jìn)行重新對稱位移解的修正在文獻(xiàn)中通過引入修正的拉甫[Love]位移函數(shù)?(r,z),到了橫觀各向同性地基軸對稱問題在S1=S2情況下應(yīng)力和位移的解析解,但無法得出S1≠S2情況時(shí)的解,原因在于對拉甫位移函數(shù)的修正并不能完全反映地基的各向異性,在此重新對Love位移解進(jìn)行修正如下:由(1)、(2)、(3)式可以求得1a、1b,以及橫觀各向同性軸對稱問題的相容方程:式中式中各參數(shù)如下:對于相容方程(4)式在各向異性指標(biāo)s1≠s2和s1=s2時(shí),其結(jié)果是不相同的,下面就這兩種情況分別進(jìn)行討論:3.1同性彈性體的退化當(dāng)s1=s2時(shí)相容方程(4)式變?yōu)?由上式和(2)式可以看出,只要令d11=d33=λ+2G,d12=d13=λ,d55=G,s1=s2=1(λ,G為Lame系數(shù))就可以退化到各向同性彈性體的解答,文獻(xiàn)對此情況作了詳細(xì)的討論,在此不再贅述。此種情況是一種特殊的情況,不具有一般性。3.2橫向位移荷載同理當(dāng)s1≠s2時(shí),根據(jù)巖土地基橫觀各向同性彈性常數(shù)的測定,對于大多數(shù)巖土地基都屬于這種情況,因此這種情況下的解答具有一般性。為此,對相容方程(4)式進(jìn)行漢克爾變換,可以求得?(ξ,z)。由(7)式和(5)式可得:若橫觀各向同性地基表面(Z=0)上作用有軸對稱垂直荷載,如圖所示,則有邊界條件:由于當(dāng)r→∞時(shí),J0(ξr)、J1(ξr)都趨近于零,所有應(yīng)力與位移分量(8)式都能滿足(c)式要求,要使(d)式滿足,只有C=D=0時(shí)才能使當(dāng)Z無限大時(shí)應(yīng)力與位移都趨近于零。將C=D=0和Z=0代入(8)式中的σz和τrz的積分表達(dá)式,則表面邊界條件(a)、(b)可寫成以下兩式:式中將A、B、C、D代入(8)式并進(jìn)行漢克爾逆變換,得到軸對稱垂直荷載作用下橫觀各向同性地基的應(yīng)力和位移分量表達(dá)式,僅列出ur,w,σz,τrz。式中4一些常見的負(fù)荷作用下的橫向各向同性基本的解釋4.1剛性承載板下的均布荷載圓形面積上軸對稱垂直荷載的表達(dá)式為:式中:m—荷載類型系數(shù)(m>0),當(dāng)m=1為圓形均布荷載:為圓形剛性承載板下的荷載;為圓形面積上的半球形荷載(本文未作討論)。對上式進(jìn)行零階漢克爾積分變換:將和x=ξa代入(10)式,便可得到橫觀各向同性地基的應(yīng)力和位移分量統(tǒng)一表達(dá)式如下:4.2不同承載板下的應(yīng)力和位移若橫觀各向同性地基表面上作用有以a為半徑的圓形均布垂直荷載(基礎(chǔ)為柔性承載板),見圖2,在圓形面積外無荷載作用,即式中:p—均布荷載集度,P—作用于表面上的總垂直力圓形均布荷載p(r)的零階漢克爾積分變換式為:將和x=ξa代入(10)式,便可得到圓形均布垂直荷載作用下的橫觀各向同性地基應(yīng)力和位移表達(dá)式如下:上式一般難以求得其精確解,而對于某些特殊點(diǎn),例如在z軸上(r=0)和表面上(z=0),則可以求得其精確解。(1)對于z軸上任意一點(diǎn)的應(yīng)力和位移分量,可將(r=0)代入(14)式,在計(jì)算中應(yīng)注意到在r=0時(shí)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)以及貝塞爾函數(shù)的無窮積分式:將以上式子代入(14)式,則可得:圖5、圖6為圓形面積上均布荷載作用下Z軸上的應(yīng)力和位移的比較曲線。圖7、圖8為剛性承載板下Z軸上的應(yīng)力和位移的比較曲線。圖9、圖10為剛性承載板下地基表面上的應(yīng)力和位移的比較曲線。對于地基中任意一點(diǎn)的應(yīng)力和位移可以由(14)、(18)、(20)由MATHCAD7.0軟件在0-1000范圍內(nèi)進(jìn)行積分,可以得到較高精度的解。以圓形均布荷載為例,計(jì)算了地基中的應(yīng)力和位移值。以上求得的應(yīng)力和位移系數(shù)是在特定地基條件下的值,對于不同的地基彈性參數(shù)不同,其應(yīng)力和位移系數(shù)是不相同的。6半無限地基在幾種常見荷載作用下應(yīng)力和位移解析解的比較1、對于某些場合下將各向異性地基視為各向同性地基來進(jìn)行計(jì)算和設(shè)計(jì),所得出的結(jié)果肯定會有誤差。由于將這些地基視為橫觀各向同性體能更好地反映巖土介質(zhì)的實(shí)際性狀,因此按橫觀各向同性地基模型得出的解答將會在很大程度上提高計(jì)算精度,減小誤差。2、通過對各向同性彈性體力學(xué)中拉甫位移函數(shù)重新修正,應(yīng)用位移解法,以及Hankel積分變換理論,得到了半無限地基在幾種常見荷載(圓形均布、集中力、剛性承載板)作用下的應(yīng)力和位移解析解。3、通過比較可以看出按橫觀各向同性地基模型得到的應(yīng)力和位移曲線與各向性計(jì)算結(jié)果的變化規(guī)律一致,只是在數(shù)值上有一定的差別,而對于剛性承載板下地基表面上按兩種地基計(jì)算得到的應(yīng)力在數(shù)值上完全相同。由(2)、(3)式中可以求得應(yīng)力分量和位移分量的通解,并對其進(jìn)行漢克爾積分變換,得到象域內(nèi)通解的形式(僅列出):p—均布荷載集度(2)對于橫觀各向同性彈性地基表面(z=0)上任意一點(diǎn)的應(yīng)力和位移分量,也可以直接積分求得其解析表達(dá)式,換算時(shí)可將(z=0)代入(14),并運(yùn)用含貝塞爾函數(shù)的無窮積分,可得表面上距離z軸r遠(yuǎn)的位移和應(yīng)力,限于篇幅直接給出最后表達(dá)式:4.3集中力作用下的boussinesq問題對于橫觀各向同性地基表面上有P大小的垂直集中力作用的問題,在此仍稱之為橫觀各向同性的Boussinesq問題,其荷載形式(見圖3)如下:集中力的漢克爾積分變換式為將上述結(jié)果代入(10)式并運(yùn)用以下貝塞爾函數(shù)積分式:其中,則可以得到集中力作用下橫觀各向同性地基應(yīng)力和位移分量表達(dá)式:4.4橫向應(yīng)力和位移分布如果作用在地基表面的基礎(chǔ)很厚那么這一類型的基礎(chǔ)稱為剛性基礎(chǔ),隨著高層建筑的增多,剛性基礎(chǔ)越來越多,因此有必要對剛性承載板下橫觀各向同性地基的應(yīng)力和位移分布作進(jìn)一步的研究。剛性承載板下荷載分布的形式如圖4所示:荷載的零階漢克爾積分變換式為:將將代入(16)式便可得到剛性承載板下橫觀各向同性地基的應(yīng)力和位移分量表達(dá)式如下:(1)橫觀各向同性彈性地基表面(z=0)上任意一點(diǎn)的應(yīng)力和位移分量可以得到,僅給出最后解答。(2)對于z軸上任意一點(diǎn)的應(yīng)力與位移分量,將r=0代入(20)式可得:式中5彈性參數(shù)選取為了驗(yàn)證本方法的正確性,以及同按各向同性地基計(jì)算得到的解進(jìn)行比較,這里對橫觀各向同性地基與各向同性地基進(jìn)行了計(jì)算。在計(jì)算中,橫觀各向同性地基的彈性參數(shù)取文獻(xiàn)表1中的彈性