《高等數(shù)學(xué)（上冊）》（陽平華）645-4教案 第二章 第7課 求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

第課第課求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式7求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式第課7PAGE10 PAGE10PAGE9 PAGE9求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式第課7

課題求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式課時(shí)2課時(shí)（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則。（2）熟記16個(gè)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式思政育人目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式教學(xué)難點(diǎn)：利用初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計(jì)第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計(jì)意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報(bào)請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，并通過例題講解介紹其應(yīng)用定理1（導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則）設(shè)，在點(diǎn)可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母為0的點(diǎn)除外）都在點(diǎn)可導(dǎo)，且（1）；（2）；（3）．證明首先我們看的導(dǎo)數(shù)，由定義可得．所以可導(dǎo)，且．再看的導(dǎo)數(shù)，由定義可得．這里是由可導(dǎo)必連續(xù)得到，所以可導(dǎo)，且．同理我們可證得也可導(dǎo)且．公式中的，和，可簡單表示為，，，．定理1中的法則（1）、（2）可推廣到任意有限個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．例如，若，，可導(dǎo)，則有，．易知(為常數(shù))．例1設(shè)，求及．解，．例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解．例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解．同理可求得．例4求正割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解．同理可求得．利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，可以得到如下基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：，，，．【學(xué)生】掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則【教師】講解反函數(shù)的求導(dǎo)法則，并通過例題講解介紹其應(yīng)用定理2（反函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)可導(dǎo)，則其反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，即．證明定理的條件已保證反函數(shù)存在，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、連續(xù)．，給以增量，由的單調(diào)性知，于是有，所以．定理2可簡單敘述成：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)．例5求正弦函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解由于在上單調(diào)可導(dǎo)，由定理2可知．因?yàn)椋?，所以，所以．同理可證余弦函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．例6求正切函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解因?yàn)檎泻瘮?shù)在上單調(diào)可導(dǎo)，由定理2可知．同理可證余切函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為．由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，且，利用定理2可求得的導(dǎo)數(shù)為．【學(xué)生】理解反函數(shù)的求導(dǎo)法則學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（20min）【教師】講解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并通過例題講解介紹其應(yīng)用定理3（復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，在對應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有或．證明因?yàn)楹瘮?shù)是由，復(fù)合而成的，在點(diǎn)可導(dǎo)，在對應(yīng)的點(diǎn)可導(dǎo)，則有，，，，這樣我們可得復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式或．定理3也稱為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t．本法則可推廣到求多個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例如，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，在對應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，在對應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且有．例7設(shè)，證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(為常數(shù))．證明，顯然是由，復(fù)合而成的，因?yàn)樵邳c(diǎn)可導(dǎo)，在點(diǎn)可導(dǎo)，由定理3可知．因此，所有有理指數(shù)的冪函數(shù)均可求導(dǎo)，如．例8，求．解是由，復(fù)合而成的，所以．例9，求．解是由，復(fù)合而成的，所以．當(dāng)復(fù)合函數(shù)中間變量有多個(gè)時(shí)，求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，按中間變量順序依次求導(dǎo)即可．例10，求．解是由，，復(fù)合而成的，所以．例11，求．解是由復(fù)合而成的，所以．當(dāng)求導(dǎo)熟練以后，則可不必寫出中間變量，例11也可直接解為．例12，求解【學(xué)生】理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【教師】講解基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，并通過例題講解介紹其應(yīng)用1．基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式（1）(為常數(shù))；（2）(為常數(shù))；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）； （12）；（13）；（14）；（15）；（16）．2．基本求導(dǎo)法則（1）；（2）；（3）(是常數(shù))；（4）；（5）；（6）若的反函數(shù)為，則或；（7）若，則或．【學(xué)生】熟記16個(gè)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式。邊做邊講，及時(shí)鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題1．設(shè)與在處都不可導(dǎo)，能否斷定(，為常數(shù))在處一定可導(dǎo)或一定不可導(dǎo)？2．若是的反函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)可導(dǎo)，則其反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)結(jié)論正確嗎？【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解課堂測驗(yàn)（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的相關(guān)知識及其應(yīng)用。課后大家要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識點(diǎn)【教師