三垂線定理及其逆定理-人教版原創(chuàng)

pO自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影；這個點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段。Q(1)射影第一頁第二頁，共18頁。一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足。斜線上一點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段。ACB過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影；垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影。

斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上。第二頁第三頁，共18頁。ACBO

定理

從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長（3）垂線段比任何一條斜線段都短第三頁第四頁，共18頁。A

aOP

已知PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影。a

，a⊥AO。求證：a⊥PO在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。三垂線定理第四頁第五頁，共18頁。A

aOP證明：a⊥POPA⊥

a

AO⊥a，AO與PA相交a⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥a第五頁第六頁，共18頁。PCBA例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC

平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BC第六頁第七頁，共18頁。例2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD第七頁第八頁，共18頁。PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我們要學會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧，怎么找？第八頁第九頁，共18頁。三垂線定理解題的關鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內的射影和平面內的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOaα第九頁第十頁，共18頁。PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：①相交直線②異面直線使用三垂線定理還應注意些什么？解題回顧第十頁第十一頁，共18頁。直線a在一定要在平面內，如果a不在平面內，定理就不一定成立。PAOaα例如：當b⊥時，

b⊥OA注意：如果將定理中“在平面內”的條件去掉，結論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP解題回顧第十一頁第十二頁，共18頁。PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內的直線和平面的一條斜線垂直第十二頁第十三頁，共18頁。線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內的一條直線和平面的一條斜線在平面內的射影垂直平面內的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？第十三頁第十四頁，共18頁。在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面

的垂線和斜線，AO是PO在平面

的射影,a

,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理第十四頁第十五頁，共18頁。三垂線定理的逆定理

在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直

線斜垂直定理逆定理第十五頁第十六頁，共18頁。例3在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求證：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.證明：作AO⊥平面BCD于點O，