全等三角形.第2講.全等三角形與中點問題.教師版中學(xué)課件

是BC的中點，過A作是BC的中點，過A作AEDE，AFDF，且AEAF．求證：EDBFDC．...AEFBDC【解析】本二、中位線的應(yīng)用【例12】AD是ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，BF的延長線交AC于E．求證：AEAC取AB中點Q，AC中點R連結(jié)PQ，PR，MQ，NRPQ∥AC，PQ＝AC＝NR∠PQM＝∠PRN(兩EDN，即BM2BE2因為DBEMDN90，故MEMN，因此DM2DN2MN2ME2，ME2，則MB第二講板塊板塊全等三角形的性質(zhì)與判定A級要求會識別全等三角形考試要求B級要求掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)，會用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題C級要求會運用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)中線中位線相關(guān)問題(涉與中點的問題)在涉與線段的等量關(guān)系時，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見．連結(jié)AD．∵ABAC，BAC90∴BC45∵D是BC中點∴BAD45且ADBC∵EDDF∴EDAAD據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)與中位線的性質(zhì)有MF∴DNF∴BMCCMF連結(jié)AD．∵ABAC，BAC90∴BC45∵D是BC中點∴BAD45且ADBC∵EDDF∴EDAAD據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)與中位線的性質(zhì)有MF∴DNF∴BMCCMF，∵BMAM，∴MBACAB．CAF與EF相等嗎？為什么？AFDCAC，延長BE交AC于B【解析】延長AD到G，使DGAD，連結(jié)BGK、N．由基本圖可知，△AEH≌△BAN，△BCN≌△CDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=B2∴AM(ABAC)【解析】如圖所示，延長AM到D，使DMCMAM，連結(jié)BD，ADAM(ABAC)．2【例2】(XX省20XX初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試(XX市)數(shù)學(xué)試卷)如圖，在ABC中，D是BC邊的中點，F(xiàn)，利用SAS證得ACM≌DBM，∴BDACABD中，ADABBD，∴2AMABAC1【例1】(20XXXX市中考題)在△ABC中，AB5,AC9，則BC邊上的中線AD的長的取值X圍是什[點評]此題很好的運用中線倍長的方法，若運用其他的方法將會更加麻煩是常用幾何思想，但注意倍長中線的主要目的是通過構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來．平移也有類似功效．F90...∵ADE∴BDEEDB90ADF在BDE是常用幾何思想，但注意倍長中線的主要目的是通過構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來．平移也有類似功效．F90...∵ADE∴BDEEDB90ADF在BDE與ADF中，易證明AME≌FMB則AEFB，EAFF，從而AE∥FB，ANF90而CADDAB90，從而CAD≌ADBC，E為BC邊的中點．求證：AB2DE．ABDEC【解析】如右下圖，則取AC邊中點F，連結(jié)EFCCAFBDE又∵BDECDF，BDCD∴BDE≌CDF．【解析】延長AD到E，使ADDE，連結(jié)BE．在ADC和EDB中ADEDADCEDB∴ADC≌EDBDCDB∴ACEB，CADBEA在ABE中，∵AB<AC，∴ABEB∴AEB<EAB，∴DAC<DAB．(如果取AB中點用中位線也可證，目AFEBDCG前還不能)【例4】(20XXXX市高中階段教育學(xué)校招生考試)已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點E是CD的中ADFEB又∵AD∥BC，F(xiàn)在AD延長線上∴DFECBE，F(xiàn)DEBCE在BCE與FDE中EBCECBCEDEEFDEDF∴BCE≌FDE(AAS)F90...∵ADE∴BDEEDB90ADF在BDE與ADF中，AD到F90...∵ADE∴BDEEDB90ADF在BDE與ADF中，AD到G，使DG∵BDCD，BDGAFDGAD，連結(jié)BGCDA，ADGD∴ADC≌GDB∴ACGB．DE中EBCECBCEDEEFDEDF∴BCE≌FDE(AAS)...【例5】如圖所示，在ABC和A邊分別垂直)∴△PQM≌△NRP，PM＝PNRC家庭作業(yè)【習(xí)題1】如圖，在等腰ABC中，ABAC，DDCCD【例5】如圖所示，在ABC和ABC中，AD、AD分別是BC、BC上的中線，且ABAB，ACAC，ADAD，求證ABC≌ABC．ABCE【解析】如圖所示，分別延長AD、AD連接BE、BE，則AE2AD，至E、E，使DEAD，DEAD．AE2AD．因為ADAD，所以AEAE．故ADC≌EDB，從而ACEB，ADCEDB，BDCD，ECAD．因為ACAC，所以BEBE．在ABE和ABE中，ABAB，所以ABE≌ABE，從而EBACBAC．在ABC和ABC中，ABAB，EB，ECAD．BEBE，AEAE，E，BAEBAE，故BACBAC，ACACCADEECAD，則，故ABC≌ABC．BFAAGEDFAGBEH【解析】延長FE到點H，使HE在CEF和BEH中CEBECEFBEHFEHEFE，連結(jié)BH．∴CEF≌BEH請分別寫出猜想，并任選MNDFHEBCFNME【解析】圖2：圖3：AMFENBAMFENB180證明DAC的中位線，從而BG由請分別寫出猜想，并任選MNDFHEBCFNME【解析】圖2：圖3：AMFENBAMFENB180證明DAC的中位線，從而BG由BG∥AC可得GBCACB從而ECGC，CD2CE．1AC2ABC1ABB，F(xiàn)NBNDM，又已知DEDF，從而DEM≌FDN．(2)由(1)可知EMDDNF，則由AMD而AM例21】如圖，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，EFDB1BC=CD，F(xiàn)為DE的中點，F(xiàn)M⊥ACBECDCBFC∴EHB∴AFGEHB，CFBHBGE，而BGEAGFBGAGF又∵EF∥AD∴AFG∴CADCAD，AGFBADBADAFEBDC【解析】延長AD到G，使DG∵BDCD，BDGAFDGAD，連結(jié)BGCDA，ADGD∴ADC≌GDB∴ACGB．GEAF又∵AFEF，∴EAFAEF∴GBED∴BEBG，∴BEAC．【例8】已知AD為ABC的中線，ADBBECFEF．AEEFB，ADC的平分線分別交AB于E、交AC于F．求證：AEDN【解析】延長FD到N，使DNDF，連結(jié)BN、EN．EFCE．容易證明EBF≌EAC，從而BFAC，而ACABBD，故BFBD．注意到CBDBACACB例21】如圖，AEEFCE．容易證明EBF≌EAC，從而BFAC，而ACABBD，故BFBD．注意到CBDBACACB例21】如圖，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，EFDB1BC=CD，F(xiàn)為DE的中點，F(xiàn)M⊥AC題相對例題簡單一些．連結(jié)AD，則ADBC．∵AEAF，ADAD，∴RtAED≌RtAFD∴ADEAD，ABAC，BAC90，D是BC中點，ED交于F．求證：BEAF，AECF．AFEB【解析】方法一：AD2CDB由此可得AD2BC2FDEC易證BND≌CFD，∴BNCF，又∵ADB，ADC的平分線分別交AB于E、交AC于F，∴EDFEDN90，利用SAS證明EDN≌EDF，∴ENEF，在EBN中，BEBNEN，∴BECFEF．1AB24ABC中，D是BC的中點，DM垂直于DN，如果BM2CN2DM2DN2，求證AC2．BAMMNDAMNCE【解析】延長ND至E，使DEDN，連接EB、EM、MN．因為DEDN，DBDC，BDECDN，則BDE≌CDN．從而BECN，DBEC．而DEDN，即BM2BE2因為DBEMDN90，故MEMN，因此DM2DN2MN2ME2，ME2，則MBE90，即MBDDBE90．C，故MBDC90，則BAC90．AD為RtABC斜邊BC上的中線，故ADAB2AC2．1BC．2AGB至點G，使得DFFG，聯(lián)結(jié)GB、GE．由AFFB，有ADF≌BGFBGAD3ADFBGFAD∥GBGBEACB180CE【解析】如圖所示，分別延長AD、AD連接BECE【解析】如圖所示，分別延長AD、AD連接BE、BE，則AE2AD，A'D'E'至E、E，使DEA為斜邊作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是邊BC的中點．求證：PM＝PNAQMPBN【解析】證明：A的延長線于點F，交EF于點G，若BGCF，求證：AD為ABC的角平分線．BFEDFAGBEH【解析，從而ACEB，ADCEDB，BDCD，ECAD．同理，ADC≌ED'B，則AC因為ACAC，所以BEBGBE90GEGB2EB25．又DFFG，EFDGDEGE5．線段BE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角AFCDAEFBDCG在CDF和BDG中CDBDCDFBDGFDGDGD，連結(jié)EG、BG．∴CDF≌BDG∴BGCF，F(xiàn)CDGBD∴ABCACB90∴ABCGBD90在EDF和EDG中EDEDEDFEDG90FDGD∴EDF≌EDG∴EFEG故以線段BE、EF、FC為邊能構(gòu)成一個直角三角形．【例11】如圖所示，BACDAE90，M是BE的中點，ABAC，ADAE，求證AMCD．DAC的中位線，從而BG由BG∥AC可得GBCACB從而ECGC，CD2CE．1AC2ABC1ABBDAC的中位線，從而BG由BG∥AC可得GBCACB從而ECGC，CD2CE．1AC2ABC1ABBE=ED，AH=BH12∴∠GNM=∠HEF∵AH=BH，BF=CF2∴∠GMN=∠HFE∵AC<BH...∴EFC∴EHB∴AFGEHB，CFBHBGE，而BGEAGFBGAGF又∵EF∥AD∴AF且PED從而MED≌DFL，故DMDL．ME．PFLDFP，，所以MEDDFL，【例17】已知：ABBMMBNOBDAC．3AECDAECHFD【解析】如圖所示，設(shè)AM交DC于H，要證明AMCD，實際上就是證明AHD90，而條件BMME不好運用，我們可以倍長中線AM到F，連接BF交AD于點N，交CD于點O．容易證明AME≌FMB則AEFB，EAFF，從而AE∥FB，ANF90而CADDAB90，從而CAD≌ABF，故而DDONFOHDABABN90，故CADABNDF故AHD90，亦即AMCD．AEEFCAEFGBDC【解析】取EC的中點G，連接DG易得DG∥BE，F(xiàn)為AD的中點，所以AEEG，從而可證得：1AEAC．3【例13】如圖所示，在ABC中，ABAC，延長AB到D，使BDAB，E為AB的中點，連接CE、CD，求證CD2EC．．證明：FM=AC．EFDBAMCHAMNCK【解析】過點E、D、B分別作AC的垂線，垂足分別為H．證明：FM=AC．EFDBAMCHAMNCK【解析】過點E、D、B分別作AC的垂線，垂足分別為H、ABC中，D為AB的中點，分別延長CA、CB到點E、F，使DEDF．過E、F分別作直線CA、CB的垂A的延長線于點F，交EF于點G，若BGCF，求證：AD為ABC的角平分線．BFEDFAGBEH【解析D中，AD線分別交于M、N兩點．求證：BC，E、F分別是AB和CD的中點，AMEBNE．AEAD、ECFBBCE13512BBAEEBDAECDAEEBGDC【解析】解法一：如圖所示，延長CE到F，使EFCE．容易證明EBF≌EAC，從而BFAC，而ACABBD，故BFBD．注意到CBDBACACBBACABC，CBFABCFBAABCCAB，故CBFCBD，而BC公用，故CBF≌CBD，因此CDCF2CE．解法二：如圖所示，取CD的中點G，連接BG．故BG是DAC的中位線，從而BG由BG∥AC可得GBCACB從而ECGC，CD2CE．1AC2ABC1ABBE，2EBC，故BCE≌BCG，AEEB且AEBE．【解析】過E作EF∥BC交BD于FACEACB∵DFEDBC又∵EF∥BC，EFBC，AC∴EFAC，CEFBBC，以BC為底作等腰直角2DECA1BC2BCD，E是CD的中點，求證：DECFAG∴CAD∴AD為CAD，AGFBADBADABC的角平分線．【例G∴CAD∴AD為CAD，AGFBADBADABC的角平分線．【例7】如圖，已知在ABC中，AD是BFEF．ABECFDAMNBEFD【解析】取AC中點M，AD中點N．連結(jié)MF、NF、MB、NE，則根，從而ACEB，ADCEDB，BDCD，ECAD．同理，ADC≌ED'B，則AC因為ACAC，所以BE90，即MBDDBE90．C，故MBDC90，則BAC90．AD為RtABC斜邊BC上的中線，故ACCADMBA12MPELF∴EFB≌ACE∴CEADBE又∵DBEDEB90∴DEBCEA90故AEB90∴AEEB且AEBE．ABECFDAMNBEFD【解析】取AC中點M，AD中點N．連結(jié)MF、NF、MB、NE，則根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)與中位線的性質(zhì)有MF∴DNF∴BMC1ADNE，NF212ACMB，MF∥AD，NF∥AC，12CMF，∵BMAM，∴MBACAB．CAB2CAB．同理可證DNE2DAE．∵BAC∴BMC即BMFEAD，∴BMCEND．CMFFNDDNE，ENF，∴MBF≌NFE，∴BFEF．過P作PMAC于M，PLBC于L，D為AB的中點，求證DMDL．CCMMPLADBADB【解析】如圖所示，取AP、PB的中點E、F，連接EM、ED、FD、FL，則有DE∥BP且DEBP，DF∥AP且DF因為AMP和BLP都是直角三角形，1AP．2MCD．...AECDAECHFD【解析】如圖所示，設(shè)AM交DC于H，要證明AMCD，實際上就是證明D=BC，O是BD中點，過O點的直線分別交DA、MCD．...AECDAECHFD【解析】如圖所示，設(shè)AM交DC于H，要證明AMCD，實際上就是證明D=BC，O是BD中點，過O點的直線分別交DA、BC的延長線于E，F(xiàn)．求證：∠E=∠F【解析】(提示得：1AEAC．3【例13】如圖所示，在ABC中，ABAC，延長AB到D，使BDAB，E為AB的中點D∴FH<EH∴∠HEF<∠HFE∴∠GMN>∠GNM【例18】(全國數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題)如圖所示，在AMNFBFBHADBAEF∴EH∥BD，EH=BD∴FH∥AC，F(xiàn)H=AC故MEAP，LFBP，從而EDFL，DF又因為MEDMEPPED，DFLDFP而MEP2MAP2LBPPFL，且PED從而MED≌DFL，故DMDL．ME．PFLDFP，所以MEDDFL，【例17】已知：ABCD是凸四邊形，且AC<BD．E、F分別是AD、BC的中點，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G點．求證：∠GMN>∠GNM．EDGCEDMGNC【解析】取AB中點H，連接EH、FH．∵AE=ED，AH=BH12∴∠GNM=∠HEF∵AH=BH，BF=CF2∴∠GMN=∠HFE∵AC<BD∴FH<EH∴∠HEF<∠HFE∴∠GMN>∠GNM使DEDF．過E、F分別作直線CA、CB的垂線，相交于點P，設(shè)線段PA、PB的中點分別為M、N．求證：(1)DEM≌FDN；CAEFPCDBGHP】∵點E是DC中點∴DECE又∵AD∥】∵點E是DC中點∴DECE又∵AD∥BC，F(xiàn)在AD延長線上∴DFECBE，F(xiàn)DEBCE在BCE與FAF與EF相等嗎？為什么？AFDCAC，延長BE交AC于B【解析】延長AD到G，使DGAD，連結(jié)BGH...∴EFC∴EHB∴AFGEHB，CFBHBGE，而BGEAGFBGAGF又∵EF∥AD∴AFGEAF又∵AFEF，∴EAFAEF∴GBED∴BEBG，∴BEAC．【例8】已知AD為ABC的中線BB∵DFCF，AHCH，∴FH∥AD，F(xiàn)H【解析】⑴如圖所示，根據(jù)題意可知DM∥BN且DM=BN，DN∥AM且DN=AM，所以AMDAPBDNB．而M、N分別是直角三角形AEP、BFP的斜邊的中點，所以EMAMDN，F(xiàn)NBNDM，又已知DEDF，從而DEM≌FDN．則由AMD而AME、所以PAEDNB可得AMEBNF．BNF均為等腰三角形，PBF．BC，E、F分別是AB和CD的中點，AMEBNE．NNMFCDAEAD、EF、BC的延長NNMFCDHAE【解析】連接AC，取AC中點H，連接FH、EH．12AD，同理，EHBC，EH∥BC∵ADBC，∴EHFH，∴HFEHEF∵FH∥AM，EH∥BC∴AMEHFE，HEFBNE，∴AMEBNE[點評]“題中有中點，莫忘中位線”．與此很相近的幾何思想是“題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個是常用幾何思想，但注意倍長中線的主要目的是通過構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來．平移也有類似功BC分別相交于點M、N．請分別寫出猜想，并任選MNDFHEBCFNME【解析】圖2：圖3：AMFENBAMFENB180證明連結(jié)AD．∵請分別寫出猜想，并任選MNDFHEBCFNME【解析】圖2：圖3：AMFENBAMFENB180證明連結(jié)AD．∵ABAC，BAC90∴BC45∵D是BC中點∴BAD45且ADBC∵EDDF∴EDAADK、N．由基本圖可知，△AEH≌△BAN，△BCN≌△CDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=AC，CEFBBC，以BC為底作等腰直角2DECA1BC2BCD，E是CD的中點，求證：DECFA.CCAHADBMDDF(N)CHAEBMNDFAEBCFFNMAEBD根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論AMFBNE(不需證明)．MNDFHEBCFNMEAMFENBAMFENB180證明：在圖2中，取AC的中點H，連結(jié)HE、HF∴HF∥AD，HF∴AMFHFE∴ENBHEF∵ADBC∴HFHE∴ENBHFEAMFH是AC的中點1AD21HECB2AB2CAB．同理可證DNE2DAE．∵BAC∴BMC即AB2CAB．同理可證DNE2DAE．∵BAC∴BMC即BMFEAD，∴BMCEND．CMFFNDDCF2CE．解法二：如圖所示，取CD的中點G，連接BG．因為G是CD的中點，B是AD的中點，故BG是K、N．由基本圖可知，△AEH≌△BAN，△BCN≌△CDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=，ABAC，BAC90，D是BC中點，ED交于F．求證：BEAF，AECF．AFEB【解析】方法一：212PR∥AB，PR＝MQ又EF=DF，F(xiàn)M⊥AC，EH⊥AC，DK⊥AC，故FM=(EH+DK)=(AN+NC)=AC【例21】如圖，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，EFDBBC=CD，F(xiàn)為DE的中點，F(xiàn)M⊥AC．證明：FM=AC．EFDBAMCHAMNCK【解析】過點E、D、B分別作AC的垂線，垂足分別為H、K、N．由基本圖可知，△AEH≌△BAN，△BCN≌△CDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=CN．【例22】(1991年XX市初二數(shù)學(xué)雙基賽題)已知：在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是邊BC的中點．求證：PM＝PNAQMPBN【解析】證明：取AB中點Q，AC中點R連結(jié)PQ，PR，MQ，NRPQ∥AC，PQ＝AC＝NR∠PQM＝∠PRN(兩邊分別垂直)∴△PQM≌△NRP，PM＝PNRC【習(xí)題1】如圖，在等腰ABC中，ABAC，D是BC的中點，過A作AEDE，AFDF，且AEAF．EDN，即BM2BE2因為DBEMDN90，故MEMN，因此DM2DN2MN2ME2EDN，即BM2BE2因為DBEMDN90，故MEMN，因此DM2DN2MN2ME2，ME2，則MBE作EF∥BC交BD于FACEACB∵DFEDBC∴EFB135又∵EF∥BC，EFBC，AC∴EFGEAF又∵AFEF，∴EAFAEF∴GBED∴BEBG，∴BEAC．【例8】已知AD為ABC的中線是BC的中點，過A作AEDE，AFDF，且AEAF．求證：EDBFDC．...AEFBDC【解析】本BEDAEFBDC連結(jié)AD，則ADBC．∵AEAF，ADAD，∴RtAED≌RtAFD∴ADEADF，∴