點(diǎn)集拓?fù)渲v義ppt.1

點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)主講人：吳洪博第一章集合論初步

§1.2關(guān)系,等價(jià)關(guān)系§1.1集合§1.3映射§1.4集族及其運(yùn)算

§1.5可數(shù)集，不可數(shù)集§1.6基數(shù)§1.1集合重點(diǎn):熟悉有關(guān)集合的等式和性質(zhì)難點(diǎn):有關(guān)集合的有限笛卡爾積的等式和性質(zhì)集合一詞，我們?cè)诟咧须A段已經(jīng)接觸過，在那里，集合是指具有某種屬性的對(duì)象的全體.在這里，我們?nèi)圆捎脤?duì)集合的這種直觀的描述性定義，以后我們還將經(jīng)常遇到像這樣直觀的描述性定義或一些直觀的結(jié)論.雖然這樣做邏輯性差一些，不及公理集合論的嚴(yán)密性，但這樣做卻是我們易于理解和接受的，不致使讀者陷入邏輯困惑之中，從而盡快地進(jìn)入拓樸-學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)程序.定義1.1.1對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如果A的每個(gè)元素都是集合B的元素,我們稱A包含于B,或B包含A,或A是B的子集,記作.如果，而且存在使得，稱A是B的真子集，記作.如果，同時(shí)記作A=B.，稱集合A與集合B相等，不含任何元素的集合稱為空集，用符號(hào)表示.規(guī)定空集是任意集合的子集.含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，不是有限集的集合叫做無限集.定義1.1.2給定集合A,B,由A與B的全部元素構(gòu)成的集合叫做A與B的并集,記作.用描述法表示是:.定義1.1.3給定集合A,B,由A和B的公共元素構(gòu)成的集合叫做A與B的交集,記作.用描述法表示就是:而且.定義1.1.4給定集合A,B，把由屬于A而不屬于B的元素構(gòu)成的集合叫做A與B的差集,記作.用描述法表示是.而此時(shí)可稱B為全集，全集在一個(gè)問題中是事先指定的或者是不言自明的.如果,稱為A在B中的補(bǔ)集，記作.對(duì)于集合之間的運(yùn)算，有時(shí)用圖象表示更直觀一些.在下面的圖1.1.1中，我們用兩個(gè)圓分別表示集合A,B，而用陰影部分表示兩個(gè)集合運(yùn)算的結(jié)果.圖1.1.1觀察圖1.1.1我們不難得出下面的等式:這樣做的好處在于將并集轉(zhuǎn)化成互不相交的集合并集.該集合等式也可以用定義證明.集合中的運(yùn)算律

設(shè)X是全集，A，B，C是X的子集，則以下運(yùn)算律成立：(1)交換律

(2)結(jié)合律

(3)零元,單位元

(4)吸收律

(5)分配律

(6)冪等律

(7)對(duì)合律

(8)對(duì)偶律

(9)互補(bǔ)律

以上運(yùn)算定律由定義或作圖不難驗(yàn)證,我們僅以對(duì)偶律的驗(yàn)證為例,其余讀者自己完成.圖1.1.2.圖(a)中陰影部分表示,圖(b)中右斜線表示，左斜線表示.由圖1.1.2可得：.定義1.1.5對(duì)給定的非空集合我們把由二元有序?qū)?其中)構(gòu)成的集合叫做X與Y的笛卡用描述法表示是:爾積，記作其中x是第一個(gè)坐標(biāo),y是第二個(gè)坐標(biāo),X稱為第一個(gè)坐標(biāo)集,Y稱為第二個(gè)坐標(biāo)集.特別地，記為稱為X的二重笛卡爾積.對(duì)于有序?qū)暗芽柗e，讀者并不陌生，我們學(xué)過的笛卡爾直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)就是有序數(shù)對(duì),因而整個(gè)直角坐標(biāo)系平面就是集合R的二重笛卡爾積R2(R表示實(shí)數(shù)集合).雖然對(duì)于任意給定集合,它們的元素不必有序,但我們可以把集合的元素串在一起,這樣就可用線段或直線表示集合.進(jìn)而將集合的笛卡爾積就可用“平面圖形”直觀的表現(xiàn)出來.

例1.1.1設(shè)由下面的圖1.1.3很容易得（A-B）×（C-D）圖1.1.3該集合等式也可用定義證明,其過程讀者自己做為練習(xí)完成.習(xí)題1.1

1.試判斷下列關(guān)系式的正確與錯(cuò)誤

的元素.

2.設(shè)都是集合，其中,證明：如果,則

3.設(shè)，即X有個(gè)互不相同的元素，X的冪集P(X)有多少個(gè)互不相同4.設(shè)，用列舉法給出P(X).5.設(shè)A，B是集合，證明的充要條件是,，的充要條件是.且6.設(shè)A，B都是集合,證明:若，則.；7.設(shè)某一個(gè)全集已經(jīng)給定，證明②①③若，并且，則④

8.設(shè)A，B，C，D是全集X的子集,試判斷下列命題的正確性.若正確，給出證明，若不正確，給出反例.①②③④

⑤

⑥若，則⑦若，則⑧⑨

⑩

，9.設(shè)A，B，C表示集合，試用A，B，C及集合運(yùn)算符號(hào)表示下面集合.，，

§1.2關(guān)系,等價(jià)關(guān)系

重點(diǎn)：熟悉關(guān)系像，逆關(guān)系，復(fù)合關(guān)系和

等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)難點(diǎn)：對(duì)命題演算知識(shí)的欠缺將影響性質(zhì)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性定義1.2.1設(shè)X,Y是兩個(gè)集合,如果,即R是X的一個(gè)子集,則稱R是從X到Y(jié)的與Y的笛卡爾積

一個(gè)關(guān)系.

定義1.2.2設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,即.(1)如果,則稱x與y是R相關(guān)的,并且記作xRy;,則稱Y的子集(2)如果

存在使得A的象集,或者稱為集合A的R象,R(X)稱為關(guān)系R的值域;為集合A相對(duì)于關(guān)系R而言的象集,或者簡(jiǎn)單地稱為集合(3)如果,則稱X的子集:存在使得為集合B相對(duì)于R稱為關(guān)系R的定義域.的原象集,或者簡(jiǎn)單地稱為集合B的原象,或者稱為集合B的R原象,關(guān)系，一個(gè)是自身，一個(gè)是進(jìn)行簡(jiǎn)單地考查.關(guān)系是一個(gè)外延十分廣泛的概念.讀者很快便會(huì)看到在數(shù)學(xué)學(xué)科中學(xué)過的映射，等價(jià),運(yùn)算，序等概念都是關(guān)系的特例，這里有兩個(gè)特別簡(jiǎn)單的從集合X到集合Y的，請(qǐng)讀者自己對(duì)它定義1.2.3設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,即,這時(shí)笛卡爾積的子集:是從集合Y到集合X的一個(gè)關(guān)系，我們稱它為關(guān)系R的逆，因此

當(dāng)且僅當(dāng).顯然，若，集合B相對(duì)于關(guān)系R-1的象集就是集合B相對(duì)于關(guān)系R的原象集.特別地關(guān)系R-1的值域就是關(guān)關(guān)系R的定義域.集合定義1.2.4設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,S是從集合Y到集合Z的一個(gè)關(guān)系,即存在使得是笛卡爾積.

當(dāng)且僅當(dāng)存在使得因此

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)系R與關(guān)系S的復(fù)合,記作的一個(gè)子集,即從到的一個(gè)關(guān)系,稱此關(guān)系為關(guān)定理1.2.1設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,S是從集合Y到集合Z的一個(gè)關(guān)系,T是從集合Z到集合U的一個(gè)關(guān)系,則(1)

(2)(3)

證明：(1)當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng),而這當(dāng)且僅當(dāng),這又當(dāng)且僅當(dāng)于是我們證明了.(2)和(3)的證明類似于(1)，可根據(jù)定義直接驗(yàn)證,請(qǐng)讀者自己完成.定理1.2.2設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,S是從A和B,我們有:集合Y到集合Z的一個(gè)關(guān)系,則對(duì)于X中的任意兩個(gè)子集

(1)

(2)

(3)(4)，

，

，僅當(dāng)存在或存在，,當(dāng)且僅當(dāng)

.

,

，證明(1)當(dāng)且僅當(dāng)存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在或存在使得當(dāng)且

.

或，當(dāng)且僅當(dāng)于是

我們證明了.(2)設(shè)，則存在使得即存在

，使得因此(3)由于當(dāng)且僅當(dāng)存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在使得

(存在使得當(dāng)且僅當(dāng)存在使得.

)，(4)設(shè),即.

因此存在，使得.

此時(shí)假設(shè)，由于，因此，

這與

矛盾，因此因此存在

，因此，

定義1.2.5設(shè)X是一個(gè)集合,從集合X到集合X的一個(gè)稱為恒同關(guān)系，或恒同、對(duì)角線.記作或.關(guān)系簡(jiǎn)稱為集合X中的一個(gè)關(guān)系.集合X中的關(guān)系:定義1.2.6設(shè)R是集合X中的一個(gè)關(guān)系,如果即對(duì)于任意,有,則稱關(guān)系R為自反的;

如果

,即對(duì)于任何,如果,則

則稱關(guān)系R為對(duì)稱的;

如果,即對(duì)于任何和不能同時(shí)成立,則稱

關(guān)系R為非對(duì)稱的;如果,即對(duì)于任何,如果

，則，則稱關(guān)系R是傳遞的.定義1.2.7設(shè)R是集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.集合X中的兩個(gè)元素x,y,如果滿足條

件:xRy,則稱x與y是R等價(jià)的,

或簡(jiǎn)稱等價(jià)的;對(duì)于每一個(gè)

,集合X中的子集稱為x的R等價(jià)類或等價(jià)類,記作或,并且任何一個(gè)

都稱為R等價(jià)類的一個(gè)代表元素;

(1)如果則,因而..由等價(jià)類組成的集合

稱為集合X相對(duì)于.等價(jià)關(guān)系R而言的商集,記作.定理1.2.3設(shè)R是非空集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,則:(2)對(duì)于任意或者，或者證明：設(shè)由于R是自反的，所以，因此因而.有(2)對(duì)于任意,如果,設(shè),如圖1.2.1,因此必

,又由于R,又由于R是傳遞的,所以.是對(duì)稱的,所以

對(duì)于任何一個(gè)有，由上述

以及R的傳.

，由

定義即得.因此證明了遞性可得

同理可證.因此.例1.2.1給出平面上的一個(gè)關(guān)系

,的意義是指

和到原點(diǎn)的距離相等,容易驗(yàn)證～是平面上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.相對(duì)于等價(jià)關(guān)系～而言的商集

為，

即商集是由單點(diǎn)集和以原點(diǎn)為中心的所有圓周組成的集合.習(xí)題1.2

1.設(shè)，,，，.

試求的值域，R的定義域.2.設(shè)R是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,證明下列條件等價(jià):(1)對(duì)于任意，(2)對(duì)于任意，，.限制定義為

，證明:一個(gè)等價(jià)關(guān)系的限制仍是等價(jià)關(guān)系.3.設(shè)C是X上的一個(gè)關(guān)系，

，關(guān)系C在上的4.設(shè)R是集合X中的一個(gè)對(duì)稱的，傳遞的關(guān)系.證明R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)R的定義域?yàn)閄.5.設(shè)R1，R2是集合X中的兩個(gè)等價(jià)關(guān)系，證明仍是集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng).6.實(shí)數(shù)集合R中的一個(gè)關(guān)系定義為：

證明關(guān)系R是實(shí)數(shù)集合R上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并且

，即給出實(shí)數(shù)集R關(guān)于關(guān)系R的商集.給出§1.3映射重點(diǎn)：熟悉由映射所誘導(dǎo)的逆關(guān)系得所有性質(zhì)

難點(diǎn)：對(duì)映射的逆關(guān)系性質(zhì)的理解定義1.3.1

設(shè)f是從集合X到集合Y的一個(gè)關(guān)系,即,如果對(duì)每一個(gè)使得果f滿足：(1)即對(duì)存在.使得xfy；那么稱關(guān)系f是從集合X到集合Y的一個(gè)映射.(2)設(shè),如果對(duì)于有xfy1和xfy2,則y1=y2.,則稱關(guān)系f是從集合X到集合Y的一映射,并且記作換言之，設(shè)

如定義1.3.2

設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,,即使得xfy的是從集合X到集合Y的映射,對(duì)每個(gè)唯一元素稱為x的象或值,記作f(x)，即y=f(x);（值得注意的是可以沒有原象,也可以有不止一個(gè)原象不必是單元素集,有時(shí)也記作.x是y的一個(gè)原像.對(duì)于,如果存在使得xfy(即y是x的象),則稱由于映射是滿足一定條件的關(guān)系，因此如果即f是從集合X到集合Y的映射，，則都是有意義的.(1)|存在,使得并稱f(A)為A在映射f下的象.并稱為B在映射f下的原象.(2)(4)f(X)叫映射f的值域.(3)(Y)=X,即映射f的定義域是X.(6)f

-1作為Y到X的關(guān)系有定義,但一般說來f

-1不是一個(gè)從Y到X的映射.,則關(guān)系f和g的(5)如果Z是一個(gè)集合并且復(fù)合作為從X到Z的關(guān)系有定義.定理1.3.1

設(shè)X、Y、Z都是集合，如果f是從集合X到集合Y的映射，g是從集合Y到集合Z的映射，則f和g關(guān)系的復(fù)合是從集合X到集合Z的映射，并且對(duì)于任何，有證明：第一步驗(yàn)證復(fù)合關(guān)系是映射.再結(jié)合定理1.2.2(3)得(1)由于，,因此根據(jù)定理1.2.1②得.))(())((1111ZgfZgf----=o因此，.(2)對(duì),設(shè)使得因此，存在,使得由和得由和以及得因此，是從X到Z的映射..如果定理1.3.2

設(shè)和

是兩個(gè)集合,，則(2)(3)簡(jiǎn)單地說，設(shè)，則保持交，并，差運(yùn)算.(1)第二步證明,這由定理1.2.2(3)直接可證.證明：(1)由于是關(guān)系的逆關(guān)系,因此由定理1.2.2①直接可得(2)由于是關(guān)系,由定理1.2.2②可得,因此,這就證明了因此,因此得,由;又設(shè)得,由)(1Bfx-?(3)由于,當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng),因此需要說明兩點(diǎn)：①設(shè)，則f是保并運(yùn)算.(見定理1.2.2①),但f不必是保交或保差運(yùn)算;其逆關(guān)系R-1是保并運(yùn)算(見定理1.2.2①),但R-1不必是保差或保交運(yùn)算.其中原因留給讀者自己思考.②對(duì)于一般關(guān)系定義1.3.3

設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,.如果f(X)=Y，即對(duì)任意,存在使得(也就是xfy),則稱f是一個(gè)滿射,或者稱f為從X到Y(jié)上的映射;如果對(duì)于X中任意互異的兩點(diǎn)x1,x2一定有(換言之,如果,一定有x1=x2).則稱f是一個(gè)單射;如果f即是一個(gè)單射又是一個(gè)滿射,則稱f是一個(gè)一一映射.的映射.并且當(dāng)時(shí)，稱f是一個(gè)取常值如果f(X)是一個(gè)單元素集，則稱f是一個(gè)常值映射根據(jù)下面的定理1.3.3,一一映射又稱為可逆映射.),并且也是一一映射,此外還有如果f是個(gè)一一映射，則其逆關(guān)系f--1便是從Y到X的映射(因此可以寫作定理1.3.3設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,又設(shè).的映射，即證明了Y到X是從由定義1.3.1知是單射，因此有,由于則有x1fy，x2fy，因此使得證明:是一個(gè)映射.由于是滿射，因而由定理1.2.1①得,又設(shè)存在,因此由定義1.3.1有是滿射.由于f是映射因此是滿射.是單射.若存在使得即,因此由逆關(guān)系定義,由于是映射，因此有.對(duì)于任意,設(shè)，由定理1.2.2③有因此有由于是單射,因此有因此對(duì)于任意有,這就證明了,對(duì)于,令,由定理1.2.2③得.因此,由于已證是單映射因此有,亦對(duì)任意,因此是滿射;如果f定理1.3.4設(shè)都是集合,如果和都是滿射,則和g都是單射,則也是單射.因此如果f和g都是一一映射，則也是一一映射.證明：結(jié)合定理1.3.1和單射、滿射定義容易證明,本定理,略.定義1.3.4

設(shè)X和Y是兩個(gè)集合,.映射和如果滿足條件,即:即對(duì)于有,則稱映射g是映射f的限制,或稱f是g的擴(kuò)張,記作.特別地,恒同映射在子集A上的限制稱為內(nèi)射.從關(guān)系出發(fā)定義映射的本意使得我們?cè)诒緯睦碚擉w系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定義對(duì)象.但是，如果每次定義一個(gè)映射都要將映射寫成它的定義域與值域的笛卡爾積的一個(gè)子集，畢竟是件不太方便的事，因此在定義映射時(shí)仍采用我們習(xí)慣的方法：對(duì)定義域中的每一個(gè)元素指定值域中的唯一一個(gè)元素作為它的象.定義1.3.5設(shè)兩個(gè)給定集合，從笛卡爾積到它的第i個(gè)坐標(biāo)集的投射(或稱第i個(gè)投射)定義為對(duì)于每一個(gè)事實(shí)上，第i個(gè)投射pi關(guān)系定義便是容易驗(yàn)證pi是一個(gè)滿映射.定義1.3.6設(shè)～是集合X中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.從集合X到它的商集的自然投射定義為對(duì)于每一個(gè)這個(gè)自然投射用關(guān)系定義便是：習(xí)題1.31.設(shè)是一個(gè)滿射,關(guān)系定義為：①證明R是X上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.②證明存在滿射(其中是X關(guān)于R的商集).其中是的簡(jiǎn)寫.2.設(shè)X是一個(gè)給定集合，定義為稱其為A與B的對(duì)稱差.證明集合的對(duì)稱差滿足交換群公理,即設(shè)則(1)(2)(3)存在集合-A，使得(4)4.設(shè)是兩個(gè)集合，,證明下列條件等價(jià):①f是單射.③對(duì)于任意).④對(duì)于任意3.設(shè)X