復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上疾病傳播與免疫及動(dòng)力學(xué)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播機(jī)理與動(dòng)力學(xué)分析

張玉林2010.11.28?復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中疾病傳播與免疫復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值理論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的免疫策略與技術(shù)主要內(nèi)容:1.疾病傳播的基本知識(shí)2.SIS和SIR傳播模型3.

均勻網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型,

WS模型為例進(jìn)行解析4.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型,

BA模型為例進(jìn)行解析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值理論1.疾病傳播I.

傳染?。簲?shù)理學(xué)家在研究傳播行為時(shí)，往往并不區(qū)別研究對(duì)象，他們把可以在網(wǎng)絡(luò)中傳播開(kāi)來(lái)的東西叫做傳染病。II.在傳播過(guò)程中，個(gè)體處于三個(gè)基本狀態(tài)：(1)S(susceptible)—易感狀態(tài)：不會(huì)傳染他人，可能被傳染（也就是健康狀態(tài)）(2)I(infected)—感染狀態(tài)：已患病，具有傳染性(3)

R(removed)—免疫狀態(tài)：被治愈，具有免疫能力，不具有傳染能力，不會(huì)再次被感染（移除狀態(tài)）Ⅲ.傳染病模型科學(xué)家通過(guò)用基本狀態(tài)之間的相互轉(zhuǎn)換來(lái)建立不同的傳播模型：

SIS模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈但無(wú)免疫力（還可以再被感染）（感冒等）SIR模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈且有免疫力（不會(huì)被感染，也不會(huì)感染其它節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于已經(jīng)從傳播網(wǎng)絡(luò)中被清除了）（天花等）SI模型：易染個(gè)體被感染后，不能被治愈（艾滋病等）

SIRS模型：易染個(gè)體被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，還會(huì)再次回到易染狀態(tài)。（乙肝？）

疾病傳播模型的描述Ⅰ.模型的傳播規(guī)則：①初始時(shí)隨機(jī)選擇網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)或若干節(jié)點(diǎn)為染病節(jié)點(diǎn)（I），其余為健康節(jié)點(diǎn)（S）②在每一個(gè)時(shí)間步t：如果一個(gè)健康節(jié)點(diǎn)具有染病鄰居，則它依某個(gè)事先設(shè)定的概率變成染病節(jié)點(diǎn)，這一概率叫做染病概率（β）；同時(shí)每一個(gè)染病節(jié)點(diǎn)都依某個(gè)事先設(shè)定的痊愈概率（γ）變成健康節(jié)點(diǎn)。③

在每個(gè)時(shí)間步，這些演化規(guī)則在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中被并行地執(zhí)行。染病概率越大，痊愈概率越小，疾病就越有可能感染更多的人，因此，定義染病概率和痊愈概率的比值為有效傳播率并用這個(gè)參數(shù)綜合地衡量疾病自身特征。①感染密度（感染水平或者波及范圍）ρ(t)

ρ(t)：傳播過(guò)程中,感染節(jié)點(diǎn)總數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。ρ：傳播到穩(wěn)態(tài)時(shí)（）感染密度的值,稱為穩(wěn)態(tài)感染密度。②有效傳播率λ(=

/

)

λ非常?。?/p>

很小，

很大），傳播達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，所有節(jié)點(diǎn)都會(huì)變成健康節(jié)點(diǎn)，這種情況下就認(rèn)為疾病沒(méi)有在網(wǎng)絡(luò)上傳播開(kāi)來(lái)，并記該疾病的穩(wěn)態(tài)感染密度ρ

=0。反之，當(dāng)λ足夠大時(shí)，疾病將一直在網(wǎng)絡(luò)中存在而不會(huì)完全消失，只是染病節(jié)點(diǎn)的數(shù)目有時(shí)多有時(shí)少，這時(shí)穩(wěn)態(tài)感染水平（波及范圍）

ρ

0。把穩(wěn)態(tài)感染密度從零向正實(shí)數(shù)變化的那個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有效傳播率稱作傳播閾值（臨界值）λc。它是衡量網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為最重要的參量之一。Ⅱ.傳播模型研究的主要參量

SIS模型傳播方程設(shè)s,i分別表示群體中S,I個(gè)體所占

的比例，則SIS傳播的微分方程組為：

SIR模型傳播方程設(shè)s,i,r分別表示群體中S,I,R個(gè)體所占的比例，則疾病傳播的動(dòng)力微分方程組為：注:

(1)傳播網(wǎng)絡(luò)是完全圖，但實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，只有接觸才能被感染(2)并不是對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都一致，而是服從分布，Newman對(duì)其進(jìn)行了研究。

Ⅲ.模型傳播動(dòng)力學(xué)方程3.均勻網(wǎng)絡(luò)中的SIS模型Ⅰ.均勻網(wǎng)絡(luò)：

Ⅱ.解析模型三個(gè)假設(shè)：①均勻混合假設(shè)：感染強(qiáng)度和感染個(gè)體密度成比例。即：

和

為常數(shù)（均勻混合）。不失一般性，可假設(shè)

=1，因?yàn)檫@只影響疾病傳播的時(shí)間尺度；②均勻性假設(shè)：均勻網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度都等于網(wǎng)絡(luò)的平均度<k>；③規(guī)模不變假設(shè)：假設(shè)病毒的時(shí)間尺度遠(yuǎn)小于個(gè)體的生命周期，即不考慮個(gè)體的出生和自然死亡

運(yùn)用平均場(chǎng)的方法可得：被感染個(gè)體密度ρ(t)的變化率被感染節(jié)點(diǎn)以單位速率恢復(fù)健康單個(gè)感染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的新感染節(jié)點(diǎn)的平均密度，它與有效傳播率

、節(jié)點(diǎn)的平均度〈k〉，健康節(jié)點(diǎn)相連概率1-ρ(t)成比例，（其他的高階校正項(xiàng)忽略了）。當(dāng)傳播達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，變化率為0，所以令上式右端為0；

即：-ρ+

<k>ρ[1-ρ]=0ρ（1-λ<k>+λ<k>ρ）=0；

ρ（ρ-）=0；當(dāng)λ<時(shí)，ρ-必大于0，所以ρ=0；當(dāng)λ

時(shí)，ρ=；所以，即為臨界傳播值，記=。結(jié)論：在均勻網(wǎng)絡(luò)中存在一個(gè)有限的正的傳播臨界值λc。如果有效傳播率λ

λc，則病毒可以在網(wǎng)絡(luò)中傳播開(kāi)來(lái)，并最終穩(wěn)定于

,此時(shí)稱網(wǎng)絡(luò)處于激活相態(tài)；如果有效傳播率λ<λc，病毒感染個(gè)體數(shù)呈指數(shù)衰減，無(wú)法大范圍傳播，最終將不能傳播,此時(shí)網(wǎng)絡(luò)稱為吸收相態(tài)。4.無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播Ⅰ.

無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：具有冪律度分布的網(wǎng)絡(luò)，即：；

網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度沒(méi)有明顯的特征長(zhǎng)度Ⅱ.解析模型無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布是呈冪律分布，因而度具有很大的波動(dòng)性，定義一個(gè)相對(duì)感染密度：度數(shù)為k的感染節(jié)點(diǎn)數(shù)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比例。當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)，相對(duì)穩(wěn)態(tài)感染密度記為。平均感染密度：穩(wěn)態(tài)平均感染密度：∝同樣我們能采用MF理論來(lái)求的變化率得:度為k的節(jié)點(diǎn)相對(duì)感染密度的變化方程為：被感染個(gè)體以單位速率恢復(fù)健康

：任意一條給定的邊與一個(gè)被感染節(jié)點(diǎn)相連的概率單個(gè)感染節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的新感染節(jié)點(diǎn)的密度

根據(jù)穩(wěn)態(tài)條件，可得：傳播達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，記為

:給定一條邊，這條邊指向一個(gè)已感染節(jié)點(diǎn)的概率此概率值不依賴于出發(fā)點(diǎn)的度，而僅于有關(guān)；并且趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)，又是λ的函數(shù)，因此趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)可以表示為。節(jié)點(diǎn)的度越高，被感染的概率越高下面我們計(jì)算：給定端點(diǎn)的一條邊，其另一個(gè)端點(diǎn)為染病節(jié)點(diǎn)的概率時(shí)，必須考慮到網(wǎng)絡(luò)的非均勻性。任意一條給定邊指向度為k的節(jié)點(diǎn)的概率為（與度為k節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊數(shù)與總邊數(shù)的比值）則任意一條給定邊指向度為k的感染節(jié)點(diǎn)的概率為從而，（將的值代入）回憶：傳播臨界值必須滿足的條件：當(dāng)時(shí)，可以得到的一個(gè)零解。當(dāng)時(shí)，可以得到的一個(gè)非零解。有一個(gè)平凡解如果該方程要存在一個(gè)非零穩(wěn)定解，需要滿足如下條件：即有：結(jié)論：對(duì)于SF（無(wú)標(biāo)度）網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度數(shù)具有很大的浮動(dòng)性，當(dāng),導(dǎo)致，從而特別地，作為SF網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)典型例子，考慮BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：(1)增長(zhǎng)特性，(2)優(yōu)先連接特性（富者更富，或馬太效應(yīng)）度分布，平均度其中m是網(wǎng)絡(luò)最小度

將平均度，度分布，以及帶入

，可得：

又因?yàn)榛?jiǎn)后得：當(dāng)λ=0時(shí)，有當(dāng)λ>0時(shí)，有結(jié)論：

BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在SIS模型下的只要有效傳播率λ>0，病毒就能傳播開(kāi)來(lái)，并將達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定感染水平，這反映了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒的脆弱性BA網(wǎng)絡(luò)中，疾病傳播的時(shí)間演化

N=106，從下至上λ從0.05到0.065WS網(wǎng)絡(luò)與BA網(wǎng)絡(luò)的比較總結(jié)1.

SIS模型在均勻網(wǎng)絡(luò)中，存在一個(gè)傳播臨界值。當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過(guò)程中逐漸衰減，最終被滅；當(dāng)時(shí)，疾病在時(shí)間演化過(guò)程中傳播開(kāi)來(lái)，并穩(wěn)定于某一值（穩(wěn)態(tài)感染密度）：

2.

SIS模型在SF網(wǎng)絡(luò)中，傳播臨界值：只要有效傳播率λ>0，病毒就能傳播開(kāi)來(lái)，并將達(dá)到一穩(wěn)定感染水平值：，這反映了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)對(duì)抵抗病毒的脆弱性。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播臨界值理論復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的免疫策略與技術(shù)報(bào)告內(nèi)容主要內(nèi)容1.隨機(jī)免疫與集中接種2.目標(biāo)免疫與優(yōu)先免疫3.熟人免疫與環(huán)狀接種免疫策略與技術(shù)隨機(jī)免疫與集中接種：將所有可能感染的種群集中起來(lái)，按照某種概率隨機(jī)選擇種群中的個(gè)體進(jìn)行接種。

（度大節(jié)點(diǎn)和度小節(jié)點(diǎn)是平等對(duì)待）1992年，Anderson和May《人類傳染病》，

OxfordUniversityPress

SIS傳播方式說(shuō)明隨機(jī)免疫1.隨機(jī)免疫（均勻免疫）引入免疫參數(shù)g：初始網(wǎng)絡(luò)中免疫節(jié)點(diǎn)數(shù)占節(jié)點(diǎn)總數(shù)的比例在平均場(chǎng)理論下可以通系數(shù)（1-g）來(lái)影響有效傳播率λ，即用（1-g）λ來(lái)替換λ代入前面的ρ變換率方程中（均勻網(wǎng)絡(luò)，WS）

（SF網(wǎng)絡(luò)，BA）Ⅰ．均勻網(wǎng)絡(luò)（以WS為例）令上式為0，得：

即：我們需要的免役臨界值．顯然，才有意義。情況下，如果不加免疫，疾病將傳播開(kāi)來(lái)，并穩(wěn)定于某一ρ值(ρ≠0)；如果加免疫后，只要免疫值滿足：疾病將不能傳播開(kāi)來(lái)，即達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，ρ＝0。Ⅱ.

SF網(wǎng)絡(luò)（以BA為例）

SF網(wǎng)絡(luò)的免疫臨界值可由公式給出，即：結(jié)論：

在均勻網(wǎng)絡(luò)中：只要，就可保證疾病不在網(wǎng)絡(luò)中傳播開(kāi)來(lái)；SF網(wǎng)絡(luò)中：免疫臨界值約為１，即任給定一λ值，都需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的所有個(gè)體進(jìn)行免疫才能使疾病不傳播開(kāi)來(lái)。說(shuō)明隨機(jī)免疫只對(duì)均勻網(wǎng)絡(luò)有效（有較小的),而對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)效果很差（=1）。原因：這是由于SF網(wǎng)絡(luò)是異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)度呈兩極分化，采用隨機(jī)免疫，哪些最容易傳播病毒的節(jié)點(diǎn)（度大的節(jié)點(diǎn)）不一定獲得免疫。所以，如果對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)采取隨機(jī)免疫的策略，需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)中幾乎所有的節(jié)點(diǎn)都實(shí)施免疫才能保證最終消滅病毒傳染。因此對(duì)SF網(wǎng)絡(luò)這樣的異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)，普遍認(rèn)為：隨機(jī)免疫策略對(duì)于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是無(wú)效的！目標(biāo)免疫：選取少量度最大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。（而一旦這些節(jié)點(diǎn)被免疫后，就意味著他們所連的邊可以從網(wǎng)絡(luò)中去除，使得病毒傳播的可能途徑大大減少。）假設(shè)對(duì)度k>kt的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，即有：引入定義（免疫平均度，免疫二階矩）：p(g)：任給一條邊，該邊指向一個(gè)免疫節(jié)點(diǎn)的概率。且有：（免疫節(jié)點(diǎn)的平均度）（平均度）

2.目標(biāo)免疫（選擇免疫）將比例為g的免疫節(jié)點(diǎn)看作已從網(wǎng)絡(luò)中移除，且從這些節(jié)點(diǎn)出發(fā)的邊也被刪除了。則新的度分布：（指向非免疫節(jié)點(diǎn)的概率）在SF網(wǎng)絡(luò)中，有：特別地，在BA網(wǎng)絡(luò)情況下：①同樣，將代入<k>t及<k2>t得：將①、②代入式中。對(duì)代入后的方程求得一個(gè)近似解：上式表明：即使有效傳播率

在很大的范圍內(nèi)取值，都可以得到較小的免疫臨界值(對(duì)少量的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫,即可消除病毒擴(kuò)散)。②環(huán)狀接種：隔離或免疫染病個(gè)體的所有(距離為k)鄰居禽流感等熟人免疫：從群體中以比例p隨機(jī)選擇個(gè)體,再隨機(jī)選擇該個(gè)體的一個(gè)相鄰個(gè)體進(jìn)行免疫接觸追蹤：對(duì)與有傳染性個(gè)體的接觸者進(jìn)行跟蹤，然后以一定的概率進(jìn)行免疫

非典病等例子

(Huerta和TSimring)

T：被監(jiān)控態(tài)

T：被追蹤的強(qiáng)度

r：被檢查的強(qiáng)度

3.其他免疫現(xiàn)實(shí)中計(jì)算機(jī)病毒免疫的例子以Internet為例，用戶不斷地安裝一些更新的反病毒軟件，但計(jì)算機(jī)病毒的生命期還是很長(zhǎng)。原因就在于反病毒軟件的更新過(guò)程實(shí)際上是一種隨機(jī)免疫過(guò)程。從個(gè)體來(lái)看，這種措施是有效的；但是從全局范圍看，由Internet的無(wú)標(biāo)度特性，就算隨機(jī)選取大量節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，也不能根除計(jì)算機(jī)病毒的傳播。顯示了SIS模型在一部分Internet映像中隨機(jī)免疫（大圖）和目標(biāo)免疫（小圖）的情況。（λ＝0.25）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的傳播動(dòng)力學(xué)1.d維NW小世界網(wǎng)絡(luò)的線性傳播方程2.小世界網(wǎng)絡(luò)傳播動(dòng)力方程的分形、混沌和分岔3.小世界網(wǎng)絡(luò)的廣義傳播動(dòng)力方程及其分岔4.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳染動(dòng)力方程的分岔與震蕩5.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的其他傳播現(xiàn)象在一個(gè)有著少量長(zhǎng)程連接(捷徑)的小世界模型網(wǎng)絡(luò)中研究了傳播和最短路徑。類似的傳播比如森林火災(zāi)和傳染病。用很簡(jiǎn)單的規(guī)則：每一步，從已經(jīng)被感染的節(jié)點(diǎn)向所有鄰接的未被感染的節(jié)點(diǎn)傳播。關(guān)注于通過(guò)隨機(jī)長(zhǎng)程連接的直接反應(yīng)，在系統(tǒng)中并沒(méi)有考慮到時(shí)滯因素。Newman,Moukarzel提出的模型是，隨機(jī)的添加長(zhǎng)程連接，而不破壞原來(lái)的連接，觀察小的概率值P對(duì)于小世界網(wǎng)絡(luò)特性的影響。并將每個(gè)特性的分析結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行比較。如下圖所示，假設(shè)從最初的感染節(jié)點(diǎn)A開(kāi)始，病毒以常速v=1開(kāi)始傳播。NW小世界網(wǎng)絡(luò)中捷徑端點(diǎn)的密度為，這里p是小世界網(wǎng)絡(luò)模型中添加新捷徑的概率參數(shù)。不妨假設(shè)這個(gè)傳播過(guò)程是連續(xù)的。因此網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的感染量V(t)是一個(gè)從A開(kāi)始的以t為半徑的球體，這里是d維小世界網(wǎng)絡(luò)中的超球體常數(shù)。感染源在傳播過(guò)程中碰到捷徑端點(diǎn)的概率為，并因此而產(chǎn)生新的感染球體為。平均的總感染量V(t)由下面形式的積分方程得到：對(duì)上式做標(biāo)度變換

化為對(duì)所得方程微分得顯然，這個(gè)方程的解是隨著時(shí)間t的增大而發(fā)散的。對(duì)先前模型的改進(jìn)Yang認(rèn)為NW小世界網(wǎng)絡(luò)的感染量V(t)中，由于現(xiàn)實(shí)中存在的等待時(shí)間，新引發(fā)的病毒感染或者火災(zāi)發(fā)生相比而言都有一個(gè)時(shí)滯（遠(yuǎn)程連接而言），因此，相應(yīng)的線性時(shí)滯傳播方程為：解為：計(jì)算分形維數(shù)D本模型是對(duì)先前模型的一個(gè)擴(kuò)展，去探求有時(shí)滯的小世界模型的分形維數(shù)和一些其他網(wǎng)絡(luò)特性，因?yàn)榍蟪霾罘址匠痰慕獠⒉皇呛苋菀?，所以很有必要做?shù)字模擬，主要關(guān)注一維和二維網(wǎng)絡(luò)。這里利用解析方法，然后和數(shù)字模擬的結(jié)果進(jìn)行比較。計(jì)算分形維數(shù)D，從圖中可以看出分析結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)擬合還是不錯(cuò)的。時(shí)滯參數(shù)對(duì)于分形維數(shù)D和其他諸如速度等的特性影響是很大。結(jié)論：如果足夠的時(shí)滯引入的話，一個(gè)小世界網(wǎng)絡(luò)可以變的更大，另一方面，要使一個(gè)大世界網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)變?yōu)樾∈澜缇W(wǎng)絡(luò)，需要一個(gè)稍微大的長(zhǎng)程連接概率P。按式：計(jì)算上式的分形維數(shù)D后發(fā)現(xiàn)決定著NW小世界網(wǎng)絡(luò)的分形維數(shù)。進(jìn)一步講，在病毒、火災(zāi)以及Internet和通信網(wǎng)絡(luò)中信息流的傳播和擴(kuò)散過(guò)程中存在的非線性摩擦等障礙因素，都會(huì)對(duì)傳播過(guò)程產(chǎn)生不可忽視的影響。因此還應(yīng)加入非線性摩擦項(xiàng)。從而有：經(jīng)過(guò)標(biāo)度代換和微分d次后得到如下的非線性傳播方程：其中：如果將上式寫成離散形式，令d=1，則一維離散小世界網(wǎng)絡(luò)的傳播方程為：

變量代換得到當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌；

當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔的傳播過(guò)。對(duì)于非線性傳播方程式，只考慮d=1的一維情形，即：以為分岔參數(shù)，如果，那么上述方程在處出現(xiàn)Hopf分岔。LiCG,ChenG.LocalstabilityandHopfbifurcationinsmall-worlddelayednetworks.Chaos,SolitonsandFractals,2004,20:353-361.3小世界網(wǎng)絡(luò)的廣義傳播動(dòng)力方程及其分岔前面的NW小世界網(wǎng)絡(luò)傳播方程都是經(jīng)過(guò)一系列標(biāo)度和時(shí)間變換得到的，這些變換都與NW小世界網(wǎng)絡(luò)模型的概率參數(shù)p有關(guān)，因此，當(dāng)p變化時(shí)所帶來(lái)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)演化，在傳播方程中被標(biāo)度變換式掩蓋而無(wú)法顯現(xiàn)出來(lái)。此外，p=0時(shí)的最近鄰網(wǎng)絡(luò)是NW小世界網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)特例，然而上述方程卻不能包含這一特定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，因?yàn)閜=0時(shí)，方程沒(méi)有意義。本文提出一個(gè)非線性病毒傳播模型，來(lái)描述增加新連接概率P在NW小世界網(wǎng)絡(luò)模型中的拓?fù)滢D(zhuǎn)化中的影響。在所有類型的病毒傳播中都純?cè)贖opf分岔。P不僅決定了NW小世界網(wǎng)絡(luò)模型的拓?fù)滢D(zhuǎn)變，在網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性方面也主導(dǎo)作用。LiX,ChenG,LiCG.Stabilityandbifurcationofdiseasespreadingincomplexnetworks.Int.J.ofSystemsScience,2004,35:527-536改進(jìn)后的模型，定義新的摩擦項(xiàng)，帶入此時(shí)方程被推廣為：這樣不做任何標(biāo)度變換而直接微分上面的方程，就得到了NW小世界網(wǎng)絡(luò)的更廣義的非線性傳播方程：定義了一些變量，經(jīng)計(jì)算可得相應(yīng)的分岔周期解的方向、穩(wěn)定性和周期等性質(zhì)。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在不同的時(shí)滯作用下，分岔參數(shù)表現(xiàn)出來(lái)的對(duì)小世界網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)P的依賴性是截然不同的。4復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳染動(dòng)力方程的分岔與震蕩考察在無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)（由真實(shí)的電子郵件網(wǎng)絡(luò)中估計(jì)而來(lái)的）中通過(guò)郵件傳播的計(jì)算機(jī)病毒的傳播動(dòng)態(tài)特性，我們認(rèn)為一個(gè)增長(zhǎng)的網(wǎng)絡(luò)，有一個(gè)新的使用者加進(jìn)來(lái)，都會(huì)導(dǎo)致從一個(gè)近乎滅絕的狀態(tài)中恢復(fù)過(guò)來(lái)。首先考慮一個(gè)無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)中真實(shí)的傳染病模型，為了更好的理解這種震蕩的傳染行為，分析了一個(gè)可以用確定性方程描述的簡(jiǎn)化增長(zhǎng)模型。簡(jiǎn)化模型（同質(zhì)的SIR模型）用微分或者差分方程描述的傳染過(guò)程中的不動(dòng)點(diǎn)穩(wěn)定性以及分岔等震蕩行為也受到了關(guān)注。SIRS模型的動(dòng)力方程可以用下面的微分方程表示：將上面的SIRS模型推廣得到SIRS模型的差分方程形式如下：RamaniA,CarsteaAS,WilloxR,GrammationsB.Oscillatingepidemics:adiscrete-timemodel.PhysicaA,2004,333:278-292確定性模型分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個(gè)SISR過(guò)程并不是簡(jiǎn)單地趨于一個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，它在某些相對(duì)的痊愈/感染條件下會(huì)出現(xiàn)震蕩的傳染行為。Hayashi等也利用均勻網(wǎng)絡(luò)和非均勻網(wǎng)絡(luò)的SIR模型來(lái)研究計(jì)算機(jī)病毒的傳播過(guò)程。

(a)震蕩情形(b)收斂情形HayashiY,MinouraM,MatsukuboJ.Oscillatoryepidemicprevalenceingrowingscale-freenetworks.Phys.Rev.E,2004,69:0161125計(jì)算機(jī)病毒在Internet上的傳播

4.5.1紅色代碼蠕蟲(chóng)的隨機(jī)常數(shù)傳播模型(RCS)4.5.2蠕蟲(chóng)的間隔模型4.5.3電子郵件病毒的傳播模型4.5.4電子郵件病毒傳播的仿真模擬5計(jì)算機(jī)病毒在Internet上的傳播縱觀計(jì)算機(jī)病毒的發(fā)展史，20世紀(jì)90年代初，絕大多數(shù)病毒的傳播途徑是磁盤，因而這一時(shí)期的病毒破壞力大多局限于某個(gè)局部的范圍，傳播的速度也相對(duì)較慢，隨著Internet的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)病毒的傳播方式和速度也不段升級(jí)。本節(jié)，主要介紹計(jì)算機(jī)病毒在Internet上傳播的一些模型和研究結(jié)果。通過(guò)電子郵件方式傳播病毒已成為Internet上病毒傳播的一種新的主要形式，所以本節(jié)對(duì)電子郵件病毒傳播的研究予以比較詳細(xì)的介紹。4.5.1紅色代碼蠕蟲(chóng)的隨機(jī)常數(shù)傳播模型(RCS)用隨機(jī)常數(shù)傳播模型來(lái)模擬紅色代碼蠕蟲(chóng)的爆發(fā)過(guò)程。該模型作了三個(gè)近似假設(shè)：一是忽略了系統(tǒng)可能被打補(bǔ)丁、關(guān)閉或切斷連接；二是認(rèn)為易攻擊的目標(biāo)數(shù)在這一模型中是常數(shù)；三是把Internet看作一個(gè)無(wú)向完全連接圖。令K為平均初始感染率，即每輪開(kāi)始的時(shí)候，被感染主機(jī)在單位時(shí)間內(nèi)攻擊易染主機(jī)的數(shù)目。假設(shè)K為常數(shù)，N為網(wǎng)絡(luò)中的易染主機(jī)數(shù)，a為時(shí)刻t已被感染的主機(jī)的比例（設(shè)a為一常數(shù)），那么時(shí)刻t被感染的主機(jī)數(shù)為Na，這些主機(jī)在單位時(shí)間內(nèi)以速率K掃描其他易染主機(jī)。StanifordS,PaxsonV,WeaverN.HowtoowntheInternetinyoursparetime.Proceedingsofthe11thUSENIXSecuritySymposium,August2002,149-167由于比例為a的主機(jī)已經(jīng)被感染，所以每個(gè)感染主機(jī)每單位時(shí)間內(nèi)會(huì)使個(gè)新的主機(jī)被感染。因此可以得到在下一時(shí)間段dt內(nèi)將被新感染的主機(jī)數(shù)n的表達(dá)式：設(shè)兩個(gè)不同的蠕蟲(chóng)在同一時(shí)刻攻擊同一目標(biāo)的可能性很小，忽略不計(jì)。在N為常數(shù)的假設(shè)下，

，帶入上式，得到如下的Logistic微分方程：

其解為L(zhǎng)ogistic曲線：T表示病毒傳播事件發(fā)生的固定時(shí)點(diǎn)，即被感染數(shù)最快速增長(zhǎng)的時(shí)刻，意味著病毒開(kāi)始爆發(fā)。當(dāng)時(shí)刻t遠(yuǎn)早于時(shí)刻T時(shí)，a呈指數(shù)增長(zhǎng)；當(dāng)時(shí)刻t遠(yuǎn)晚于T時(shí)，a趨向于1，即所有的易染主機(jī)都被感染了。感染速率僅依賴于K而與主機(jī)總數(shù)無(wú)關(guān)，這說(shuō)明，像紅色代碼蠕蟲(chóng)這樣的病毒在Internet上有可能相當(dāng)迅速地感染所有易染主機(jī)。本文提出一個(gè)非常簡(jiǎn)單的模型，對(duì)紅色病毒進(jìn)行理論建模，并與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。下圖為紅色代碼蠕蟲(chóng)第二輪再次爆發(fā)時(shí)，美國(guó)化學(xué)文摘服務(wù)社80端口被探測(cè)掃描的實(shí)際數(shù)據(jù)與RCS模型預(yù)測(cè)的結(jié)果比較，從中可以看出RCS模型對(duì)紅色代碼蠕蟲(chóng)的預(yù)測(cè)還是相當(dāng)準(zhǔn)確的。4.5.2蠕蟲(chóng)的間隔模型Serazzi認(rèn)為可靠性強(qiáng)的病毒傳播模型是非常有用的，可以預(yù)測(cè)未來(lái)威脅，也可以用來(lái)開(kāi)發(fā)新的的防御措施。這他的文章中，分析了最常用的病毒傳播模型的優(yōu)點(diǎn)與不足，并提出了自己的新的模型，并與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。他認(rèn)為大多數(shù)傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)病毒模型不適合用來(lái)分析被稱為“flash”等的蠕蟲(chóng)病毒。理論上而言RCS（隨機(jī)常數(shù)傳播模型）模型應(yīng)該使用于Slammer病毒，但模型數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)之間出現(xiàn)了很大差異，如下圖所示。SerazziG,ZaneroS.Computerviruspropagationmodels.2003,AvailableonURL:http://www.elet.polimi.it/upload/