基于多項(xiàng)式擬合的emd插值方法

基于多項(xiàng)式擬合的emd插值方法

1數(shù)據(jù)序列的延拓算法在提取信號(hào)的瞬時(shí)特征特征時(shí)，hilbert變換可以運(yùn)用分析方程中實(shí)體和虛擬部分之間的關(guān)系來確定任何時(shí)間的瞬時(shí)包絡(luò)、瞬時(shí)相位和瞬時(shí)頻率。但是對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)序列來講，Hilbert變換得到的結(jié)果很大程度上失去了原有的物理意義。Huang等人提出了一種新的信號(hào)處理方法--經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（EmpiricalModeDecomposition,EMD）。該方法從本質(zhì)上講是對(duì)一個(gè)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，產(chǎn)生一系列本征模函數(shù)分量（IntrinsicModeFunction,IMF）。因?yàn)榻?jīng)EMD分解得到的各IMF分量都是平穩(wěn)的，所以基于這些IMF分量進(jìn)行Hilbert變換后得到的Hilbert譜能夠準(zhǔn)確地反映出該物理過程中能量在空間（或時(shí)間）各種尺度上的分布規(guī)律。因此EMD方法為非平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行Hilbert變換奠定了基礎(chǔ)。但是在求每一個(gè)IMF分量的過程中，需要對(duì)數(shù)據(jù)序列的極大值和極小值點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值以得到上下包絡(luò)。樣條插值函數(shù)需要數(shù)據(jù)序列兩端數(shù)據(jù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，而由數(shù)據(jù)曲線得不到所需要的端點(diǎn)處信息，所以包絡(luò)線在端點(diǎn)會(huì)發(fā)生大的擺動(dòng)，形成非常棘手的端點(diǎn)問題。針對(duì)這一問題，鄧擁軍等人提出了用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行延拓的算法。該算法使用的是一種單層、單神經(jīng)元和線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。先由學(xué)習(xí)過程確定網(wǎng)絡(luò)模型的權(quán)重向量和偏移量，再由此模型對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行左右延拓。對(duì)于大多數(shù)信號(hào)數(shù)據(jù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓算法都可以很好地抑制端點(diǎn)效應(yīng)，該算法最大的不足就是速度太慢。趙進(jìn)平等人提出了鏡像延拓算法。該算法把原數(shù)據(jù)序列對(duì)稱地延拓成一個(gè)環(huán)形數(shù)據(jù)，再對(duì)環(huán)形數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化處理，輸出各IMF分量。鏡像延拓算法是一種理想的算法，但是較占存儲(chǔ)空間，而且如趙進(jìn)平所說，鏡像延拓一般要求把鏡面放在極值點(diǎn)處，當(dāng)無法確定一個(gè)數(shù)據(jù)序列的端點(diǎn)數(shù)據(jù)是否是極值點(diǎn)時(shí)，最好截去一部分?jǐn)?shù)據(jù)以便把鏡面放在極值點(diǎn)處。如果處理一個(gè)短數(shù)據(jù)，不適合截去時(shí)，處理效果就會(huì)欠佳。如圖1所示。圖1(a）圖中實(shí)線是信號(hào)z=cos(0.04πt)+cos(0.08πt)+0.5觹sin(0.01πt）其中t∈[1:99]，該文取t∈[12:88]這段信號(hào)作為原信號(hào)。對(duì)原信號(hào)利用鏡像延拓算法進(jìn)行延拓所得的數(shù)據(jù)為“o”線所示?！?”線是原信號(hào)的上包絡(luò)，虛線是延拓信號(hào)的上包絡(luò)。從圖1(a）可以看出延拓信號(hào)的包絡(luò)線與原信號(hào)的包絡(luò)線在t=12與t=88處有較大差別，而各IMF分量是由上下包絡(luò)線決定的，所以鏡像延拓算法對(duì)原信號(hào)的分析不太合理。圖1(b）是分解結(jié)果。該信號(hào)應(yīng)分解出兩個(gè)幅值為1的余弦信號(hào)和一個(gè)幅值為0.5的正弦信號(hào)，由于端點(diǎn)非極值點(diǎn)，兩個(gè)余弦信號(hào)沒有被分離開來?；谶@兩種算法，該文提出了多項(xiàng)式擬合算法。它和前兩種算法在抑制端點(diǎn)效應(yīng)上同樣有效，而且比較簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，是一種好的算法。2經(jīng)過處理的方法和端點(diǎn)問題2.1原數(shù)據(jù)的平穩(wěn)化EMD方法的基本思想是：假如一個(gè)原始數(shù)據(jù)序列X(t）的極值點(diǎn)數(shù)目比零點(diǎn)數(shù)目多2個(gè)（或2個(gè)以上），或者由極大值點(diǎn)決定的上包絡(luò)與由極小值點(diǎn)決定的下包絡(luò)的均值不為零，該數(shù)據(jù)序列就需要進(jìn)行平穩(wěn)化處理。具體處理方法是：找出X(t）的所有極大值點(diǎn)，用三次樣條函數(shù)對(duì)極大值點(diǎn)序列插值構(gòu)成X(t）的上包絡(luò)線；同理利用極小值點(diǎn)得到X(t）的下包絡(luò)線；上下包絡(luò)線的均值為平均包絡(luò)線m1(t）；將原數(shù)據(jù)序列X(t）減去該平均包絡(luò)m1(t）后得到一個(gè)新數(shù)據(jù)序列h1(t），即：一般來講，h1(t）仍然不是一個(gè)平穩(wěn)數(shù)據(jù)序列，為此需要對(duì)它重復(fù)上述處理過程，即：重復(fù)進(jìn)行上述處理過程k次，直到所得到的h1k(t）是一個(gè)IMF為止。這樣就得到了第一個(gè)IMF分量C1(t），即：第一個(gè)IMF分量代表原始數(shù)據(jù)序列中最高頻的組成成分。將原始數(shù)據(jù)序列X(t）減去第一個(gè)分量C1(t），可以得到一個(gè)去掉高頻組成成分的差值數(shù)據(jù)序列r1(t）。由于r1(t）仍然包含具有較長(zhǎng)周期組成成分的信息，所以把r1(t）當(dāng)作新的數(shù)據(jù)對(duì)它進(jìn)行上述平穩(wěn)化處理過程，得到第二個(gè)IMF分量C2(t）。如此重復(fù)下去直到最后一個(gè)差值序列rn(t）不可再被分解為止，此時(shí)rn(t）代表原始數(shù)據(jù)序列的均值或趨勢(shì)：原始數(shù)據(jù)序列可由這些IMF分量以及一個(gè)均值或趨勢(shì)表示：由于每一個(gè)IMF分量是代表一組特征尺度的數(shù)據(jù)序列，因此“篩”過程實(shí)際上將原始數(shù)據(jù)序列分解為各種不同特征波形的疊加。2.2包絡(luò)失真度風(fēng)險(xiǎn)EMD方法自推出以來已經(jīng)成功地應(yīng)用到許多非線性研究領(lǐng)域。但是，在應(yīng)用EMD方法時(shí)存在著端點(diǎn)問題，即“篩”過程中構(gòu)成上下包絡(luò)的三次樣條函數(shù)在數(shù)據(jù)序列的兩端會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，并且這種發(fā)散的結(jié)果會(huì)隨著“篩”過程的不斷進(jìn)行逐漸向內(nèi)“污染”整個(gè)數(shù)據(jù)序列而使所得結(jié)果嚴(yán)重失真。對(duì)于一個(gè)較長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列來講，可以根據(jù)極值點(diǎn)的情況不斷拋棄兩端的數(shù)據(jù)來保證所得包絡(luò)的失真度達(dá)到最小。對(duì)于一個(gè)短數(shù)據(jù)序列來講，這樣的操作就變得完全不可行。3基于多項(xiàng)式匹配算法的emd端點(diǎn)處理3.1使用最小二乘法求解擬合優(yōu)化對(duì)于離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，可以用一個(gè)近似函數(shù)去反映出這些離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)，而不是經(jīng)過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣的方法稱為數(shù)據(jù)擬合。數(shù)據(jù)擬合最常用的近似標(biāo)準(zhǔn)是最小二乘法。所謂最小二乘法是設(shè)f(x）為原函數(shù)，φ（x）為近似函數(shù)，（xi,f(xi))(i=0,1，…，n）為數(shù)據(jù)點(diǎn)，要求選擇φ（x），使為最小。當(dāng)φ（x）選擇為多項(xiàng)式時(shí)，稱為多項(xiàng)式擬合。求解擬合多項(xiàng)式的一般方法可以歸納為：(1）根據(jù)具體問題，確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)；計(jì)算出Sr和tr;(3）寫出正規(guī)方程組：(4）解正規(guī)方程組求出a0,a1，…an;3.2基于擬合的已發(fā)揮優(yōu)勢(shì)的檢測(cè)在篩選過程中出現(xiàn)端點(diǎn)問題，是由EMD算法決定的。對(duì)于原始數(shù)據(jù)序列X(t），先找出它的所有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，然后利用三次樣條函數(shù)對(duì)極大值點(diǎn)序列插值形成X(t）的上包絡(luò)線，同理利用極小值點(diǎn)得到X(t）的下包絡(luò)線。數(shù)據(jù)序列X(t）兩端點(diǎn)中任一點(diǎn)，只能是極小值點(diǎn)或極大值點(diǎn)。以左端點(diǎn)為例，如果該點(diǎn)為極大值點(diǎn)，那么上包絡(luò)線可以把它作為左端終點(diǎn)，不會(huì)發(fā)生大幅度的擺動(dòng)；對(duì)于下包絡(luò)線由于左端點(diǎn)不是極小值點(diǎn)，而無法確定它的左端終點(diǎn)，產(chǎn)生大幅度的擺動(dòng)，給篩選過程引入了誤差?；谶@種情況，當(dāng)由于端點(diǎn)非極大（或?。┲迭c(diǎn)上（或下）包絡(luò)線在端點(diǎn)處無法確定它的終點(diǎn)值時(shí)，如果能夠根據(jù)極值點(diǎn)序列中端點(diǎn)以內(nèi)數(shù)據(jù)的規(guī)律得出該序列在端點(diǎn)處的近似取值，則可以防止對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行樣條插值得到的包絡(luò)線出現(xiàn)較大的擺動(dòng)。取出原極值點(diǎn)序列（例如極大值點(diǎn)序列）最左端的三個(gè)極值點(diǎn)（如果極大值點(diǎn)序列的個(gè)數(shù)小于三個(gè)則取序列中所有元素）。對(duì)所取的極值點(diǎn)利用3.1中算法求出擬合多項(xiàng)式，計(jì)算出多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)序列左端點(diǎn)處的函數(shù)值，把此函數(shù)值作為極值點(diǎn)序列在該端點(diǎn)處的近似取值，同理求出極值點(diǎn)序列在右端點(diǎn)處的近似取值。最后利用三次樣條函數(shù)對(duì)新極值點(diǎn)序列進(jìn)行插值得到上包絡(luò)線，同理可以求出下包絡(luò)線。三次樣條函數(shù)在端點(diǎn)處有值可依，避免了上下包絡(luò)線的擺動(dòng)。雖然多項(xiàng)式擬合只能求出極值點(diǎn)序列在端點(diǎn)處（左、右端點(diǎn)）的近似取值，對(duì)極值點(diǎn)序列進(jìn)行了近似延拓，但是如趙進(jìn)平等人所認(rèn)為的，延拓的目的不是為了給出準(zhǔn)確的原序列以外的數(shù)據(jù)，而是提供一種條件，使得包絡(luò)完全由端點(diǎn)以內(nèi)的數(shù)據(jù)確定。所以該方法對(duì)原數(shù)據(jù)序列的處理，不但抑制了端點(diǎn)效應(yīng)，而且把其中的主要信息也完整地提取出來。多項(xiàng)式擬和算法對(duì)圖1(a）中信號(hào)的處理結(jié)果見圖2。從圖2可以看出原信號(hào)包含的三個(gè)組成成分被完整地提取出來了，第一行是頻率為0.08π的余弦信號(hào)，第二行是頻率為0.04π的余弦信號(hào)，第三行是正弦信號(hào)。4已生成的數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓算法的最大不足就是運(yùn)算速度太慢。EMD方法篩出每一個(gè)IMF分量都要循環(huán)若干次才能滿足結(jié)束條件，在每次循環(huán)中要利用該方法對(duì)原數(shù)據(jù)序列的兩端進(jìn)行延拓。每一端若延拓N個(gè)點(diǎn)就要循環(huán)N次，循環(huán)次數(shù)太多造成速度太慢。其次，對(duì)于不同類型的數(shù)據(jù)序列，最適合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型也會(huì)有所不同，在實(shí)際應(yīng)用過程中需根據(jù)需要設(shè)定不同類型的模型，給編程帶來了較大的麻煩。鏡像延拓算法首先把原始數(shù)據(jù)序列延拓成一環(huán)形數(shù)據(jù)，求各IMF分量時(shí)，對(duì)環(huán)形數(shù)據(jù)進(jìn)行一次次篩選，并把鏡面以上的數(shù)據(jù)作為輸出，而不必每次對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓，所以運(yùn)算速度大大提高。但是該方法使用了原始數(shù)據(jù)二倍的存儲(chǔ)空間，而且在求各IMF分量的每次循環(huán)過程中都要求出整個(gè)環(huán)形數(shù)據(jù)的上下包絡(luò)，所需時(shí)間是求原數(shù)據(jù)包絡(luò)時(shí)間的二倍。該文所提出的多項(xiàng)式擬和算法，在求原數(shù)據(jù)序列各IMF分量的若干次循環(huán)過程中，先利用極值點(diǎn)數(shù)據(jù)序列最左端和最右端的三個(gè)極值點(diǎn)求出擬和多項(xiàng)式，以得到極值點(diǎn)序列在兩端點(diǎn)處的近似值，再求出數(shù)據(jù)序列的上下包絡(luò)。雖然比鏡像延拓多了求兩端極值點(diǎn)的時(shí)間，但是在求數(shù)據(jù)序列上下包絡(luò)時(shí)比鏡像延拓少用了二分之一的時(shí)間，所以在時(shí)間方面，多項(xiàng)式擬合并不比鏡像延拓慢；而在空間方面，多項(xiàng)式擬和比鏡像延拓節(jié)約了二分之一的空間。二者的處理效果異曲同工，所以多項(xiàng)式擬和算法是一種有效的抑制端點(diǎn)效應(yīng)的算法。以上三種算法對(duì)由調(diào)幅、調(diào)頻和二進(jìn)制相移鍵控疊加的信號(hào)進(jìn)行處理的結(jié)果如圖3和表1所示。圖3中（a）是原信號(hào)，（b）至（e）中的第一行到第三行是IMF分量，最后一行是趨勢(shì)。其中（b）圖是在對(duì)端點(diǎn)處數(shù)據(jù)未做任何處理情況下對(duì)信號(hào)分解的結(jié)果，（c）至（e）依次為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓、鏡像延拓、多項(xiàng)式擬合的處理結(jié)果。從圖3可以看出三種算法都很好地抑制了端點(diǎn)效應(yīng)，都是有效地解決端點(diǎn)問題的算法。但從表1可以看出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓算法在時(shí)間上明顯比其他兩種方法遜色。鏡像延拓與多項(xiàng)式擬合算法在時(shí)間上差不多，但在空間上擬合算法表現(xiàn)了一定的優(yōu)勢(shì)。而且多項(xiàng)式擬合算法對(duì)像圖1(a）中一類信號(hào)的分析結(jié)果十分理想。所以不論從理論分析，還是從實(shí)驗(yàn)結(jié)果都可以看出該算法是一種好的方法。5擬合函數(shù)的選取及次數(shù)從對(duì)三種方法的比較中，可以看出多項(xiàng)式擬合是一種有效方法。不僅體現(xiàn)在時(shí)間和空間上，而且體現(xiàn)在處理結(jié)果上。利用多項(xiàng)式擬合算法時(shí)，首先用來作為擬合根據(jù)的點(diǎn)數(shù)不能太多。因?yàn)閿M合函數(shù)是利用最小二乘法