卡爾曼濾波器在運動目標中的跟蹤研究概要

南京理工大學(xué)紫金學(xué)院畢業(yè)設(shè)計闡明書(論文)作者:戴學(xué)飛學(xué)號：系：電子工程與光電技術(shù)系專業(yè):電子信息工程題目:卡爾曼濾波器在運動目的跟蹤中的研究及仿真講師李娟講師李娟指導(dǎo)者：(姓名)(專業(yè)技術(shù)職務(wù))馬玲副專家馬玲副專家評閱者：(姓名)(專業(yè)技術(shù)職務(wù))年5月南京理工大學(xué)紫金學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）評語學(xué)生姓名：戴學(xué)飛班級、學(xué)號：11電信3班、題目：卡爾曼濾波器在運動目的跟蹤中的研究仿真綜合成績：指導(dǎo)者評語：論文針對運動目的跟蹤的問題，建立了簡潔有效的數(shù)學(xué)模型，在問題的解決中引入了Kalman濾波器系統(tǒng)，對其濾波算法進行了推導(dǎo)，進一步理解了Kalman濾波器的迭代思想，并使用Matlab軟件對Kalman濾波思想在運動目的跟蹤問題中的應(yīng)用進行了仿真驗證，仿真成果體現(xiàn)對的無誤。論文綜述完整。程序設(shè)計合理,仿真成果對的。敘述充足，結(jié)論合理。技術(shù)用語精確，符號統(tǒng)一，編號齊全，書寫工整規(guī)范，整潔、對的。如能加入對加速度變化的運動目的進行跟蹤則更加好。同意參加答辯，建議成績良好。指導(dǎo)者(簽字)：年月日

畢業(yè)設(shè)計（論文）評語

評閱者評語：評閱者(簽字)：年月日答辯委員會（小組）評語：答辯委員會（小組）負責(zé)人(簽字)：年月日畢業(yè)設(shè)計闡明書（論文）中文摘要卡爾曼濾波是卡爾曼基于線性最小方差預(yù)計的基礎(chǔ)上，提出的最優(yōu)線性遞推濾波辦法，含有在數(shù)學(xué)構(gòu)造上比較簡樸、計算量小、存儲量低、實時性高的優(yōu)點。卡爾曼濾波在控制理論和控制系統(tǒng)工程中擁有著巨大影響力，并且在工程實踐上含有重要意義。因此，卡爾曼濾波器廣泛應(yīng)用于雷達數(shù)據(jù)解決等領(lǐng)域。本文針對平面內(nèi)勻速直線運動目的的跟蹤問題，采用卡爾曼濾波辦法來實現(xiàn)對運動目的的跟蹤。Matlab軟件仿真成果顯示跟蹤效果較好，證明采用此法跟蹤運動目的有效可行，含有一定研究價值。核心詞卡爾曼濾波；目的跟蹤；最優(yōu)；Matlab仿真畢業(yè)設(shè)計闡明書（論文）外文摘要TitleResearchonObjectTrackingBasedonKalmanFilterAbstractKalmanfilterisbasedonlinearminimumvarianceestimationandtheoptimallinearrecursivefilteringmethodbytheKalman,withinthemathematicalstructureisrelativelysimple,computationquantityissmall,lowstorageandhighreal-timeperformanceadvantages.Kalmanfilterinthecontroltheoryandcontrolsystemsengineeringhasagreatinfluence,andhasimportantsignificanceinengineeringpractice.Movingtargettrackingiswidelyusedinradardataprocessing.Aimingatthetrackingquestionofamovingtargetwithconstantvelocityalongalineinaflatsurface,wecanuseKalmanfilteringmethod,simulationwithMatlabresultsshowthattheeffectoftractingisveryperfect.Ithasgoodvalues.KeyWordsKalmanFilter;ObjectTracking;Optimal;Matlab目次TOC\o"1-2"\h\z\u1緒論 11．1研究意義以及目的 11．2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 21．3論文內(nèi)容以及構(gòu)造篇章 32Matlab軟件介紹 52.1軟件介紹 52.2Matlab基本功效 52.3Matlab優(yōu)點 52.4Matlab的應(yīng)用 63卡爾曼濾波器原理 83.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移 83.2狀態(tài)預(yù)測 93.3協(xié)方差矩陣 93.4噪聲協(xié)方差矩陣的傳遞 103.5觀察矩陣 113.6狀態(tài)更新 113.7噪聲協(xié)方差矩陣的更新 123.8卡爾曼濾波的五個公式 123.9卡爾曼變量和參數(shù) 134蒙特卡洛仿真實驗的數(shù)學(xué)思想 144.1蒙特卡洛辦法的產(chǎn)生與發(fā)展 144.2蒙特卡洛基本原理 165基本動態(tài)系統(tǒng)模型 175.1運動目的數(shù)學(xué)模型建立 175.2Matlab程序代碼及其注釋 185.3Matlab仿真成果以及分析 205.4對運動目的跟蹤非線性問題的初步探討 26結(jié)論 27致謝 28參考文獻 錯誤！未定義書簽。1緒論1．1研究意義以及目的卡爾曼濾波器是最優(yōu)的遞歸算法。針對于許多實際問題的解決它是效率最高的，最佳的，最有用的辦法?？柭鼮V波器已經(jīng)在機器人導(dǎo)航與控制系統(tǒng)，傳感器數(shù)據(jù)融合，軍事雷達和彈道軌跡外推等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。在近來的幾年，它在計算機圖像解決方面占據(jù)著非常重要的地位，如人臉識別，圖像邊沿檢測與圖像分割技術(shù)和操作系統(tǒng)等技術(shù)領(lǐng)域?？柭鼮V波器最初是專為飛行器導(dǎo)航而研制的，已成功地被應(yīng)用在諸多領(lǐng)域?？柭鼮V波器重要用來預(yù)估那些只能被系統(tǒng)本身間接或不精確觀察的系統(tǒng)狀態(tài)。因此卡爾曼濾波器在諸多工程系統(tǒng)和嵌入式系統(tǒng)中占據(jù)著重要的地位。雷達測量系統(tǒng)中，目的跟蹤往往是人們非常關(guān)注的方面，但測量運動目的的位置、速度和加速度在每時每刻都存在噪聲信號?？柭鼮V波是基于運動目的動態(tài)信息，設(shè)法消除噪聲干擾，從而獲取目的位置的最佳預(yù)計。這個預(yù)計過程重要有三個方面，第一種方面是對運動目的現(xiàn)在位置的預(yù)計，第二個方面是對運動目的將來位置的預(yù)計，第三個方面是對運動目的過去位置的預(yù)計。如果需要對某一運動中的目的進行跟蹤，首先需要做的是對運動目的進行跟蹤觀察，普通狀況下得到的觀察信息是不精確的，由于它包含著所需要的信息以及隨機觀察噪聲和干擾信號。如何從這些觀察信息和噪聲的信號中提取所需要的數(shù)據(jù)和多個參數(shù)，因此根據(jù)預(yù)測的將來狀態(tài)的觀察數(shù)據(jù)和運動目的跟蹤辦法的核心是預(yù)測辦法?？柭鼮V波遞推算法的原理是運用噪聲和觀察噪聲以及輸入和輸出值進行的測量，它是含有統(tǒng)計特性的預(yù)計系統(tǒng)。重要思想是：運用前一時刻對現(xiàn)在時刻的預(yù)測，現(xiàn)在的觀察值來更新對狀態(tài)量的預(yù)計（得到現(xiàn)在時刻的最優(yōu)預(yù)測值），從而求出下一時刻的預(yù)測值，實現(xiàn)遞歸的預(yù)測，達成及時精確跟蹤的效果?；究柭鼮V波器（KF）的約束條件下，即，系統(tǒng)必須是線性的，但大多數(shù)的系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)，因此大多數(shù)狀況下，需要用到擴展卡爾曼濾波（EKF）來對非線性系統(tǒng)進行預(yù)計。隨著卡爾曼濾波理論的升華，和某些實用的卡爾曼濾波技術(shù)不停被提出，如自適應(yīng)濾波和次優(yōu)濾波技術(shù)以及濾波散發(fā)克制技術(shù)等等已廣泛應(yīng)用到各個領(lǐng)域。其它濾波理論也很快得到重視，如線性離散系統(tǒng)的濾波（序列平方根濾波，信息平方根濾波，UD分解濾波）[3]?？柭鼮V波作為一種數(shù)值預(yù)計優(yōu)化辦法，與應(yīng)用領(lǐng)域的背景結(jié)合性很強。因此卡爾曼濾波用于解決諸多實際問題時，重要的不僅僅是算法優(yōu)化問題與實現(xiàn)，更重要的是運用獲取的領(lǐng)域知識對被認識系統(tǒng)進行形式化描述，建立起適宜的數(shù)學(xué)模型，再從這個模型出發(fā)，進行濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)工作。由于卡爾曼濾波含有實時遞推，存儲容量非常小和設(shè)計起來比較簡樸等優(yōu)點，因此卡爾曼濾波器在工程領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛。例如在信號解決、衛(wèi)星控制、石油勘探、故障診療、GPS定位、檢測與預(yù)計、控制、通信、航空航天、制導(dǎo)、目的跟蹤、多傳感器信息融合，機器人學(xué)和生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。1．2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀馬里蘭大學(xué)的實時監(jiān)控系統(tǒng)W4能夠基于單攝像頭對人體或者人體的各個部分進行實時地跟蹤。所謂W4是指，在哪里，什么人，什么時候，干什么，換句話說是指該系統(tǒng)能夠擬定什么目的，什么時候，什么地方，干什么。W4是基于身體和頭部，手等功效目的形狀分析，基于背景分離功效的自適應(yīng)前背景分離技術(shù)，和區(qū)域分裂合并到目的的交互功效?，F(xiàn)在，在美國，日本，歐洲已進行了大量有關(guān)運動目的檢測和跟蹤的研究工作，W4是一種基于視覺監(jiān)控系統(tǒng)能夠?qū)κ彝膺\動目的進行實時檢測和跟蹤，而IBM等大公司資助有關(guān)的研究領(lǐng)域，但愿能將研究成果應(yīng)用于商業(yè)領(lǐng)域。Pfinder是一款基于運動目的的顏色和形狀特性使用實時追蹤系統(tǒng)對大視角范疇的運動目的進行追蹤與測量的系統(tǒng)。同時也出現(xiàn)在許多國際會議與討論小組。Pfinder系統(tǒng)的實現(xiàn)有助于協(xié)助對室內(nèi)人員的行為進行監(jiān)控與行為鑒定。同時在交通系統(tǒng)中，Tai等人研究了一種視頻監(jiān)控系統(tǒng)用來交通事件檢測的，能夠自動檢測車輛和其運行軌跡的鑒定。VISATRAM系統(tǒng)能夠?qū)γ總€車道的車輛行為監(jiān)控，保障交暢通通Haag和Nagel專門機動車輛跟蹤的問題進行了進一步研究與發(fā)現(xiàn)，Pai等人基于十字路口的行人檢測與跟蹤實現(xiàn)行人數(shù)量統(tǒng)計的功效?，F(xiàn)在，在國外某些基本的視頻目的檢測與追蹤系統(tǒng)已經(jīng)比較成熟了。例如，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的視頻安全和控制方案研究。根據(jù)計劃，科研人員開發(fā)了一款端到端的測試系統(tǒng)，集成了含有許多先進視頻安全監(jiān)控技術(shù)，如基于靜態(tài)背景和運動背景對運動目的進行實時測量與追蹤，普通的目的記別（如人，汽車，卡車）分類，特殊的對象（如學(xué)校的公共汽車和有特殊標記的物體）的姿勢預(yù)計和分類識別，以及和相機的獨立控制，多攝像機協(xié)同跟蹤人體步伐分析等。在國內(nèi)的研究中也出現(xiàn)了一定的規(guī)模，舉辦了有關(guān)會議，探討了有關(guān)的研究成果和將來的發(fā)展方向。20世紀60年代末，我國開始對視頻目的檢測與追蹤技術(shù)進行研究，通過40數(shù)年的不懈努力與投入，我國在這一領(lǐng)域得到了相稱大發(fā)展，許多先進的圖像解決和模式識別辦法應(yīng)用于這一領(lǐng)域，同時某些實際系統(tǒng)的得到開發(fā)機會。中國的先進的影像識別和智能化程度，普通跟蹤技術(shù)，多目的的實時測量，低對比度和復(fù)雜的視頻圖像信息解決與國外相比還存在較大的差距。在實際過程跟蹤方面仍然存在著許多問題，如數(shù)據(jù)同時，含糊圖像，跟蹤穩(wěn)定性差等，由于這些方面的實用信息從國外獲得的極少，因此在這一領(lǐng)域進行了進一步的研究，以提高我國的國防實力，加強公民行為起著重要的作用?，F(xiàn)在，某些高校和科研機構(gòu)都開展了這項工作。相比之下，智能視頻監(jiān)控技術(shù)在國內(nèi)的研究起步較晚，但隨著數(shù)字圖像解決技術(shù)，計算機視覺等多個紅外、雷達、激光傳感器技術(shù)的不停發(fā)展，運動目的檢測與跟蹤技術(shù)的研究提供了必要的理論基礎(chǔ)和技術(shù)支持，發(fā)明環(huán)境的研究不可比擬的優(yōu)越性。如視覺與聽覺信息解決國家擁有著重點實驗室，例如北京大學(xué)高智能機器感知系統(tǒng)實驗室在三維視覺信息解決與智能機器人領(lǐng)域的研究獲得了許多成果[4]。1．3論文內(nèi)容以及構(gòu)造篇章本論文在對卡爾曼遞推濾波算法進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)的基礎(chǔ)上研究卡爾曼濾波原理在雷達跟蹤中的應(yīng)用。針對一平面內(nèi)運動目的，運用卡爾曼濾波辦法進行目的軌跡跟蹤,采用蒙特卡洛辦法通過Matlab7.0軟件進行濾波跟蹤仿真，具體涉及卡爾曼濾波增益和誤差方差陣計算，最后對誤差進行分析。為簡便研究分析，將運動目的的觀察的噪聲假設(shè)為高斯白色噪聲，并且討論普通的非平穩(wěn)的狀況。本論文的內(nèi)容安排以下：第一章緒論是對本課題研究的目的以及意義進行分析。只有在理解課題研究背景和研究現(xiàn)狀的前提下，才干更加好地開展設(shè)計工作。第二章對Matlab軟件作簡要介紹，這是對卡爾曼濾波模型進行模擬的最佳軟件。第四章介紹了蒙特卡洛仿真實驗的數(shù)學(xué)思想，并針對函數(shù)積分問題求解中的應(yīng)用做了具體的分析，最后總的介紹了蒙特卡洛基本原理。第三章和第五章是本論文的重點。第三章具體介紹了卡爾曼濾波器的基本原理，分析了各個公式的意義以及作用，并對卡爾曼濾波器重要方程式進行總結(jié)，多個卡爾曼參數(shù)進行闡明。第五章在第三章對卡爾曼濾波器原理具體剖析的基礎(chǔ)之上，針對一種平面內(nèi)小汽車運動目的的雷達跟蹤問題，使用卡爾曼遞推濾波辦法求解。以及運用軟件Matlab進行運動目的仿真驗證，并且分析運動目的速度和位置的方差。并且對運動目的跟蹤非線性問題的初步探討。

2Matlab軟件介紹2.1軟件介紹Matlab的簡稱是矩陣實驗室（MatrixLaboratory），是由美國MathWorks公司開發(fā)的高級技術(shù)計算機語言和交互式環(huán)境的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，其重要有兩大部分構(gòu)成的，Matlab和Simulink。Matlab和Mathematica、Maple三者并稱數(shù)學(xué)三大軟件。Matlab重要突出的方面體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用問題上的數(shù)值計算。Matlab有諸多功效，例如能夠進行矩陣運算實現(xiàn)算法、創(chuàng)立顧客界面、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、連接其它編程語言的程序等[1]。2.2Matlab基本功效Matlab是一種完美地將數(shù)據(jù)構(gòu)造和編程特性以及圖形顧客界面結(jié)合到一起的數(shù)學(xué)軟件，由美國MathWorks公司開發(fā)研制的。它為自己的顧客提供了矩陣運算功效和靈活的數(shù)組運算功效等，這些都是顧客經(jīng)常使用的某些功效。它與此同時還能夠與Fortran語言和C語言進行混合編程，大大提高了編程效率，因此進一步擴大了它的功效。其中特別重要的有下列幾點：1）復(fù)雜的矩陣或數(shù)組數(shù)據(jù)的單元操作，能直接解決矩陣或數(shù)組。2）編程語言構(gòu)造十分緊湊，內(nèi)涵非常豐富，編程效率相稱高，顧客使用很方便。3）繪制圖型功效十分強大，復(fù)雜的二維圖形和三維圖形顧客只需要編寫很短的程序代碼就能夠繪制出來了。4）為顧客提供了豐富的調(diào)用函數(shù)，顧客可直接使用，不需要顧客自己編程，提高了編程效率，例如顧客需規(guī)定解微分方程或微分方程組的解那么就能夠使用系統(tǒng)提供的Dsolve函數(shù)、如果需規(guī)定解線性方程組的解那么使用提供的Solve函數(shù)就行了[1]。2.3Matlab優(yōu)點Matlab中通過使用為顧客提供的可視化動態(tài)仿真環(huán)境———Simulink，能夠?qū)崿F(xiàn)對動態(tài)系統(tǒng)的非常直觀建模以及對動態(tài)系統(tǒng)的仿真與分析，并且Matlab也支持持續(xù)時間、離散時間以及持續(xù)和離散時間互相交替的線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)進行仿真測試功效，因此能夠使一種非常復(fù)雜系統(tǒng)的輸入和仿真都變得十分簡樸明[3]。Matlab能夠合用于許多學(xué)科、部門的多個規(guī)定，Matlab的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣。和C語言，F(xiàn)ORTRAN語言等編程語言相比，Matlab的指令體現(xiàn)式跟數(shù)學(xué)和工程中的運算形式是幾乎完全相似的，因此運用Matlab來求解相似問題的解要比用C語言，F(xiàn)ORTRAN語言等語言更加簡樸容易，并且Maple等軟件的優(yōu)點也被Matlab吸取了，因此Matlab成為一款不僅僅功效強大并且十分實用的數(shù)學(xué)軟件。在新的版本中C語言、FORTRAN語言、C++語言、JAVA語言也能夠被兼容進去使用了。顧客能夠自己編寫對應(yīng)的程序存到Matlab的程序調(diào)用庫中，方便顧客自己可下列一次編寫程序時直接調(diào)用這些以前編寫好的程序。同時，Matlab庫中已經(jīng)導(dǎo)入了諸多程序編寫愛好者已經(jīng)編寫好的多個各樣的程序代碼，這些都是某些非常典型的程序代碼，顧客能夠自己直接下載并且使用。2.4Matlab的應(yīng)用顧客能夠根據(jù)直角坐標和極坐標選擇的需要，柱面和球面坐標系統(tǒng)繪制平面曲線和空間曲線和曲面的外觀圖和網(wǎng)絡(luò)圖，也能夠繪制矢量圖，直方圖，直方圖等。另外,Matlab將數(shù)值分析、矩陣計算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大的功效集成在一種易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全方面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（C、FORTRAN)的編輯模式，代表了當今國際科學(xué)計算軟件的先進水平[8]。在電路和信號與系統(tǒng)以及數(shù)字信號解決等自動控制原理都是能夠基于Matlab來實現(xiàn)的。在這突出介紹下Matlab的繪圖功效。Matlab繪制圖形實例以下所示：基于Matlab軟件繪制數(shù)列圖形指令:symsnn=1000:10000;xn=(1+1./n).^n;plot(n,xn,':');gridon繪圖成果如圖2.1所示：圖2.1函數(shù)極限圖像直觀地表明了n當有限增大時,數(shù)列的變化趨勢,顧客通過繪圖能夠理解極限概念和含義。

3卡爾曼濾波器原理3.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移卡爾曼濾波的本質(zhì)是一種遞推預(yù)計過程，只要懂得上次狀態(tài)預(yù)計和觀察狀態(tài)能夠很容易地得到現(xiàn)在狀態(tài)值，它和其它的預(yù)計技術(shù)與眾不同，卡爾曼濾波器不需要觀察和預(yù)計的歷史統(tǒng)計，卡爾曼濾波器是一種純正的時域濾波器，它和其它的頻域濾波器最大的區(qū)別在于，例如低通、高通、帶通、帶阻等頻域濾波器，這些是需要在頻域中設(shè)計，然后在轉(zhuǎn)變屆時域中使用。但卡爾曼濾波器能夠直接在時間域內(nèi)設(shè)計和使用，它適合于實時解決數(shù)據(jù)。一種運動的目的，它現(xiàn)在狀態(tài)能夠?qū)懗删仃囆问骄褪且环N二維的列向量，即它由位置和速度構(gòu)成。如果已知上一時刻狀態(tài)那么現(xiàn)在時刻的狀態(tài)的位置及目的運動速度能夠用下列的表達辦法 （3.1） （3.2）的狀態(tài)的位置及目的運動速度的輸出變量都只是其輸入變量的線性組合，這體現(xiàn)了卡爾曼濾波器是最佳的線性濾波器，由于它只能描述狀態(tài)與狀態(tài)之間的線性關(guān)系。由于線性關(guān)系，把它寫成矩陣的形式：（3.3）進一步提取出兩個狀態(tài)變換矩陣和（3.4）其中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，作用在于如何從上一時刻的狀態(tài)來推測現(xiàn)在時刻的狀態(tài)。為控制矩陣，它表達控制量如何作用現(xiàn)在狀態(tài)。因此能夠得出卡爾曼公式中第一種公式：。3.2狀態(tài)預(yù)測（3.5）為對的預(yù)計量，由于物體的真實狀態(tài)無法懂得，只能根據(jù)所觀察的數(shù)據(jù)盡量的預(yù)計的真實值，接著需要根據(jù)觀察來更新預(yù)測值，方便得到最佳值。但是全部的推測過程都會包含噪聲影響，噪聲越大，不擬定性也就越大，如何表達這次推測帶來多少不擬定性需要引入?yún)f(xié)方差矩陣。3.3協(xié)方差矩陣先從一維狀況說起，以下圖3.1所示假設(shè)有一種一維的數(shù)據(jù)，由于噪聲，每次測量的值都不相似，但是都是圍繞在一種中心值的范疇。表達它的最簡樸方式就記下它的中心值和方差。這事實上是假設(shè)了它是一種高斯的分布。圖3.1一維噪聲數(shù)據(jù)分布二維的狀況以下圖3.2所示，分別對兩個坐標軸進行投影，在兩個軸上都是高斯分布。圖3.2二維噪聲數(shù)據(jù)分布如果兩個維度是互相獨立的就能夠分別記下中心值和兩個軸的方差。但是兩個維度含有有關(guān)性的時候，例如在一種維度上噪聲增大，另一種維度上噪聲也增大，如果一種維度增大另一種維度減小，這個時候?qū)蓚€坐標軸上投影和之前的是同樣的都是高斯分布，因此要表達兩個維度的有關(guān)性除了要統(tǒng)計兩個維度的方差之外還要協(xié)方差來表達兩個維度之間的有關(guān)程度。寫成矩陣的形式：（3.6）對角線上的兩個值是兩個維度的方差，反對角線上的兩個值是相等的，是它們的協(xié)方差。在卡爾曼濾波器中全部有關(guān)不擬定性的表述都要用到協(xié)方差矩陣。3.4噪聲協(xié)方差矩陣的傳遞每一種時刻的不擬定性都是由協(xié)方差矩陣來表達的，如何讓這種不擬定性在每一刻之間傳遞呢。（3.7）式（3.7）表達從上一時刻的協(xié)方差推測現(xiàn)在時刻的協(xié)方差。具體推導(dǎo)根據(jù)協(xié)方差矩陣的性質(zhì)。這個時候還要考慮一種問題，這個預(yù)測模型也不是百分之百精確的，它本身也是包含噪聲的，因此要在背面加上一種協(xié)方差矩陣來表達預(yù)測模型本身帶來的噪聲。因此公式寫成：（3.8）式（3.8）就是卡爾曼濾波器的第二個公式，它表達不擬定性在各個時刻之間的傳遞關(guān)系。3.5觀察矩陣每一種時刻都能觀察到物體的位置，觀察到的值，記為，那么從物體本身的狀態(tài)到觀察狀態(tài)之間有一種變化關(guān)系，記為，固然這種變換關(guān)系也只能是線性關(guān)系，由于卡爾曼濾波器是線性濾波器，因此理所固然的要把寫成矩陣的形式。也就是所謂的觀察矩陣,和的維度是不一定相似的，如果是一種二維的列向量，是一種標量，因此用公式表達觀察矩陣，其中為觀察的噪聲，這個觀察的協(xié)方差矩陣用來表達，如果觀察的值是一種一維的值，那么這個的形式也不是一種矩陣，也只是一種值，僅僅表達的方差，假設(shè)除了用雷達尚有別的測量辦法能夠觀察到物體的某項特性,那么就可能是一種多維的列向量，它會涉及每一種測量方式的測量值，而每一種測量值都是真實值的一種不完全體現(xiàn)，能夠從幾個不完全體現(xiàn)中推斷出真實的狀態(tài)，而卡爾曼濾波器這種數(shù)據(jù)融合功效正是在這種測量矩陣中體現(xiàn)出來的。3.6狀態(tài)更新已有了觀察量和它的協(xié)方差矩陣，這個時候需要整合進去對狀態(tài)的預(yù)計。最佳預(yù)計值得公式是：（3.9）對式（3.9）分析，加上的這項表達實際的觀察值與預(yù)期的觀察值之間的殘差，這殘差乘上一種系數(shù)就能夠修正的值了，這個十分的核心，它叫做卡爾曼系數(shù)，它也是一種矩陣。（3.10）這個式（3.10）的推導(dǎo)十分復(fù)雜，這里就定性的來分析一下。這個卡爾曼系數(shù)的作用重要有兩個方面，一是權(quán)衡預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差和觀察量的協(xié)方差矩陣的大小來決定是相信預(yù)測模型多一點還是相信觀察模型多一點，如果相信預(yù)測模型多一點這個殘差權(quán)重就會小一點，如果相信觀察模型多一點那么這個殘差權(quán)重就會大一點。二是把殘差的體現(xiàn)形式從觀察域轉(zhuǎn)換到狀態(tài)域。剛剛說到觀察值只是一種一維的向量，狀態(tài)是一種二維的列向量，它們用的單位甚至是特性都有可能是不同的，那怎么用觀察值的殘差去更新狀態(tài)值其實就要涉及到這個卡爾曼系數(shù)，事實上這個卡爾曼系數(shù)就是在做這樣一種轉(zhuǎn)換，觀察到物體的位置，但是里面已經(jīng)包含了協(xié)方差矩陣的信息，因此它運用位置和速度這兩個維度的有關(guān)性，從位置的殘差里推算出了速度的殘差，從而能夠?qū)顟B(tài)的兩個維度同時進行修正。3.7噪聲協(xié)方差矩陣的更新（3.11）更新最佳預(yù)計值得噪聲分布，這個值是留給下一輪迭代時候用的，在這一步里狀態(tài)的不擬定性是減小的，而在下一輪里由于傳遞噪聲的引入不擬定性又會增大，卡爾曼濾波器就是在這種不擬定性的變化中謀求的一種平衡。但是要注意的是這個公式僅僅在最優(yōu)卡爾曼增益時它才成立。如果算術(shù)精度總是很低而造成數(shù)值穩(wěn)定性出現(xiàn)問題，或者特意使用非最優(yōu)卡爾曼增益，那么就不能使用這個公式[13]。3.8卡爾曼濾波的五個公式預(yù)測：（3.12）（3.13）式（3.12）和式（3.13）是通過前一種時刻的狀態(tài)來預(yù)測現(xiàn)在時刻的狀態(tài)，這并不是最佳的預(yù)計值，它們還欠缺點東西，這個欠缺的東西就是從觀察里面帶來的信息，由于還沒考慮現(xiàn)在時刻的觀察值。更新：（3.14）（3.15）（3.16）式（3.14）式（3.15）和式（3.16）三個公式就用現(xiàn)在的觀察值來更新和,通過更新后的值就是最佳預(yù)計值了。3.9卡爾曼變量和參數(shù)表3.1卡爾曼變量和參數(shù)變量定義維數(shù)現(xiàn)在t時刻位置現(xiàn)在t時刻速度t時刻狀態(tài)矩陣21狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣22控制矩陣21控制量對的預(yù)計量21協(xié)方差矩陣22t-1時刻的協(xié)方差t時刻的協(xié)方差預(yù)計噪聲協(xié)方差矩陣觀察值觀察矩陣12觀察協(xié)方差矩陣12觀察噪聲現(xiàn)在位置最佳預(yù)計值21卡爾曼增益矩陣最佳預(yù)計的協(xié)方差

4蒙特卡洛仿真實驗的數(shù)學(xué)思想4.1蒙特卡洛辦法的產(chǎn)生與發(fā)展蒙特卡羅（MonteCarlo）辦法，又稱隨機抽樣或者稱統(tǒng)計實驗辦法，屬于計算數(shù)學(xué)的一種分支，它是基于上世紀四十年代中期為了適應(yīng)當時原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來的數(shù)學(xué)辦法[7]。傳統(tǒng)的經(jīng)驗辦法之因此很難得到滿意的答案是由于不能逼近真實的物理過程，而蒙特卡羅辦法之因此解決問題與實際非常符合是由于能夠真實地模擬實際物理過程，能夠得到很圓滿的成果。20世紀40年代以來，隨著電子計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，人們開始能夠使用計算機技術(shù)來模擬這類實驗。計算機能夠取代諸多事實上非常龐大而復(fù)雜的數(shù)字仿真技術(shù)，由于計算機含有較高的運算速率與存儲容量大的特點，并且對實驗成果的解決十分快速，于是蒙特卡洛辦法被重新提起，并且蒙特卡洛的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛。特別是相比于可視化編程的多個辦法不停出現(xiàn)，更加顯示了蒙特卡羅辦法的獨特之處，視覺計算機數(shù)學(xué)模擬實驗，用數(shù)學(xué)的辦法解決。4.1.1蒙特卡洛辦法求函數(shù)的積分如果要計算下面函數(shù)的積分：（4.1）其中函數(shù)，如果直接對函數(shù)積分，成果為。采用蒙特卡洛辦法來求積分，先設(shè)兩個隨機變量和都在區(qū)間上服從均勻分布。這兩個隨機變量互相獨立的，將的樣本點投放到平面上，以下圖4.1所示，那么落在區(qū)域的概率為區(qū)域的面積與正方形的面積之比（正方形面積為1），即：（4.2）可見對函數(shù)的積分問題就轉(zhuǎn)化成了一種概率的計算問題，其優(yōu)點體現(xiàn)在，概率能夠用相對頻數(shù)來近似，相對頻數(shù)是可通過統(tǒng)計實驗的辦法求得。具體辦法是將個隨機點均勻地投放到平面上的正方形區(qū)域內(nèi)，如果有個點落在區(qū)域內(nèi)，那么相對頻數(shù)為，公式以下所示：（4.3）式（4.3）是對積分的一種預(yù)計，預(yù)計的精度重要跟實驗次數(shù)有關(guān)，也稱為蒙特卡洛仿真次數(shù)。下面給出了用蒙特卡洛辦法計算積分的MATLAB程序。symsx;y1=int(0.5-(0.5-x).^2,0,1);zhenshizhi=eval(y1)N=0;x1=unifrnd(0,1,1,M);y1=unifrnd(0,1,1,M);fori=1:Mify1(i)<=(0.5-(0.5-x1(i)).^2)N=N+1;endendfangzhenzhi=N/M仿真成果如圖4.1所示：圖4.1積分圖從以上的例子能夠看出應(yīng)用蒙特卡洛仿真的普通環(huán)節(jié)：1）建立適宜的概率模型；2）進行多次重復(fù)實驗；3）對重復(fù)實驗成果進行統(tǒng)計分析（預(yù)計相對頻數(shù)、均值等）、分析精度。

4.2蒙特卡洛基本原理當所規(guī)定解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的盼望值時，它們能夠通過某種“實驗”的辦法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個隨機變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解。這就是蒙特卡羅辦法的基本思想。[10]蒙特卡羅辦法通過抓住事物運動的幾何數(shù)量和幾何特性，運用數(shù)學(xué)辦法來加以模擬，即進行一種數(shù)字模擬實驗。它是以一種概率模型為基礎(chǔ)，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的成果，作為問題的近似解[10]。能夠把蒙特卡羅解題歸結(jié)為三個重要環(huán)節(jié)：構(gòu)造或描述概率過程；實現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立多個預(yù)計量[6]。本論文對于運動目的跟蹤模型的仿真即采用蒙特卡洛辦法。

5基本動態(tài)系統(tǒng)模型5.1運動目的數(shù)學(xué)模型建立卡爾曼濾波器是最佳線性濾波器，由于它只能描述線性時域系統(tǒng)，對于運動目的的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，輸入和輸出必須是線性關(guān)系，隨著時間推移，狀態(tài)轉(zhuǎn)移都會產(chǎn)生一種新的狀態(tài)，同時每次狀態(tài)轉(zhuǎn)移都會加入新的控制量，并且每一次的預(yù)測都會帶來噪聲干擾，系統(tǒng)的狀態(tài)到對目的的觀察也是一種線性的關(guān)系，從狀態(tài)量到觀察量這個過程也會存在噪聲的干擾?？柭鼮V波器基本動態(tài)系統(tǒng)模型如圖5.1所示，向量、矩陣、高斯噪聲分別由圓、正方形、六角星表達，其觀察噪聲和預(yù)測噪聲協(xié)方差在右下方正方形中標出。圖5.1卡爾曼濾波器基本動態(tài)系統(tǒng)模型假設(shè)有一輛小汽車在路上行駛，假設(shè)道路無限長，并且筆直，用小汽車的位置和速度來表達它現(xiàn)在時刻的狀態(tài)。駕駛員能夠踩油門也能夠踩剎車使其產(chǎn)生一種向前的加速度或者一種向后的加速度，表達對車的一種控制量，如果沒踩油門也沒踩剎車，則=0車就會做勻速直線運動。在小汽車的左端放置一種雷達，方便能夠測出小汽車的位置和速度，但是在整個測量和觀察過程中，都存在噪聲，設(shè)為高斯白噪聲，為了簡便起見，本文設(shè)小汽車運動速度為5m/S，10m/S,20m/S的勻速直線運動。雷達掃描周期分別為1s、2s和3s進行了分析。這個運動目的的數(shù)學(xué)模型，能夠用下列差分方程表達：（5.1）（5.2）和分別表達小汽車在時刻的位置和速度，表達小汽車在的加速度，為了簡樸起見，我們在這里設(shè)加速度為0。那么得出小汽車的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：（5.2）式（5.2）中，，為均值為0的高斯噪聲，其協(xié)方差矩陣為。其觀察方程為：（5.3）式子中為一種一維的標量，它表達雷達在時刻測量出小汽車的位置，為時刻小汽車的測量矩陣，為該過程測量的高斯白噪聲，協(xié)方差矩陣為。由于目的的動態(tài)模型是線性的，過程噪聲和測量噪聲服從高斯分布且互相獨立，因此能夠運用卡爾曼濾波技術(shù)對目的的位置和速度進行預(yù)計，其預(yù)計的均方誤差是最小的。對運動目的位置和速度的最佳濾波預(yù)測如表5.1所示：表5.1位置和速度的最佳濾波預(yù)測預(yù)測預(yù)測誤差協(xié)方差Kalman增益濾波濾波協(xié)方差5.2Matlab程序代碼及其注釋clc;Z=5*(1:100);%觀察值noise=randn(1,100);%方差為1的高斯噪聲Z=Z+noise;%觀察帶噪聲的小汽車位置數(shù)值X=[0;0];%汽車的初始狀態(tài)P=[10;01];%狀態(tài)協(xié)方差矩陣F=[11;01];%狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Q=[0.0001,0;00.0001];%狀態(tài)轉(zhuǎn)移協(xié)方差矩陣H=[10];%觀察矩陣R=1;%觀察噪聲方差C=0;M=0;L=0;figure;%畫圖，畫出濾波100次的圖holdon;%卡爾曼濾波100次開始fori=1:100V=5;%產(chǎn)生真實的速度X_=F*X;%狀態(tài)預(yù)測公式P_=F*P*F'+Q;%狀態(tài)協(xié)方差矩陣的傳遞K=P_*H'/(H*P_*H'+R);%卡爾曼增益矩陣X=X_+K*(Z(i)-H*X_);%狀態(tài)的更新P=(eye(2)-K*H)*P_;%噪聲協(xié)方差矩陣的更新a(i)=X(1);c(i)=X(2);f(i)=Z(i)%畫出估算速度的方差和估算位置的方差C=(X(2)-V)^2+C;D=C/i;M=(X(1)-Z(i))^2+M;L=M/i;plot(i,D,'K',i,L,'B');legend('估算的速度的方差','估算位置的方差');endfigure(2)%畫圖plot(a,c,a,V,'R');legend('估算的速度','真實的速度');5.3Matlab仿真成果以及分析首先設(shè)定掃描周期為1秒，初始狀態(tài)，小汽車真實運動運動速度為5m/S。如圖5.2所示：圖5.25m/S卡爾曼濾波的成果圖5.35m/S速度和位置估的方差設(shè)定掃描周期為1秒，初始狀態(tài)，小汽車真實運動運動速度為10m/S。如圖5.4所示：圖5.410m/S卡爾曼濾波的成果圖5.510m/S速度和位置估的方差設(shè)定掃描周期為1秒，初始狀態(tài)，小汽車真實運動運動速度為20m/S。如圖5.6所示：圖5.620m/S卡爾曼濾波的成果圖5.720m/S速度和位置估的方差設(shè)定掃描周期為2秒，初始狀態(tài)，小汽車真實運動運動速度為5m/S。如圖5.8所示：圖5.8雷達掃描為2S的卡爾曼濾波成果圖5.9雷達掃描為2S的速度和位置方差設(shè)定掃描周期為3秒，初始狀態(tài)，小汽車真實運動運動速度為5m/S。如圖5.10所示：圖5.10雷達掃描為3S的卡爾曼濾波成果圖5.11雷達掃描為3S的速度和位置方差卡爾曼濾波成果的圖中，橫軸表達小汽車的位置，縱軸表達小汽車的速度。在卡爾曼濾波的速度和位置的方差圖中，橫軸表達濾波的次數(shù)，縱軸表達方差值。通過分析圖5.2和圖5.4以及圖5.6，發(fā)現(xiàn)針對于不同運動速度的小汽車。預(yù)計的速度曲線和真實的速度曲線擬合程度都很不錯?？柭鼮V波器就用了極少的幾次迭代就靠近了真實的速度，并且之后就始終出現(xiàn)在真實速度的水平范疇，再結(jié)合圖5.3和圖5.5以及圖5.7小汽車的位置和速度方差圖，顯示隨著濾波次數(shù)的增加，不同運動速度的小汽車位置和速度方差值都在變小，這些都闡明了卡爾曼濾波的高效性。因此得出一種結(jié)論，運動目的處在低速狀況下，跟蹤的目的速度并不影響卡爾曼濾波器的效率。接著探討雷達掃描周期對卡爾曼曼濾波器的影響，通過對比圖5.2圖5.8和圖5.10，雷達掃描周期分別為1秒、2秒、3秒，運動小汽車速度都為5m/S直線運動，從曲線擬合角度去看，卡爾曼濾波器仍然很高效的，但是認真觀察并且結(jié)合圖5.3圖5.9和圖5.11，發(fā)現(xiàn)隨著雷達掃描周期的變慢，卡爾曼濾波器效率有些下降，小汽車速度和位置的方差在變大，曲線擬合開始變差。由于雷達掃描周期的變慢，那么采樣的點與點之間存在的不擬定性就在變大，因此雷達的掃描周期對卡爾曼濾波器是有著一定的影響?？柭鼮V波的最核心的地方在于由測量值重新構(gòu)造系統(tǒng)的狀態(tài)向量。它基于先預(yù)測再進行實測最后結(jié)合預(yù)測和實測來修正預(yù)測值的次序遞推，這樣能夠從帶噪聲的系統(tǒng)中重現(xiàn)系統(tǒng)原來的樣子。從仿真成果也能夠看得出，卡爾曼濾波器能夠非常有效地在從一定的噪聲干擾條件下系統(tǒng)中相對比較精確地反映真實的系統(tǒng)?？柭鼮V波是基于最小均方差預(yù)計準則的一套最佳遞推濾波算法，并且卡爾曼濾波的最基本原理是基于被測信號與噪聲的空間狀態(tài)分布模型，它結(jié)合了前一時刻的預(yù)計值和現(xiàn)在時刻的觀察值來更新現(xiàn)在狀態(tài)變量，解出現(xiàn)在時刻的預(yù)計值[16]。因此卡爾曼濾波器十分合用實時時刻解決數(shù)據(jù)和計算機運算。5.4對運動目的跟蹤非線性問題的初步探討雷達對動態(tài)目的跟蹤，普通在極（球）坐標系統(tǒng)，因此目的相對于徑向距離的觀察點的觀察量而言，角度和角（也可能獲得觀察到的徑向距離的比值），為了有效地消除噪聲的影響，需要測量濾波[13]。在對運動目的的跟蹤中，例如雷達領(lǐng)域、聲納和導(dǎo)航等領(lǐng)域，卡爾曼跟蹤濾波器都體現(xiàn)出了其高性能的濾波性能，因此被廣泛得到應(yīng)用。當卡爾曼濾波器對勻速直線運動目的的跟蹤時，由于在笛卡兒坐標系中的目的狀態(tài)方程是線性的，但是對目的的觀察往往是在球坐標系下進行的，因此測量值是徑向距離，角和傾角，因此目的的狀態(tài)矩陣不是太好通過線性變化表達觀察矩陣，因此不能直接使用卡爾曼濾波器。在解決這個問題時，有種辦法解決，那就是使用卡爾曼濾波器的推廣（EKF）。在使用推廣卡爾曼濾波(extendedkalmanfilter)辦法中，通過泰勒級數(shù)展開的辦法將球坐標系下對觀察量近似線性化表達為狀態(tài)函數(shù)后，接著在直角坐標系下進行運動目的的狀態(tài)濾波，但是是在球坐標系下對觀察量進行預(yù)測，修正運動目的的狀態(tài)。因此推廣卡爾曼濾波是一種解析近似非線性濾波，是卡爾曼濾波在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用[13]。相比而言推廣卡爾曼濾波辦法是直接運用球坐標系下的線性觀察值，不需要對觀察噪聲進行有關(guān)解決，因此相對比較簡樸，但是由于是通過泰勒級數(shù)展開的辦法將球坐標系下對觀察量近似線性化表達為狀態(tài)函數(shù)的，泰勒級數(shù)不可能無限展開，總是需要略去高階分量，因此存在精度問題，如果跟蹤的運動目的需要高精度的跟蹤，那么就不能使用推廣卡爾曼濾波的辦法[13]。結(jié)論本次畢業(yè)設(shè)計是基于Matlab的卡爾曼濾波器在運動目的跟蹤中的研究以及仿真，采用了蒙特卡洛的數(shù)學(xué)實驗思想，通過數(shù)學(xué)建模，編寫程序進行驗證了卡爾曼濾波器是一種高效的線性時域濾波器。并且分析了運動目的的速度和位置的方差。其中在第三章中本論文具體介紹了卡爾曼濾波原理，對卡爾曼濾波器的五個核心公式做了定性分析。它基于先預(yù)測再進行實測最后結(jié)合預(yù)測和實測來修正預(yù)測值的次序遞推，這樣能夠從帶噪聲的系統(tǒng)中重現(xiàn)系統(tǒng)原來的樣子。但是本論文中存在美中局限性之處在于對運動目的的建模過于簡樸，運動目的的運動方式比較單一，只是一種勻速直線運動，本論文去除了運動目的的加速度，但是總程序仿真成果來看，仍然能夠看出卡爾曼濾波器的高效。在測量過程中，雷達只是測量運動物體的位置，造成只是個一維的標量。本論文分別研究了卡爾曼濾波器對不同運動速度的物體進行跟蹤仿真，以及不同雷達掃描周期對卡爾曼濾波器的影響，分別對速度和位置的方差做了分析，總的看來，卡爾曼濾波器是一種高效的濾波器。本文討論了卡爾曼濾波器在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用，并在最后對卡爾曼濾波器在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用做了初步探討?？柭鼮V波作為一種數(shù)值預(yù)計濾波的辦法，與應(yīng)用領(lǐng)域的背景結(jié)合性很強。因此在應(yīng)用卡爾曼濾波器解決問題時，重要的不僅僅是實現(xiàn)算