上海市金山區(qū)2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上海市金山區(qū)2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）評卷人得分一、單選題1．“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．某地教育局為了解“雙減”政策的落實(shí)情況，在轄區(qū)內(nèi)高三年級在校學(xué)生中抽取100名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時(shí)間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下頻率直方圖.根據(jù)此頻率直方圖，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．所抽取的學(xué)生中有25人在2小時(shí)至小時(shí)之間完成作業(yè)B．該地高三年級學(xué)生完成作業(yè)的時(shí)間超過3小時(shí)的概率估計(jì)為C．估計(jì)該地高三年級學(xué)生的平均做作業(yè)的時(shí)間超過小時(shí)D．估計(jì)該地高三年級有一半以上的學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間4．對于定義在上的函數(shù)，若同時(shí)滿足：（1）對任意的，均有；（2）對任意的，存在，且，使得成立，則稱函數(shù)為“等均”函數(shù).下列函數(shù)中：①；②；③；④，“等均”函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題5．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為__________.6．已知（為虛數(shù)單位），則___________.7．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的公比為___________.8．的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為__________.（結(jié)果用數(shù)字作答）9．若正方體的棱長為2，則頂點(diǎn)到平面的距離為__________.10．不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于__________.11．已知向量，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.12．將一枚骰子先后拋兩次，則向上的點(diǎn)數(shù)之積為12的概率為__________.（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）13．過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于A，兩點(diǎn)，，則的值為__________．14．已知平面向量滿足，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則面積的最大值為__________.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，函數(shù)定義域?yàn)?，對任意都?若，則的值為__________.16．設(shè)，若存在，使成立的最大正整數(shù)為9，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.評卷人得分三、解答題17．如圖，已知四棱錐的底面是梯形，平面，(1)求四棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的大小.18．在中，角、、所對的邊分別為、、.已知，且為銳角.(1)求角的大?。?2)若，證明：是直角三角形.19．經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品在未來一個(gè)月（30天）內(nèi)的日銷售量（百件）與時(shí)間第天的關(guān)系如下表所示：第天131030日銷售量（百件）23未來30天內(nèi)，受市場因素影響，前15天此商品每天每件的利潤（元）與時(shí)間第天的函數(shù)關(guān)系式為，且為整數(shù)，而后15天此商品每天每件的利潤元與時(shí)間第天的函數(shù)關(guān)系式為（，且為整數(shù)）.(1)現(xiàn)給出以下兩類函數(shù)模型：①（為常數(shù)）；②為常數(shù)，且.分析表格中的數(shù)據(jù)，請說明哪類函數(shù)模型更合適，并求出該函數(shù)解析式；(2)若這30天內(nèi)該公司此商品的日銷售利潤始終不能超過4萬元，則考慮轉(zhuǎn)型.請判斷該公司是否需要轉(zhuǎn)型？并說明理由.20．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓上一點(diǎn)，的延長線分別交橢圓于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).(1)求的周長；(2)當(dāng)垂直于軸時(shí)，求直線的方程；(3)記與的面積分別為，求的最大值.21．對于集合且，定義且.集合A中的元素個(gè)數(shù)記為，當(dāng)時(shí)，稱集合A具有性質(zhì).(1)判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)設(shè)集合，且具有性質(zhì)，若中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，求的值；(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，問：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，則且或且，此時(shí)方程表示的曲線一定為雙曲線；則充分性成立；若方程表示的曲線為雙曲線，則，則必要性成立，故選：.2．B【解析】【分析】在正方體中取直線和平面可排除ACD，由線面垂直的性質(zhì)可得B正確.【詳解】在正方體中，記底面ABCD為，EF為m，EH為n，顯然A不正確；記底面ABCD為，EF為m，平面CDHG為，故排除C；記底面ABCD為，BF為m，平面ABFE為，可排除D；由線面垂直的性質(zhì)可知B正確.故選：B3．D【解析】【分析】對A，利用直方圖中2小時(shí)至小時(shí)之間的頻率判斷A;對B，計(jì)算超過3小時(shí)的頻率可判斷B;對C，根據(jù)直方圖中平均數(shù)的公式計(jì)算，可判斷C;對D，計(jì)算做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間的頻率，可判斷D.【詳解】對A，直方圖中2小時(shí)至小時(shí)之間的頻率為，故所抽取的學(xué)生中有25人在2小時(shí)至小時(shí)之間完成作業(yè)，故A正確；對B，由直方圖得超過3小時(shí)的頻率為,所以B正確；對C，直方圖可計(jì)算學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間的平均數(shù)為：，所以C正確；對D，做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間的頻率為，所以D錯(cuò)誤.故選:D．4．B【解析】【分析】按照“等均”函數(shù)的定義，對四個(gè)函數(shù)一一驗(yàn)證，即可判斷.【詳解】對于①：因?yàn)?所以的定義域?yàn)镽.對任意的，,滿足(1)；所以存在,使得,滿足(2).所以為“等均”函數(shù).對于②：因?yàn)?所以的定義域?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在,不滿足(1)；所以不是“等均”函數(shù).對于③：因?yàn)?所以的定義域?yàn)?對任意的，,滿足(1)；.若滿足,則有所以.又因?yàn)?，所以，所以，滿足且.所以為“等均”函數(shù).對于④：因?yàn)?所以的定義域?yàn)镽.對任意的，,滿足(1)；.若滿足,則有設(shè)，則，所以在R上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)不滿足（2）.所以不是“等均”函數(shù).故“等均”函數(shù)的個(gè)數(shù)是2.故選：B.5．0【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以（舍去）或，所?故答案為：06．##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】,.故答案為：.7．3【解析】【分析】由題設(shè)知等比數(shù)列公比，根據(jù)已知條件及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比即可.【詳解】由題設(shè)，等比數(shù)列公比，且，所以，可得或（舍），故的公比為3.故答案為：38．24【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得的通項(xiàng)公式為：，故項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：249．【解析】【分析】連接交于，連接，先證明平面，再求即可【詳解】連接交于，連接，因?yàn)檎襟w，故，且平面，又平面，故，又平面，，故平面，故頂點(diǎn)到平面的距離為.又正方體的棱長為2，故故答案為：10．25【解析】【分析】畫出可行域，再分別求得可行域的頂點(diǎn)，進(jìn)而求得底和高即可【詳解】畫出可行域如圖，解得，解得,解得，故，到的距離為，故不等式組，表示的平面區(qū)域的面積等于故答案為：11．【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡可得，再求解單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合求解即可【詳解】由題意，，故的單調(diào)遞增區(qū)間：，即，故在的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：12．【解析】【分析】將一枚骰子先后拋兩次，先計(jì)算所有可能的情況數(shù)，再分析其中向上的點(diǎn)數(shù)之積為12的情況數(shù)，進(jìn)而求得概率即可【詳解】由題意，將一枚骰子先后拋兩次，所有可能的情況有種，其中向上的點(diǎn)數(shù)之積為12的情況有共4種情況，故向上的點(diǎn)數(shù)之積為12的概率為故答案為：13．2【解析】【分析】求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可，，由拋物線的定義可知，，，即可得到．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，則直線的方程為，代入可得，，，由拋物線的定義可知，，，，解得．故答案為：2．14．【解析】【分析】對兩邊平方有有解，再利用基本不等式可得，進(jìn)而求得面積的最大值即可【詳解】設(shè)，因?yàn)?，故，則，顯然，對兩邊平方有，即有解，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故，則面積的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：15．【解析】【分析】先根據(jù)得出周期為4，再根據(jù)，結(jié)合通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可得，再結(jié)合二項(xiàng)式定理求得除以4的余數(shù)，進(jìn)而求得即可【詳解】因?yàn)?，，，，…易得周期?.又由，，兩式相減，即，又當(dāng)時(shí)，，解得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，.又，故除以4的余數(shù)為，故故答案為：16．##【解析】【分析】依題意，分類討論作出函數(shù)簡圖，求得最值解不等式組即可【詳解】依題意（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)草圖如下圖所示,此時(shí),,則

滿足條件;（2）當(dāng)時(shí),函數(shù)草圖如下圖所示,此時(shí),,則無解（3）當(dāng)時(shí),函數(shù)草圖如下圖此時(shí),,,則,無解;（4）當(dāng)時(shí),函數(shù)草圖如下圖所示,此時(shí),,,則解得,滿足條件故答案為：17．(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用棱錐的體積公式求體積即可.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量和面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角.(1)由題設(shè)，，又平面，所以，即四棱錐的體積為.(2)以為原點(diǎn)，射線分別為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則由，得，取，得.設(shè)直線與平面所成的角為，向量與所成的角為，則，故所以直線與平面所成角的大小為.18．(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角可解得，再由為銳角即可求解（2）利用正弦定理邊化角之后再消元，可得，再結(jié)合的范圍即可得證(1)由正弦定理可知，，又在中，，即，為銳角，.(2)所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即為直角三角形.19．(1)選擇函數(shù)模型①，其解析式為（且為整數(shù)）(2)這30天內(nèi)日利潤均未能超過4萬元，該公司需要考慮轉(zhuǎn)型，理由見解析【解析】【分析】（1）將將以及分別代入對應(yīng)的函數(shù)模型，求得對應(yīng)的函數(shù)解析式，再代入計(jì)算判斷是否滿足即可；（2）記日銷售利潤為，根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性分析的最大值，判斷與4萬元的大小關(guān)系判斷即可(1)若選擇模型（1），將以及代入可得解得，即，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意；若選擇模型（2），將以及代入可得，解得，即，當(dāng)時(shí)，，故此函數(shù)模型不符題意，因此選擇函數(shù)模型（1），其解析式為（且為整數(shù)）(2)記日銷售利潤為，當(dāng)且為整數(shù)時(shí)，，對稱軸，故當(dāng)時(shí)，利潤取得最大值，且最大值為392（百元）當(dāng)且為整數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，利潤單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為（百元）所以，這30天內(nèi)日利潤均未能超過4萬元，該公司需要考慮轉(zhuǎn)型.20．(1)8(2)(3)【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義求解；（2）根據(jù)，得到，然后由直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得的坐標(biāo)即可；（3）設(shè)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到，同理得到，然后由求解.另解令求解.(1)解：由橢圓的定義知，，所以的周長為8.(2)因?yàn)椋?，直線的方程為.聯(lián)立解得或即從而，直線的方程為，即.(3)設(shè).設(shè)直線的方程為，其中.聯(lián)立消去得則.又，即，故.同理，.于是，，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故的最大值為.另解：令，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即.故的最大值為.21．(1)集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)，理由見解析(2)的值分別為4，5或5，9(3)存在最大值，最大值為4【解析】【分析】（1）根據(jù)集合A具有性質(zhì)的定義進(jìn)行判斷，可得答案；（2）寫出中的所有元素，分類討論，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列出相應(yīng)的方程組，解得答案；（3）一數(shù)列新定義得在集合中，，得到，由此分類討論，可確定n的取值，可得答案.(1)，故集合具有性質(zhì).故集合不具有性質(zhì)(2)因集合具有性質(zhì)，故.（i）若，則,解得,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故的值分別為4，5.（ii）若，則,解得,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故的值分別為5，9.(3)不妨設(shè)，則在集合中，.又中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，即，故.當(dāng)時(shí)，