數學實驗 Mathematic實驗三 導數

PAGEPAGE11天水師范學院數學與統(tǒng)計學院實驗報告實驗項目名稱導數所屬課程名稱數學實驗實驗類型微積分實驗實驗日期2011.10.05班級學號姓名成績一、實驗概述：【實驗目的】1.深入理解導數與微分的概念,導數的幾何意義.2.掌握用Mathematica求導數與高階導數的方法.3.深入理解和掌握求隱函數的導數,以及求由參數方程定義的函數的導數的方法.4.完成數學實驗報告,總結方法,增強數學思維能力.【實驗原理】1.求導數命令D與求微分命令Dt.D[f,x]給出關于的導數,而將表達式中的其他變量看作常量,因此,如果是多元函數,則給出關于的偏導數.D[f,{x,n}]給出關于的階導數或者偏導數.D[f,x,y,z]給出關于,,的混合偏導數.Dt[f,x]給出關于的全導數,將表達式中的其他變量都看作的函數.Dt[f]給出的微分.如果是多元函數,則給出的偏微分.即使表達式是抽象函數,上述命令也可以給出相應的正確結果,當然是一些抽象符號.命令D的選項Nonconstants一>{…}指出{…}內的字母是的函數.命令Dt的選項Constants一>{…}指出{…}內的字母是常數.2.解方程或方程組的命令Solve.解方程命令的格式為Solve[f[x]＝＝0,x]解方程組命令的格式為Solve[{f[x,y]＝＝0,g[x,y]＝＝0},{x,y}]執(zhí)行命令后給出方程或方程組關于指定變量的解.方程中的等號要用雙等號“＝＝”.如果是方程組,要用大括號將所有方程括起來,各方程之間用逗號隔開.Solve的輸出形如{{x->a}}.因此,為了取出其中解的表達式a,要使用取出集合中元素的命令[[]].例如,解方程組,輸入Solve[{x+y＝＝a,x-y＝＝b},{x,y}]輸出為3.循環(huán)語句Do.循環(huán)語句Do的基本形式是Do[表達式,循環(huán)變量的范圍]表達式中一般有循環(huán)變量,有多種方法說明循環(huán)變量的取值范圍.最完整的形式是Do[表達式,{循環(huán)變量名,最小值,最大值,增量}].當省略增量時,默認增量為1.省略最小值時,默認最小值為1.例如輸入Do[Print[Sin[n*x],{n,1,10}]則在屏幕上顯示sin[x],sin[2x],……,sin[10x]等10個函數.【實驗環(huán)境】Mathematic4二、實驗內容：【實驗方案】1.導數概念與導數的幾何意義;2.求函數的導數與微分;3.求隱函數的導數,由參數方程定義的函數的導數;4.拉格朗日中值定理.【實驗過程】（實驗步驟、記錄、數據、分析）1．導數概念與導數的幾何意義.例3.1用定義求函數的導數.輸入Clear[g]；g[x_]=x^3-3x^2+x+1；Simplify[(g[x+h]-g[x])/h]%/.h0Limit[%%,h0]Plot[{g[x],g'[x]},{x,-1,1},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}]例3.2作函數的圖形和在處的切線.輸入Clear[f]；f[x_]=2x^3+3x^2-12x+7；plotf=Plot[f[x],{x,-4,3},DisplayFunctionIdentity]；plot2=Plot[f'[-1]*(x+1)+f[-1],{x,-4,3},PlotStyleGrayLevel[0.5],DisplayFunctionIdentity]；Show[plotf,plot2,DisplayFunction$DisplayFunction].2．求函數的導數與微分.例3.3求函數的一階導數D[x^n,x]例3.4求函數的一階導數,并求diff[x_]=D[Sin[a*x]*Cos[b*x],x]diff[1/(a+b)]例3.5求函數的1階到11階導數.輸入Clear[f];f[x_]=x^10+2(x-10)^9;D[f[x],{x,2}]Do[Print[D[f[x],{x,n}]],{n,1,11}]或輸入Table[D[f[x],{x,n},{x,11}]例3.6求函數與例3.4中函數的微分.輸入Dt[Sin[2*x]]Dt[Sin[a*x]*Cos[b*x],Constants->{a,b}]//SimplifyDt[Sin[a*x]*Cos[b*x]]3．求隱函數的導數,由參數方程定義的函數的導數.例3.7求由方程確定的隱函數的導數.輸入deq1=D[2x^2-2x*y[x]+y[x]^2+x+2y[x]+1＝＝0,x]；Solve[deq1,y'[x]]deq2=Dt[2x^2-2x*y[x]+y[x]^2+x+2y[x]+1＝＝0,x]Solve[deq2,Dt[y,x]]deq3=D[deq1,x]；Solve[{deq1,deq3},{y'[x],y''[x]}]//Simplify例3.8求由參數方程確定的函數的導數D[E^t*Sin[t],t]/D[E^t*Cos[t],t]D[%,t]/D[E^t*Cos[t],t]//Simplify4．拉格朗日中值定理例3．9函數在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日中值定理的條件．因此存在使．可以驗證這個結論的正確性．輸入Clear[f]；f[x_]:=1/x^4；Solve[D[f[x],x]＝＝f[2]-f[1],x]//N【實驗結論】（結果）1.利用求導命令和求微積分命令可以容易的求出導數和微積分;2.每一個導數和微積分都可以算出來;3.實驗很成功.【實驗小結】（收獲體會）1.用Mathematic4求導數和求微積分很方便;2.可以把實驗內容和實際的計算聯系起來.三、指導教師評語及成績：評語評語等級優(yōu)良中及格不及格1.實驗報告按時完成,字跡清楚,文字敘述流暢,邏輯性強2.實驗方案設計合理3.實驗過程（實驗步驟詳細,記錄完整,數據合理,分析透徹）4實驗結論正確.成績：指導教師簽名：批閱日期：附錄1：源程序實驗三導數第一題Clear[f];f[x_]:=Log[Sin[x]];Solve[D[f[x],x]==0,x]//NSolve::ifun:InversefunctionsarebeingusedbySolve,sosomesolutionsmaynotbefound.{{Null(x1.5708)}}第二題Clear[f];f[x_]:=4*x^3-5*x^2+x-2;Solve[D[f[x],x]f[1]-f[0],x]//N{{x0.116204},{x0.717129}}第三題Clear[f];f[x_]:=p*x^2+q*x+r;Solve[D[f[x],x](f[b]-f[a])/(b-a),x]//N{{x0.5(a+b)}}第四題Clear[f];f[x_]:=Sin[x];Clear[F];F[x_]:=x+Cos[x];Solve[D[f[x],x]/D[F[x],x]==(f[Pi/2]-f[0])/(F[Pi/2]-F[0]),x]//NSolve::ifun:InversefunctionsarebeingusedbySolve,sosomesolutionsmaynotbefound.{{Null(x0.533458)}}第五題Clear[f];D[f[x^2],x]Clear[f];D[f[x^2],{x,2}]Clear[f];D[f[x]^2,x]Clear[f];D[f[x]^2,{x,2}]Clear[f];D[Log[f[x]],x]Clear[f];D[Log[f[x]],{x,2}]Clear[f];D[f[E^x+E^f[x]],x]Clear[f];D[f[E^x+E^f[x]],{x,2}]第六題Clear[f];f[x_]=x*Sinh[x];D[f[x],{x,100}]Clear[f];f[x_]=x^2*Cos[x];D[f[x],{x,10}]Clear[f];f[x_]=x^2*Sin[2x];D[f[x],{x,50}]第七題deq1=D[Log[x]+Exp[-y[x]/x]==E,x]Solve[deq1,y'[x]]deq1=D[ArcTan[y[x]/x]==Log[Sqrt[x^2+y[x]^2]],x]Solve[deq1,y'[x]]第八題D[Sin[t]^3,t]/D[Cos[t]^3,t]D[%,t]/D[Cos[t]^3,t]//SimplifyD[6t^2/(1+t^3),t]/D[6t/(1+t^3),t]D[%,t]/D[6t/(1+t^3),t]//Simplify附錄2：實驗報告填寫說明1.實驗項目名稱：要求與實驗教學大綱一致.2.實驗目的：目的要明確,要抓住重點,符合實驗教學大綱要求.3.實驗原理：簡要說明本實驗項目所涉及的理論知識.4.實驗環(huán)境：實驗用的軟、硬件環(huán)境.5.實驗方案（思路、步驟和方法等）：這是實驗報告極其重要的內容.概括整個實驗過程.對于驗證性實驗,要寫明依據何種原理、操作方法進行實驗,要寫明需要經過哪幾個步驟來實現其操作.