基本不等式的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計

一、教學(xué)內(nèi)容解析：1、本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中教科書》（人教A版教材）高中數(shù)學(xué)必修第一冊第二章第2節(jié)基本不等式，是在學(xué)習(xí)了等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式的基礎(chǔ)上對基本等式的應(yīng)用進一步的研究，本節(jié)是教學(xué)的重點，學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，內(nèi)容具有條件約束性、變通靈活性、應(yīng)用廣泛性等的特點；2、本節(jié)主要利用基本不等式求最值，以及建立基本不等式模型解決實際問題，為后面的求函數(shù)最值和建立函數(shù)模型打好了良好的基礎(chǔ)，也是體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好素材；3、在高中數(shù)學(xué)中，不等式的地位不僅特殊，而且重要，它與高中數(shù)學(xué)很多章節(jié)都有聯(lián)系，尤其與函數(shù)、方程聯(lián)系緊密，因此，不等式才自然而然地成為高考中經(jīng)久不衰的熱點、重點，有時也是難點．二、學(xué)情分析：1、學(xué)生已經(jīng)掌握的基本不等式及其結(jié)構(gòu)特征對本節(jié)課的學(xué)習(xí)有很大幫助；2、學(xué)生邏輯推理能力有待提高，沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過證明不等式的基本方法，尤其對于分析法證明不等式的思路以前接觸較少；3、對于最值問題，學(xué)生習(xí)慣轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解，對于根據(jù)已知不等式求最值接觸較少，尤其會忽略取等號的條件。三、教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能：會從不同角度探索基本不等式，會用基本不等式解決簡單的最值問題；2、過程與方法：經(jīng)歷基本不等式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；3、情感態(tài)度價值觀：培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神，并在探究的過程中，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹性，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的實用性.四、教學(xué)重點與難點：1、教學(xué)重點：建立基本不等式模型解決簡單的最值問題2、教學(xué)難點：以數(shù)學(xué)模型的觀點理解基本不等式，用其解決兩類最值問題，判斷實際問題中的最值問題是否可以用基本不等式模型求解。五、教學(xué)策略分析：1、由課本例1引入課題，可明確本堂的主要內(nèi)容，使學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)明確，進而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；2、精心設(shè)置“問題串”，由簡到難，由感性到理性，一步步引導(dǎo)學(xué)生自主探究，小組討論探究兩類利用基本不等式求最值得模型，讓學(xué)生感受知識發(fā)生發(fā)展深化的過程，也體現(xiàn)學(xué)生為主體，老師為主導(dǎo)的教學(xué)理念；3、為突破最值定理思路的獲得這一教學(xué)難點，采用先學(xué)生小組討論，再師生共同完成的策略；4、為突破應(yīng)用基本不等式求最值這一難點，先由例題歸納應(yīng)用基本不等式求最值的要點，然后趁熱打鐵設(shè)置兩個練習(xí)，由簡到難，由淺入深，采用學(xué)生板演，搶答和小組討論等方式，及時發(fā)現(xiàn)問題，及時糾錯，讓“一正二定三相等”深入人心；5、對于轉(zhuǎn)化為函數(shù)進而用函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最值的問題，教師只作適當(dāng)提示，不作為重點；6、課堂小結(jié)重視知識間的聯(lián)系和研究問題的方法，并強調(diào)了數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。六、教學(xué)過程設(shè)計：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖復(fù)習(xí)回顧請思考下面兩個問題：1.什么是基本不等式？2.它的結(jié)構(gòu)特征及產(chǎn)生過程是怎樣的？生：回憶，背誦師：和學(xué)生一起回顧從趙爽弦圖到基本不等式的形成過程，利用好課前2分鐘預(yù)備時間，并將前面知識形成網(wǎng)絡(luò)。一、情境創(chuàng)設(shè)導(dǎo)入課題典例探究師：引導(dǎo)學(xué)生思考生：學(xué)生先獨立思考，后小組合作討論，并展示成果。師：教師巡視，解惑。這是一個具有模型意義的不等式，有非常廣泛的應(yīng)用。重點在于引導(dǎo)學(xué)生明確基本不等式的使用條件和注意事項。二、自主探究推導(dǎo)公式追問1：“求該代數(shù)式的最小值”是在做一件什么事情？追問2：該代數(shù)式有什么結(jié)構(gòu)特點？能否用基本不等式模型求最值？如何求？追問3：為什么要必須說明等號成立？追問4：利用基本不等式求最值需要滿足什么條件？注意：一正二定三相等學(xué)生審題后，直接切入追問。教師利用二次函數(shù)的最小值進行引導(dǎo)，師生共同分析。問題1以課本習(xí)題為入點，讓學(xué)生探究具體數(shù)的積與和關(guān)系并發(fā)現(xiàn)相等時取小值。例2已知x,y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值2√P；（2）如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時，積xy有最大值。追問：通過本題，請說說基本不等式可以解決怎樣的最值問題？學(xué)生獨立完成后展示交流，師生共同補充完善。在例1的基礎(chǔ)上，進一步示范如何用基本不等式求最值，能把基本不等式處理最值問題當(dāng)成數(shù)學(xué)模型去看待，從而提高解決問題能力。題后反思：結(jié)合基本不等式，你能將本題的結(jié)論推廣為更一般的情況嗎？結(jié)論：設(shè)，1、若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值；2、若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值.要點：一正二定三相等師：引導(dǎo)學(xué)生將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，明確已知和所求，將問題一般化.生：思考后將例題的結(jié)論推廣為更一般的情況.師：板書結(jié)論，指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)基本不等式的變形理解記憶該結(jié)論師生共同歸納該結(jié)論的三個要點在學(xué)生經(jīng)歷例題中的兩個最值問題之后，及時提問，培養(yǎng)學(xué)生題后反思的好習(xí)慣，將特殊問題一般化，舉一反三，總結(jié)規(guī)律，有利于構(gòu)建系統(tǒng)完整的知識結(jié)構(gòu).三、實際應(yīng)用加深理解例3：（1）用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？（2）一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大面積是多少？追問1:你能用數(shù)學(xué)符號語言描述上述關(guān)系嗎？追問2：上述問題能用基本不等式的數(shù)學(xué)模型求解嗎？如何求解？追問3：你能歸納基本不等式模型解決實際問題的一般步驟嗎？解：（1）設(shè)長為，寬為，則，籬笆長為，由可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以這個矩形的長和寬都為時，籬笆最短，最短的籬笆是.（2）設(shè)矩形菜園的長為，寬為，則，即：，矩形菜園的面積為.由可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以這個矩形的長和寬都為時，菜園的面積最大，最大面積是.規(guī)律總結(jié)：學(xué)生思考，討論交流，教師補充完善。1、轉(zhuǎn)化問題2、分析模型3、求解模型4、回歸問題師：分析解題思路，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意分析為何可用基本不等式來解決該問題，PPT展示（1）的解答過程，請一學(xué)生板演（2），指導(dǎo)學(xué)生完成（2）生：一學(xué)生板演（2），其他學(xué)生自己完成（2）師：適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生其他解法，比如：（1）也可轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)，（2）可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)和引例前后呼應(yīng)，學(xué)以致用，把兩個實際問題化歸為利用基本不等式求最值的數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)的動力和信心.板演有利于及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生解答中的問題，及時糾錯.一題多解可更好的培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.例4：例4某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？追問1：水池的總造價由什么確定？追問2：如何求水池的總造價？追問3：此題能用基本不等式模型求解嗎？學(xué)生回答，教師關(guān)注學(xué)生目標(biāo)意識的培養(yǎng)。學(xué)生思考回答，教師關(guān)注學(xué)生的表達。學(xué)生思考回答，教師引導(dǎo)學(xué)生增強模型意識。及時鞏固加深血色好難過對基本不等式模型解決實際問題的理解。四、課堂小結(jié)回顧本節(jié)的學(xué)習(xí)過程，回答下列問題：1.基本不等式有怎樣的結(jié)構(gòu)特點？2.利用基本不等式模型解決實際問題的一般步驟是怎樣的？需要注意哪些問題？“基本”？你能說一說它的重要性嗎？師：1、強調(diào)課堂中涉及到的數(shù)學(xué)思想：特殊到一般，分類討論，數(shù)學(xué)結(jié)合2、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運算從多個角度總結(jié)歸納本堂課的主要內(nèi)容，不僅重視知識本身，更重視知識間的聯(lián)系和研究問題的方法；另外，更強調(diào)了數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用.五當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測：判斷下列3個命題是否正確，并說明理由.（1）函數(shù)的最小值為2.（）（2）函數(shù)的最小值為6.（）（3）函數(shù)的最小值是2.（）解：（1）假.可為負數(shù)，不能直接用基本不等式，無最小值.（2）真.，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為6.（3）假.一正二定滿足，但等號取不到師：讓學(xué)生小組討論，解決該問題生：小組討論，小組代表回答問題師：點評學(xué)生回答，并指出：運用基本不等式求最值，三個條件缺一不可，