課題學(xué)習(xí)最短路徑問題 省賽獲獎(jiǎng)

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

如圖，直線L兩側(cè)有兩點(diǎn)A、B。在直線L上求一點(diǎn)C，使它到Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的距離之和最?。績牲c(diǎn)的所有連線中，線段最短。CABL探究1ABC

如圖，直線L同側(cè)有兩點(diǎn)A、B。在直線L上求一點(diǎn)C，使它到Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的距離之和最?。?/p>

l探究2AB

如圖，直線L同側(cè)有兩點(diǎn)A、B。在直線L上求一點(diǎn)C，使它到Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的距離相等？

l探究3ABC

l在L上任取另一點(diǎn)C‘,連接AC'

、BC'、B'C'.∵直線L是點(diǎn)Ｂ、Ｂ'的對(duì)稱軸，點(diǎn)Ｃ、Ｃ'在對(duì)稱軸上，∴CB=CB',C'B=C'B'.∴AC+CB=AC+CB'=AB'。在△AC'B'中，AC'+C'B'>AB',∴AC'+C'B>AC+CB,即AC+CB最小.證明:Ｃ'直線同側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離和最小問題直線異側(cè)兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離和最小問題軸對(duì)稱

轉(zhuǎn)化探究1與探究2的區(qū)別與聯(lián)系探究1CA..BL探究2A.B..B’CL探究2與探究3的區(qū)別與聯(lián)系探究3探究2A.B..B’CLA.B.L距離之和最小距離相等C。八年級(jí)(1)班同學(xué)做游戲，在活動(dòng)區(qū)域邊放了一些球(如下圖)，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個(gè)位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?AB小明解決問題

l鞏固新知練習(xí)一

龜兔賽跑新規(guī)則：參賽者從點(diǎn)A出發(fā)到達(dá)直線a上任意一點(diǎn)后，再回到直線a同側(cè)的終點(diǎn)B，最先達(dá)到終點(diǎn)者勝。下面是小貓、小豬、小猴、小熊為他們?cè)O(shè)計(jì)的路線，其中路程最短的是（）ABCaABCaABCCAB小貓小豬小猴小熊A‘a(chǎn)a練習(xí)一

∠AOB的邊OA上有兩點(diǎn)M、N，在∠AOB

的角平分線OC上找一點(diǎn)P，使MP+NP最小，下列作法正確的是（）OBAMNCOBAMNCOBAMNCOBAMNCPPPPN’（A）（D）（C）（B）

如果另一側(cè)放著一些小木棍，小明還要跑到另一側(cè)去取小木棍，則又應(yīng)按怎樣的路線跑，去撿哪個(gè)位置的球、小木棍，才能最快跑到目的地A?你能說說為什么嗎?。。MNAB小明拓展應(yīng)用

l1l2如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊給馬喝水，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助他確定這一天的最短路線。造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA思維分析BA

1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？

我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.上述方法都能做到使AM+MN+BN不變嗎？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長那么怎樣確定橋的位置呢?問題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，

2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M,

則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞