【研究生應用數(shù)學基礎】1.集合論與映射

應用數(shù)學基礎本課程原是為數(shù)學基礎要求較高的力學專業(yè)碩士研究生開設的。它包括下列四門課程（共120學時）：泛函分析矩陣論計算方法數(shù)理方程1整理ppt本人給諸位介紹：泛函分析（FuctionalAnalysis),矩陣論（50學時）和數(shù)理方程（35學時）三門課，共

85學時。矩陣論是介于古典數(shù)學與現(xiàn)代數(shù)學之間的學科，泛函分析屬于現(xiàn)代數(shù)學的范疇。2整理ppt應用數(shù)學基礎（一）第一章集合上的數(shù)學結(jié)構（抽象數(shù)學空間）第二章線性有界算子

第三章矩陣的相似標準形第四章矩陣分析3整理ppt第一章集合上的數(shù)學結(jié)構

（抽象數(shù)學空間）1.集合與映射2.線性空間3.度量空間4.線性賦范空間5.內(nèi)積空間4整理ppt第一章集合上的數(shù)學結(jié)構（抽象空間）德國數(shù)學家Cantor.G(1845-1918)被認為是集合論的創(chuàng)始人。集合論的創(chuàng)立標志著數(shù)學發(fā)展進入現(xiàn)代數(shù)學階段。現(xiàn)代數(shù)學是在集合上進行幾何學、代數(shù)學和分析學的研究。5整理ppt從形式上看，現(xiàn)代數(shù)學是把經(jīng)典數(shù)學的成果搬到集合上，其實質(zhì)是數(shù)學發(fā)展到更高的階段。為了在集合上建設現(xiàn)代數(shù)學的大廈，首先應在集合上建立基本的數(shù)學結(jié)構，即代數(shù)結(jié)構、幾何結(jié)構和分析結(jié)構。這一章首先介紹集合與映射。映射是集合上較一般的代數(shù)結(jié)構。在集合上賦予不同的數(shù)學結(jié)構，可得到不同的抽象空間。在集合上賦予“度量”幾何結(jié)構，得到度量空間；在集合上賦予“加法”和“數(shù)乘”代數(shù)運算，得到線性空間；在集合上賦予“范數(shù)”和“內(nèi)積”幾何結(jié)構，分別得到線性賦范空間和內(nèi)積空間。6整理ppt第一章集合上的數(shù)學結(jié)構1.集合與映射一、集合的基本概念二、集合的運算三、集合的直積四、映射五、可數(shù)集合六、實數(shù)集合的上（下）確界7整理ppt一、集合的基本概念集合的定義集合的兩種表示法：列舉元素法和描述法一些常用的集合一些特殊的集合及性質(zhì)：空集，全集E，子集，真子集、集合的相等集合的冪集8整理ppt

一、集合的基本概念1.集合的定義數(shù)學家認為，所有的數(shù)學都可用集合來表示。德國數(shù)學家Cantor.G(1845-1918)被認為是集合論的創(chuàng)始人，他給集合下的樸素定義是：

具有某種屬性的事物的全體構成一個集合.構成集合的每一個事物稱為該集合的元素。因此根據(jù)所給予的屬性，總能判斷任一事物是否屬于某個集合。用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。若x是集合S的元素，則記作xS，否則xS。9整理ppt

元素個數(shù)有限的集合稱為有限集，否則稱為無限集。若A為有限集,A的元素個數(shù)記作|A|。2.集合的兩種表示法：列舉元素法，即將集合中的元素用花括號括起來以表示集合，如

S={a，b，c}表示S是由a，b，c三個元素組成的集合。在能用看出書寫規(guī)律時可用刪節(jié)號，如小于50的正整數(shù)集合可表為

B={1，2，3，…，49}自然數(shù)集合

N={1，2，3，…}10整理ppt

設P(x)是一個與x有關的條件，凡符合這個條件的所有元素x組成的集合S可表為

S={x|P(x)}3.一些常用的集合下面是一些集合的記號，今后會經(jīng)常遇到它們：

N={1,2,3,…}(自然數(shù)集）

Z={0,±1,±2,…}（整數(shù)集）

Q={x|x為有理數(shù)}（有理數(shù)集）

Q*={xQ|x0}(去零有理數(shù)集）

R={x|<x<}(實數(shù)集）

R+={xR|x>0}(正實數(shù)集）描述法。11整理pptR*={xR|x0}(去零實數(shù)集）C*={zC|z0}（去零復數(shù)集）Rn={(x1,x2,…,xn)T|xiR,1≤i≤n}(n維歐氏空間）Cn={(z1,z2,…,zn)T|ziC,1≤i≤n}(n維酉空間）Rn×n={(aij)n|aijR}(n階實矩陣集）Cn×n={(aij)n|aijC}(n階復矩陣集）C[a,b]={f|f為[a,b]上連續(xù)函數(shù)}（區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)空間）12整理ppt13整理ppt4.一些特殊的集合及性定義1.1

沒有元素的集合稱為空集,記作

;

包含所有元素的集合稱為全集,記作E.

即:x,xE:x,xE設A,B是集合.如果xA有xB,則稱A包含于B,記作AB,或稱A是B的子集.。即AB：xAxBxBxA.定理1.1

設E為全集，A，B，C為集合。則有（1）AE（2）AA（3）A（4）若AB，BC，則AC。14整理ppt證明：（1）

xA，必有xE。（2）

xA，必有xA。（3）xAx。（4）

xA有xB，從而xC。定義1.2

設A，B為集合AB且BA，則稱A與B相等，記作A=B。即A=B：AB且BA。定義1.3

設A，B為集合，若AB且AB

（存在bB,bA)，則稱A為B的真子集，記AB。ABb

15整理ppt幾點注意：（1）一個集合可作為另一個集合的元素。如{a}是以a為元素的集合；

{{a}}是以{a}為元素的集合。（2）集合中元素的排列次序無關緊要。如

{a，b，c}={a，c，b}={b，a，c}（3）每個元素在集合中只出現(xiàn)一次。有

{a，a，a，b}={a，b}5.集合的冪集定義1.4

給定集合A，以A的所有子集為元素的集合稱為A的冪集,記作P（A），或2A

。16整理ppt如A={a,b,c},則

P(A)=2A={,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.17整理ppt二、集合的運算集合的并、交、差、補、對稱運算的定義集合的并的運算律集合的交的運算律18整理ppt定義1.5

設A，B為集合。（1）A與B的并為

AB={x|xA或xB}（2）A與B的交

AB={x|xA且xB}（3）A與B的差為

A-B={x|xA且xB}二、集合的運算19整理ppt（4)A的補集

A={x|xA}(5)A與B的對稱差

AB=（A-B）∪（B-A）集合的并、交、差、補和對稱差運算可用文氏圖表示。

ABAB20整理pptA–BAAB21整理ppt并集和交集的定義可推廣到任意多個集合，甚至無限多個集合的情況。設A1，A2，…，An,

是集合。22整理ppt定理1.2

設A,B,C為集合,則有

(1)AB=BA,AB=BA（交換律）

(2)(AB)C=A(BC)（結(jié)合律）

(AB)C=A(BC)（結(jié)合律）

(3)(AB)C=(AC)(BC)（分配律）

(AB)C=(AC)(BC)（分配律）23整理ppt證明：（1）xAB，則xA,或xB，即xB或xA；所以ABBA。同理可證：BAAB。所以AB=BA。（2）

x(AB)C，即xAB或xC，即xA或xB或xC，從而xA或xBC，即

xA(BC)，即(AB)CA(BC)，同理A(BC)(AB)C,因此（AB）CA（BC）24整理ppt（3）類似。定理1.3

設A，B為集合，則有（1）AA=A，AA=A(冪等律)(2)AA,AE=E,A=,AE=A;(3)A(AB)=A,A(AB)=A(吸收律）證明：（1）顯然AAA，而xAA，則xA或xA,即xA從而AAA，因此A=AA。25整理ppt（2）顯然AA，而xA,則xA或x,但x，所以xA,從而AA因此，A=A。（3)左=A(AB)=(AA)(AB)=A(AB)=A=右所以，左=右26整理ppt定理1.4

設A，B，C，D為集合，則有（1）A-BA，A-=A，A-A=

（2）AAB，ABA

（3）A-B=AB

（4）E=，=E，（A）=A

（5）AA=E，AA=

（6）（AB）=AB

（AB）=AB

（7）A-(BC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)

27整理ppt三、集合的直積集合直積的定義28整理ppt

三、集合的直積定義1.5

設A,B為集合,aA,bB,(a,b)表示一個有次序的元素對，簡稱序?qū)?，其中a稱為第一個元素，b稱為第二個元素。所有A中的元素及B中元素構成的序?qū)θw組成的集合稱為A與B的直積，記作A×B，即

A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}(a1,b1)=(a2,b2):a1=a2,b1=b2當A和B中有一個為空集時，規(guī)定A×B=29整理ppt例如，A={1，2}，B={a,b,c},則A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}B×A={(a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2)}當A=B=R時，A×B=R2是坐標平面上點的集合。類似可定義n個集合A1，A2，…，An的直積，即A1×A2×…×An={(a1,a2,…,an)|ai∈Ai,1≤i≤n}當A1=A2=…=An=A時，A1×A2×…×An記作An。30整理ppt四、映射映射的定義（函數(shù)、變換、泛函）單射、滿射、雙射的定義逆映射與復合映射31整理ppt(一）映射映射是現(xiàn)代數(shù)學的基本概念和研究對象。它是函數(shù)的推廣，它是集合上一種較一般的代數(shù)結(jié)構。定義1.6

設A，B是兩個非空集合。如果存在一種對應規(guī)則f，使得

xA有唯一的yB與之對應，則稱f是A到B的映射或算子，記作

f：AB。集合A稱為f的定義域，記作D(f)，集合B稱為映射f的值域，記作E(f).32整理ppt設A1A，f(A1)={f(x)|x∈A1}稱為集合A1在映射f下的象。設ＯＢ。稱

f-1(O)={xA|f(x)O}為集合O的原象。集合GR(f)={(a,f(a))|aA}稱為f的圖象。

aA,f(a)稱為a的象，a稱為f(a)的原象。對于y∈B,

如果xA映為yB,則記作y=f(x),或集合R(f)={f(a)|aA}稱為f的象集。33整理ppt記AB的映射之全體為AB。例1.1f={(x,y)RR|y=x2}是RR的函數(shù).例1.2I={(x,x)|xA}為恒同映射.例1.3

A=B=Rn,y=Tx是線性變換(T是n×n矩陣）例1.4T：C[a,b]R是C[a,b]上的泛函。稱為y在映射f下的原象。如果A=[a,b],B=R,則映射f:AB稱為函數(shù)。映射f：AR稱為泛函。映射f：AA稱為變換。34整理ppt定義1.7

設f:AB是映射。如果bB必存在aA使f(a)=b，則稱f是滿射（B=R（f））；如果

bR(f)，存在唯一的aA使f(a)=b，則稱f是單射；如果映射f既是滿射又是單射，則稱f是雙射。例如，y=fi(x)=x2(i=1,2,3,4)f1:RR不是單射，也不是滿射；f2:RR+{0}是滿射，但不是單射；f3:R+R是單射，但不是滿射；f4:R+R+是雙射。35整理ppt例1.5

設A為非空集合，映射I：A→B定義為

I(x)=x(x∈A)稱此映射為恒同映射。映射f:A→B定義為：

x∈Af(x)=y0(y0∈B)稱此為常值映射。36整理ppt定義1.8

設映射f:AB是單射,則xR(f),存在唯一的y∈A,使x=f(y),這種對應規(guī)則記作f-1，即是R(f)A是映射,稱之為f的逆映射。即y=f-1(x)：x=f(y).定義1.9

設f:AB是映射且XA，若對應規(guī)則仍為f,但定義域限制在X上，則仍為X→B的映射，稱之為f在X上的限制，記作f|X，而f是f|X的擴張。定義1.10

設f:AB和g:BC都是映射，f與g的復合f

g定義曾AC的映射，即（g

f)(x)=g(f(x))(xA)37整理ppt例如,設f:RR,f(x)=x2;g:RR,g(x)=1+x，則（g

f)(x)=g(f(x))=1+x2(f

g)(x)=f(g(x))=(1+x)2

復合映射是一種運算。一般，f·gg·f.定理1.5設f:AB是映射,XA,YA,DB,FB,則有

(1)f(XY)=f(X)f(Y);(2)f(XY)f(X)f(Y);(3)f-1(DF)=f-1(D)f-1(F);38整理ppt（4）f-1(DF)=f-1(D)f-1(F)(5)f-1(B-D)=f-1(B)-f-1(D).證明：（1）先證f(X∪Y)f(X)∪f(Y),yf(XY),xXY,使y=f(x),即x∈X或x∈Y,y=f(x),當x∈X時，y=f(x)∈f(X),y=f(x)∈f(X)∪f(Y),同樣，當x∈Y時，y=f(x)∈f(X)∪f(Y).再證：f(X)∪f(Y)f(X∪Y).39整理ppt40整理ppt定理1.6

對于映射f:A→B和g:B→C,下列結(jié)論成立：（1）

EA，F(xiàn)B，有

Ef–1(f(E)),f(f

–1(F))Ff

–1(～F)=～(f

–1(F))當f為滿射時，f(f

–1(F))=F；當f為單射時，

f–1(f(E))=E；（2）對于A

A（D）及B

B（D），有41整理ppt（3）若f是雙射，則f

–1也是雙射，且f-1·f和f·f

–1分別是A和B上的恒同映射；（4）若f和g都是滿射，則g·f是滿射；若f和g都是單射，則g·f是單射；若f和g都是雙射，則g·f是雙射。證明:當f為單射時，42整理pptEf–1(f(E))f(f

–1(F))F如果f不是滿射，則f(f

–1(F))=F不能成立。因為，存在y0∈F,而不存在x0∈A,使y0=f(x0).（1）來證：f

–1(～F)=～(f

–1(F))43整理ppt先證:f

–1(～F)～(f

–1(F)).xf

–1(～F),y∈～F,使f-1(y)=x,yF,y=f(x)∈～F,∴x～f

–1(F)因此，f

–1(～F)～(f

–1(F))再證：～(f

–1(F))f

–1(～F)。

x(f-1(F))xf-1(F)y=f(x)Fy=f(x)∈～Fx∈～(f

–1(F))∴～(f

–1(F))f

–1(～F)。44整理ppt最后得f

–1(～F)=～(f

–1(F))當f為滿射時，來證：f(f

–1(F))=F，只要證

Ff(f

–1(F))。

yF,由于f為滿射，所以，存在x∈A,使y=f(x),從而，x∈f-1(F),∴y=f(x)∈f(f-1(F))即得Ff(f

–1(F))。因此，當f為滿射時，f(f

–1(F))=F。當f為單射時，要證：f–1(f(E))=E。45整理ppt由于Ef–1(f(E))，只要證

f–1(f(E))E。

xf–1(f(E))f(x)∈f(E),由于f為單射，x∈E,因此

f–1(f(E))E。從而f–1(f(E))=E。

46整理ppt同樣可證：因此，47整理ppt再證：48整理ppt同樣可證：49整理ppt50整理ppt同樣可證：當f為單射時，來證：51整理ppt（3）設f:A→B是雙射，則它是滿射且單射。于是R(f)=B.52整理ppt53整理ppt從而，54整理ppt五、可數(shù)集合兩個集合等勢的概念可數(shù)集合的定義可數(shù)集合的性質(zhì)有理數(shù)集Q是可數(shù)集合55整理ppt

五、可數(shù)集合定義1.13

設A,B是兩個集合.如果存在A與B之間的雙射f:AB,則稱A與B等勢或具有相同的基數(shù),記作A

B.集合A的勢記作Card(A).規(guī)定：

Card()=0;Card(A)=n(當|A|=n時)例如,自然數(shù)集N與非負偶數(shù)集M是等勢的,實際上，可定義雙射

f:NM,f(n)=2n-2(nN)。又如,R+與集合S=(0,1)是等勢的.實際上,可定義雙射f:R+S56整理ppt定義1.14

如果集合A與自然數(shù)集N等勢（A～N)，則稱A為可數(shù)集.可數(shù)集的勢用

0表示,讀作“阿列夫零”.所以,Card(N)=0,對于可數(shù)集A,必存在雙射f:NA,從而A的元素可以排列起來，即

f(1),f(2),…….定理1.6

任何一個無限集必包含一個可數(shù)子集。57整理ppt證明：設A是一個無限集。取a1A,由于A是無限集，可取a2A-{a1}.同樣，A-{a1,a2}非空，可取a3A-{a1,a2}.這樣繼續(xù)下去，得到可數(shù)集{a1,a2,…}A。定理1.7

可數(shù)集的任一子集,若不是有限集,必為可數(shù)集.證明:

設A為可數(shù)集，它的元素可編排列起來

a1,a2,…,an,…58整理ppt設B為A的非空子集。顯然，B中元素是上述序列的一個子序列，即指標n1,n2,…,nk,…中如有最大數(shù)，則B為有限集，否則，B為可數(shù)集。定理1.8

若A是可數(shù)集，B是有限集，并且AB=，則AB是可數(shù)集。（0+n=0)證明：因為A是可數(shù)集，可設

A={a1,a2,…,an,…}。設B={b1,b2,…,bn}，則59整理pptAB={b1,b2,…,bn,a1,a2,…,an,…}。這個定理中的條件AB=可去掉。定理1.9

若A，B都是可數(shù)集，且AB=，則AB是可數(shù)集。（0+0=0）證明：可設

A={a1,a2,…,an,…}B={b1,b2,…,bn,…},則有

AB={a1,b1,a2,b2,…,an,bn,…}定理中的條件AB=可去掉。60整理ppt定理1.