2022-2023學(xué)年陜西省西安高新高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省西安高新高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，與共線，則（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到，再結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，與共線，則，解得，所以，則.故選：B2．已知為拋物線上一點(diǎn)，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可得出拋物線的方程，進(jìn)而可求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得，解得，所以，拋物線的方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.3．如圖是某三棱錐的三視圖，已知網(wǎng)格紙的小正方形邊長(zhǎng)是1，則這個(gè)三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C． D．7【答案】C【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，求出棱長(zhǎng)，即可判斷.【詳解】由三視圖可得幾何體的直觀圖如下所示：其中，，，且平面，，所以，，，所以三棱錐中最長(zhǎng)棱為.故選：C4．若已知橢圓，長(zhǎng)軸在軸上，若焦距為4，則等于（

）A．4 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)題意直接列式求解即可.【詳解】由題意可得：，解得.故選：A.5．已知圓錐的母線長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則此圓錐的軸截面的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用圓錐的側(cè)面積求出該圓錐底面圓的半徑，進(jìn)一步可求得該圓錐的高，由此可求得出該圓錐軸截面面積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為，可得，所以，，所以，該圓錐軸截面的面積為，故選：D.6．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形C．等邊三角形 D．的三角形【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及正弦定理的邊角化，再利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式，結(jié)合三角函數(shù)特殊值對(duì)應(yīng)特殊角及角的范圍即可求解.【詳解】由及正弦定理，得,在中，，所以,所以，即，由于，于是有，即，所以為直角三角形.故選：A.7．過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】圓的方程化為，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．【詳解】圓可化為，則圓心，半徑為；

設(shè)，切線為、，則，中，，所以．故選：C．8．為慶祝神舟十三號(hào)飛船順利返回，某校舉行“特別能吃苦，特別能戰(zhàn)斗，特別能攻關(guān)，特別能奉獻(xiàn)”的航天精神演講比賽，其冠軍獎(jiǎng)杯設(shè)計(jì)如下圖，獎(jiǎng)杯由一個(gè)半徑為6cm的銅球和一個(gè)底座組成，底座由邊長(zhǎng)為36cm的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線向上折疊成直二面角而成，則冠軍獎(jiǎng)杯的高度為（

）cm．A． B． C． D．【答案】C【分析】A，B，C在底面內(nèi)的射影為M，N，P分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，可得，設(shè)△ABC外接圓圓心O，則由正弦定理可得半徑r，利用勾股定理可得、從而端點(diǎn)答案.【詳解】A，B，C在底面內(nèi)的射影為M，N，P分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，∴，∴△ABC是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，設(shè)△ABC外接圓圓心O，半徑r，則，∴，，∴到平面DEF距離＝9，∴冠軍獎(jiǎng)杯的高度為，故選：C．二、多選題9．如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別為棱、的中點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（

）

A．直線與是平行直線B．直線與所成的角為C．平面與平面所成二面角的平面角為D．平面截正方體所得的截面面積為【答案】BC【分析】根據(jù)圖形可直接判斷A選項(xiàng)；利用異面直線所成角的定義可判斷B選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出梯形的面積，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖形可知，直線、異面，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，連接，因?yàn)椋瑒t直線與所成角為或其補(bǔ)角，易知為等邊三角形，故，因此，直線與所成的角為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)椋瑒t四邊形為矩形，所以，，且，同理可證，且，因?yàn)槠矫妫瑒t平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，因此，平面與平面所成二面角的平面角為，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又因?yàn)?，故為等腰直角三角形，故，因此，平面與平面所成二面角的平面角為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，易知，同理可得，又因?yàn)榍?，則四邊形為等腰梯形，分別過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)作、，垂足分別為、，

因?yàn)?，，，所以，，所以，，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，，所以，，所以，，由A選項(xiàng)可知，平面截正方體所得的截面為梯形，故截面面積為，D錯(cuò).故選：BC.10．已知直線和圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)B．直線l與圓O相交C．當(dāng)時(shí)，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為2D．直線l被圓O截得的最短弦的長(zhǎng)度為【答案】BD【分析】把直線方程變形為，即可求出直線過(guò)的定點(diǎn)，從而判斷選項(xiàng)A；根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷選項(xiàng)B；把代入直線方程，根據(jù)直線過(guò)圓心，可求出弦長(zhǎng)為直徑，從而判斷選項(xiàng)C；根據(jù)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，直線l被圓O截得的弦最短，從而可判斷選項(xiàng)D.【詳解】直線整理得，故直線過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；由于點(diǎn)在圓O內(nèi)，故直線l與圓O相交，B正確；當(dāng)時(shí)，直線過(guò)圓心O，故直線l被圓O截得的弦為直徑，其長(zhǎng)為4，C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，直線l被圓O截得的弦最短，此時(shí)的弦長(zhǎng)為，故D正確．故選：BD．11．下列關(guān)于雙曲線說(shuō)法正確的是（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為6 B．與雙曲線有相同的漸近線C．焦點(diǎn)到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點(diǎn)【答案】ABD【分析】先求出雙曲線的基本量，然后逐一分析每個(gè)選項(xiàng)是否正確.【詳解】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項(xiàng)正確；雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點(diǎn)也在軸，故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項(xiàng)正確；焦點(diǎn)為，不妨取其中一個(gè)焦點(diǎn)和一條漸近線，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，焦點(diǎn)到漸近線距離為：，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；橢圓的焦點(diǎn)為，根據(jù)C選項(xiàng)可知，橢圓和雙曲線焦點(diǎn)一樣，D選項(xiàng)正確.故選：ABD12．將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，下列關(guān)于的說(shuō)法正確的是（

）A．關(guān)于對(duì)稱B．當(dāng)時(shí)，關(guān)于對(duì)稱C．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增D．若在上有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ABC【分析】，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，是函數(shù)的最小值，故選項(xiàng)B正確；，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；得，所以，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】，當(dāng)時(shí)，得，，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，是函數(shù)的最小值，所以關(guān)于對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，得，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；由，得，由于在上有三個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC．三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因?yàn)?，則，因此，復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.14．如圖所示，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】/【分析】依題意設(shè)，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則得到，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)槭巧系囊稽c(diǎn)，所以設(shè)，所以，由已知可得，所以，所以.故答案為：15．已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，若函數(shù)為偶函數(shù)，且，則不等式的解集為．【答案】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，由已知可得出，然后分、兩種情況解不等式，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)為偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由可得；當(dāng)時(shí)，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故答案為：.16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若，則雙曲線的離心率是．【答案】/【分析】利用雙曲線性質(zhì)定義結(jié)合余弦定理得到關(guān)于的方程，即可得出離心率.【詳解】由題意可知，，，則．因?yàn)?，所以，所以，則．在中，由余弦定理可得，即，整理得，即，解得．故答案為：.四、解答題17．在斜三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱，頂點(diǎn)在平面的射影為邊的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求幾何體的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證明線面垂直，再根據(jù)面面垂直判定定理證明面面垂直即可；（2）根據(jù)題意，計(jì)算出的長(zhǎng)，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）且為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面.故平面，又平面，平面平面.（2）

因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，，且，，所以.18．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，向量，，且．(1)求的值；(2)若，，求角的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合兩角和的余弦公式求出的值，然后利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求得的值；（2）分析可知為銳角，利用正弦定理求出的值，進(jìn)而可得出角的值.【詳解】（1）解：因?yàn)橄蛄浚?，則，因?yàn)?，則.（2）解：因?yàn)?，且，則為鈍角，故為銳角，由正弦定理可得，可得，故.19．如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接．先證明，再證明平面．（2）利用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接．因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)榍?，所以且，所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面平面，所以平面．?）在平面中，過(guò)作，在平面中，過(guò)作．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面所以平面．所以，所以兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，向量的方向分別為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即取，得．設(shè)直線與平面所成角為．則，所以直線與平面所成角的正弦值為．20．已知圓，動(dòng)點(diǎn)在軸的右側(cè)，到軸的距離比它到的圓心的距離小1．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)圓心作直線與軌跡和圓交于四個(gè)點(diǎn)，自上而下依次為A，M，N，B，若，，成等差數(shù)列，求及直線的方程．【答案】(1)(2)，，【分析】（1）由題意可得到直線的距離等于到圓心的距離，利用拋物線的定義可得動(dòng)的軌跡方程；（2）根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合，可求的值；設(shè)直線，聯(lián)立，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，結(jié)合韋達(dá)定理列方程可求得，從而可得答案.【詳解】（1）化為，可得半徑，圓心，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在軸的右側(cè)，到軸的距離比它到的圓心的距離小1，所以點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，由拋物線的定義得的軌跡方程為；（2）由圓的半徑為1，可得，，，成等差數(shù)列，又，，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意；所以直線的斜率不為，可設(shè)直線，聯(lián)立，恒成立，，因?yàn)椋?，解得，所以直線的方程為．

21．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的方程．(2)直線與圓交于兩點(diǎn)，問(wèn)：在直線上是否存在定點(diǎn)；使得（分別為直線的斜率）恒成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）的垂直平分線與直線的交點(diǎn)就是圓心，求出圓心即可得到半徑，圓的方程得解；（2）聯(lián)立直線與圓的方程，消去y整理得，根據(jù)建立等式，結(jié)合韋達(dá)定理求出定點(diǎn)即可.【詳解】（1）由，，可知線段的中點(diǎn)為，，的垂直平分線的斜率為，的垂直平分線的方程為.的垂直平分線與直線的交點(diǎn)即為圓心，由，解得，即，又圓的半徑，圓的方程為；（2）由，消去整理得.設(shè)，，，，，.設(shè)，則，.由，即有，即，即，將式代入得，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，.所以在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立.22．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，直線、分別與直線交于點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)且，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)已知條件求出的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，再求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)已知得到，再把韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即得證.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸為，可得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可的，可得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：如圖，

直線與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，，即.設(shè)、，則，．直線的方程為，則，直線的方程為，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，把韋達(dá)定理代入整理得，所以