數(shù)的整除特征

數(shù)的整除特征數(shù)的整除性質(zhì)主要有：若甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。若兩個(gè)數(shù)能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除。幾個(gè)數(shù)相乘，若其中有一個(gè)因數(shù)能被某一個(gè)數(shù)整除，那么它們的積也能被這個(gè)數(shù)整除。若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。若一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除，那么這個(gè)數(shù)也能分別被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)整除。若一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)都能被2整除。個(gè)位上是0或者5的數(shù)都能被5整除。若一個(gè)整數(shù)各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，則這個(gè)整數(shù)能被3（或9）整除。若一個(gè)整數(shù)末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。若一個(gè)整數(shù)末尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。若一個(gè)整數(shù)各位數(shù)字之和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。一個(gè)三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）整除,只須看這個(gè)數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?（11或13）整除

末位數(shù)字為零的整數(shù)必能被10整除

另外,一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差如果是11的倍數(shù),那么這個(gè)整數(shù)也是11的倍數(shù).（一個(gè)整數(shù)的個(gè)位、百位、萬位、…稱為奇數(shù)位,十位、千位、百萬位……稱為偶數(shù)位.）

至于6和12的整除特性，通過以上的原則判斷即可：各位數(shù)之和能被3整除的偶數(shù)能被6整除；各位數(shù)之和能被3整除且末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被4整除的整數(shù)能被12整除。能被7整除的數(shù)的特征：若一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字去掉,再從余下的數(shù)中,減去個(gè)位數(shù)的2倍,如果差是7的倍數(shù),則原數(shù)能被7整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。方法1、（適用于數(shù)字位數(shù)少時(shí)）一個(gè)數(shù)割去末位數(shù)字，再從留下來的數(shù)中減去所割去數(shù)字的2倍，這樣，一次次減下去，如果最后的結(jié)果是7的倍數(shù)（包括0），那么，原來的這個(gè)數(shù)就一定能被7整除．例如：判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。方法2、（適用于數(shù)字位數(shù)在三位以上）一個(gè)多位數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差，如果能被7整除，那么，這個(gè)多位數(shù)就一定能被7整除．如判斷數(shù)280679末三位數(shù)字是679，末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也適用于判斷能否被11或13整除的問題。如：283679的末三位數(shù)字是679，末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判斷383357能不能被13整除．這個(gè)數(shù)的未三位數(shù)字是357，末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)是383，這兩個(gè)數(shù)的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位縮小法，在首位或前幾位，減于7的倍數(shù)。例如，判斷452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。對(duì)32669可繼續(xù)，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49當(dāng)然被7整除，所以452669能被7整除。能被11整除的數(shù)的特征：除了前面講的被7整除的方法二適用于11之外，還可以把一個(gè)數(shù)由右邊向左邊數(shù),將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來,再求它們的差,如果這個(gè)差是11的倍數(shù)(包括0),那么,原來這個(gè)數(shù)就一定能被11整除。例如：判斷491678能不能被11整除。奇位數(shù)字的和學(xué)法指導(dǎo)能被2和5，4和25，8和125整除的數(shù)的特征是分別看這個(gè)數(shù)的末一位、末兩位、末三位。我們可以綜合推廣成一條：末n位數(shù)能被（或）整除的數(shù)，本身必能被（或）整除；反過來，末n位數(shù)不能被（或）整除的數(shù)，本身必不能被（或）整除。例如，判斷253200、371601能否被16整除，因?yàn)?，所以只要看各?shù)的末四位數(shù)能否被16整除。學(xué)習(xí)這一講知識(shí)要學(xué)會(huì)舉一反三。經(jīng)典例題[例1]在568后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個(gè)數(shù)盡可能小。

思路剖析這個(gè)六位數(shù)分別被3、4、5整除，故它應(yīng)滿足如下三個(gè)條件：（1）各位數(shù)字和是3的奇數(shù)；（2）末兩位數(shù)組成的兩位數(shù)是4的倍數(shù)；（3）末位數(shù)為0或5。按此條件很容易找到這個(gè)六位數(shù)。

解答不妨設(shè)補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字后的位數(shù)為，由于這個(gè)六位數(shù)被4、5整除，因?yàn)楸?整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。又因，所以3|（5+6+8+a+b+0），所以：當(dāng)b=2時(shí)，3|（5+6+8+a+2），a可為0、3、6、9；當(dāng)b=4時(shí)，3|（5+6+8+a+4），a可為1、4、7；當(dāng)b=6時(shí)，3|（5+6+8+a+6），a可為2、5、8；當(dāng)b=8時(shí)，3|（5+6+8+a+8），a可為0、3、6、9；當(dāng)b=0時(shí)，3|（5+6+8+a+0），a可為2、5、8。為了使六位數(shù)盡可能地小，則a應(yīng)取0、b應(yīng)取2、c應(yīng)取0。故能被3、4、5整除的最小六位數(shù)應(yīng)為568020。[例2]四位數(shù)能同時(shí)被2、3、5整除，問這個(gè)四位數(shù)是多少？

思路剖析能同時(shí)被2、3、5整除，所以滿足以下三個(gè)條件：個(gè)位數(shù)字B在0、2、4、6、8之中，各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)，個(gè)位數(shù)B在0、5之中。第一個(gè)和第三個(gè)條件都是針對(duì)個(gè)位數(shù)字的，所以先根據(jù)第二個(gè)條件確定百位數(shù)字A。

解答要使能同時(shí)被2和5整除，個(gè)位數(shù)字只能是B=0；又要使能被3整除，所以各位數(shù)字之和8+A+1+0=9+A應(yīng)能被3整除?？梢钥闯觯?dāng)A取0、3、6、9時(shí)，各位數(shù)字之和9+A可以被3整除。所求的四位數(shù)是8010、8310、8610、8910。[例3]有兩堆糖果，第一堆有513塊，第二堆有633塊，哪一堆可以平均分給9個(gè)小朋友而無剩余？

思路剖析本題實(shí)際上是判斷513與633能否被9整除。

解答513各位上數(shù)字之和是5+1+3=9，能被9整除；633各位上數(shù)字的和是6+3+3=12，不能被9整除。所以，第一堆可以平均分給9個(gè)小朋友而無剩余，第二堆平均分給9個(gè)小朋友還剩余3塊。[例4]有一個(gè)四位數(shù)是9的倍數(shù)，求A的值。

思路剖析四位數(shù)是9的倍數(shù)，即能被9整除，根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，這個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字之和一定是9的倍數(shù)。

解答（1）當(dāng)和是9時(shí)，3+A+A+1=9，即2A=5，所以A=2．5（舍）；（2）當(dāng)和是18時(shí)，3+A+A+1=18，即2A=14，A=7；（3）當(dāng)和是27時(shí)，3+A+A+1=27，即2A=23，可見A=11．5>10（舍）。所以，A的值是7。

[例5]一位馬虎的采購員買了72只桶，洗衣時(shí)將購貨發(fā)票洗爛了，只能依稀看到：72只桶，共□67．9□元（□內(nèi)的數(shù)字洗爛了），請(qǐng)你幫他算一算，他一共用了多少錢？

思路剖析用整除性質(zhì)：一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)數(shù)和的積整除，那么這個(gè)數(shù)就能同時(shí)被這兩個(gè)數(shù)整除。例如，整數(shù)a能被15整除，那么這個(gè)數(shù)一定能同時(shí)被3和5整除。這種方法是分析整數(shù)問題的基本方法。

解答將□67．9□元看做□679□分，這是72只桶的總價(jià)，因?yàn)閱蝺r(jià)×72=□679□，所以□679□能被72整除。72=8×9，所以□679□應(yīng)該能被8和9整除。如果□679□能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79□，容易算出□內(nèi)是2。因?yàn)椤?792能被9整除，所以其各數(shù)之和能被9整除?！?6+7+9+2=□+24，顯然，□中的數(shù)只能是3。所以這筆賬是367．92元。答：一共用了367．92元。[例6]在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得六位數(shù)□678□□能被8、9和25整除。

解答☆解法一：根據(jù)8、9和25整除的數(shù)的特征很容易解出此題。這個(gè)六位數(shù)能被25整除，根據(jù)能被25整除的數(shù)的特征知，六位數(shù)的末兩位數(shù)可能是00、25、50、75；該數(shù)又能被8整除，所以這個(gè)六位數(shù)的末三位數(shù)應(yīng)能被8整除，而在800、825、850、875中只有800滿足條件，所以這個(gè)六位數(shù)的個(gè)位、十位都是0；又因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能被9整除，所以這個(gè)六位數(shù)的各位數(shù)字之和（不妨設(shè)首位為x）為：x+6+7+8=21+x能被9整除，可推出x只能為6，所以這個(gè)六位數(shù)為667800。

☆解法二：根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì)（4）：如果一個(gè)數(shù)能被兩個(gè)互質(zhì)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)也能被這兩個(gè)互質(zhì)數(shù)的積整除。

因?yàn)?×25=200，而且8與25互質(zhì)，根據(jù)整除的性質(zhì)（4），所求的六位數(shù)能被200整除，所以個(gè)位、十位都應(yīng)該是0。然后由這六位數(shù)能被9整除，和解法一一樣的方法可知這個(gè)六位數(shù)為667800。

[例7]有一水果攤一天進(jìn)貨6筐，分別裝著香蕉和蘋果，重量為8千克、9千克、16千克、19千克、23千克和27千克。頭一天賣出一筐蘋果，在剩下的5筐中，香蕉的重量是蘋果重量的2倍。問賣掉的那筐重多少千克？剩下的5筐，哪幾筐是蘋果，哪幾筐是香蕉？思路剖析根據(jù)已知條件：剩下的5筐中香蕉的重量是蘋果的2倍?？赏瞥觯菏Ｏ碌?筐中香蕉重量與蘋果重量之和是3的倍數(shù)，即能被3整除。

解答因?yàn)?筐水果的總重量：8+9+16+19+23+27=102（千克），根據(jù)題意，剩下的5筐中香蕉與蘋果總重量之和是3的倍數(shù)，那么賣出的一筐蘋果也必須是3的倍數(shù)。從6筐水果數(shù)中可知有兩種情況，賣出一筐蘋果可能是9千克或是27千克。

如果賣出的一筐蘋果是9千克，那么102－9=93(千克)。根據(jù)剩下的5筐中香蕉的重量與蘋果總重量的2倍，則蘋果為93÷（1+2）=31（千克）。從剩下的8、16、19、23和27中可知8千克和23千克為蘋果（8+23=31）。最后剩下16千克、19千克和27千克這三筐為香蕉。

如果賣出的一筐蘋果是27千克，同理，102－27=75(千克)，蘋果為75÷(1+2)=25(千克)，即16千克與9千克這兩筐。香蕉便是最后剩下的8千克、19千克和23千克這三筐。

所以本題有兩種答案：如果賣出的那筐是9千克蘋果，則剩下的5筐中8千克、23千克兩筐為蘋果，16千克、19千克和27千克三筐為香蕉。如果賣出的那筐是27千克蘋果，則剩下的5筐中9千克、16千克兩筐為蘋果，8千克、19千克、23千克三筐為香蕉。

[例8]把1至1997這1997個(gè)自然數(shù)依次寫下來，得一個(gè)多位數(shù)12345678910111213…1994199519961997，試求這個(gè)多位數(shù)除以9的余數(shù)。

思路剖析根據(jù)一個(gè)數(shù)能被9整除的特征可以知道：一個(gè)自然數(shù)除以9的余數(shù)，等于這個(gè)自然數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和除以9的余數(shù)。所以上面求多位數(shù)除以9的余數(shù)問題，便轉(zhuǎn)化為求1至1997這1997個(gè)自然數(shù)中所有數(shù)字之和是多少的問題。

解答☆解法一：因?yàn)?至9這9個(gè)數(shù)字之和為45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99這十個(gè)數(shù)的各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90。所以，1至99這99個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和為：45+55+65+…+125+135=900

因?yàn)?至99這99個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和為900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999這些100個(gè)數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字和分別為：900+100，900+200，…，900+800，900+900。所以，1至999這999個(gè)自然數(shù)各位上數(shù)字之和為：900+1000+…+1700+1800=13500

因?yàn)?至999這999個(gè)自然數(shù)各位上數(shù)字和為13500，所以1000至1999這1000個(gè)自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為13500+1000=14500，這樣1至1999這1999個(gè)自然數(shù)各數(shù)位的數(shù)字和為：13500+14500=28000。1998、1999這兩個(gè)數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字和為：27、28。28000－27－28=27945，9能整除27945，所以多位數(shù)除以9余0

☆解法二：將0至1999這2000個(gè)自然數(shù)一頭一尾搭配成如下的100組：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996），（4，1995），（5，1994），（6，1993）（7，1992），（8，1991）（9，1990），（10，1989），…，（994，1005），（995，1004），（996，1003），（997，1002），（998，1001）（999，1000），以上各組兩數(shù)之和為1999，并且每一組數(shù)相加時(shí)都不進(jìn)位，1至1999這1999個(gè)自然數(shù)的所有數(shù)字之和等于：（1+9+9+9）×1000=28000

1998、1999這兩個(gè)數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和為：27、28。28000―27―28=27945，9能整除27945，所以多位數(shù)除以9余0。

☆解法三：因?yàn)橐来螌懗龅娜我膺B續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)，一定能被9整除。而從1至1997一共有1997個(gè)數(shù)，1997÷9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997這8個(gè)數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字和為19+20+21+22+23+24+25+26=180，180能被9整除，所以多位數(shù)除以9余0。

點(diǎn)津?yàn)槭裁匆来螌懗龅娜我膺B續(xù)9個(gè)自然數(shù)所組成的多位數(shù)一定能被9整除呢？下面解釋一下。因?yàn)槿我膺B續(xù)的9個(gè)自然數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字和除以9的余數(shù)，必定是0，1，2…，7，8這9個(gè)數(shù)，而這9個(gè)數(shù)的和為36，36能被9整除，所以任意依次寫出的9個(gè)連續(xù)自然數(shù)組成的多位數(shù)一定能被9整除。發(fā)散思維訓(xùn)練1．這個(gè)四位數(shù)，同時(shí)能被2、3、4、5、9整除，求此四位數(shù)。2．55塊糖分給甲、乙、丙三人，甲分到糖的塊數(shù)是乙的2倍，丙最少，但也多于10塊，三個(gè)人各分幾塊？

3．已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？4．老師買了72本相同的書，當(dāng)時(shí)沒有記住每本書的價(jià)格，只用鉛筆記下了用掉的總錢數(shù)□13．7□元，回校后發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)數(shù)字看不清了。請(qǐng)你補(bǔ)上這兩個(gè)數(shù)字(其中□為看不清的數(shù)字)。

5．已知45整除，求所有滿足條件的六位數(shù)。參考答案1．解：因?yàn)椋詁=0或5。又因?yàn)?，故b=0，即原四位數(shù)是，只需確定a。因?yàn)椋?|（4+5+a），則a=0或9。又因?yàn)?，所以a=0。所以，滿足條件的四位數(shù)是4500。