解析幾何中三點(diǎn)共線問題的教學(xué)策略 論文

11解析幾何中三點(diǎn)共線問題的教學(xué)策略摘要：三點(diǎn)共線的教學(xué)，可以從熟悉情境、關(guān)聯(lián)情境入手，在具體的情境問題的解決中，提高學(xué)生解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：解析幾何，三點(diǎn)共線，數(shù)學(xué)情境，教學(xué)策略在高考中，經(jīng)常出現(xiàn)三點(diǎn)共線問題，三點(diǎn)共線教學(xué)的好壞，直接影響解析幾何的得失。本文通過從視角對熟悉情境、關(guān)聯(lián)情境的分析，循序漸進(jìn)，提升思維深刻性，形成解題常用流程，有助于提高解題能力，提高教學(xué)效率。1.熟悉情境中三點(diǎn)共線問題例年新課標(biāo)1卷理科）已知拋物線C:y23x的焦點(diǎn)為F，斜率為3的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．2 （2）若AP3PB，求|AB|．分析：過x軸上點(diǎn)，定斜率和三點(diǎn)共線問題，根據(jù)問題情境，我們可以采取以3 y0下兩種方式，一是設(shè)A(x1,)，B(x2,y2)，設(shè)直線l方程:y2xb，令 得P(2b,0)，利用A，B，P三點(diǎn)共線，得橫坐標(biāo)之間的關(guān)系：32b3

3x22b，再聯(lián)立直線l方程:y

3xb與拋物線C:y22

3x得x2b3

|AB|，?x2，聯(lián)立解得，x2，帶入?x2得

，再利用弦長公式 =2221(

3)2?2

(x1x2)

4x1?x2得|AB|。二是設(shè)P(n,0)，設(shè)A(x1,)，B(x2,y2)，利用A，B，P三點(diǎn)共線，得出縱坐標(biāo)之間的關(guān)系：3y2，設(shè)直線l方程：x2yn，聯(lián)立直線與拋物線方程得yy

，y?y

，解得y，y

，帶入|AB|

31(2)2?3

(

y2

1)24y1

?y2

1 2 1 2 1 2得弦長|AB|?？偨Y(jié)：第二問三點(diǎn)共線，可以在此基礎(chǔ)延伸，把常數(shù)3換成常量t,從而得出一22般的結(jié)論，通過探究題目中條件，明確作用，進(jìn)一步提高學(xué)生思維水平，形成解決類似問題的流程。例年乙卷文科)已知拋物線C:y2px(p的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程; （2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足PQ9QF，求直線OQ斜率的最大值.分析：由（1）知C：y24x，一定兩動，三點(diǎn)共線問題，是我們熟悉的情2境，設(shè)P(x,y)，Q(x0,y0)，則y2

4x，由三點(diǎn)共線得10x09x，10y0y，k y4y 1兩組同用，所以O(shè)Q斜率OQ

9x

36y2，易得斜率最大值為3.總結(jié)：第二問三點(diǎn)共線，可以在此基礎(chǔ)延伸，把常數(shù)9換成常量t,從而得出一般的結(jié)論，進(jìn)一步認(rèn)識問題的本質(zhì)，形成解決類似問題的流程。2例3.（2019年新課標(biāo)3卷理科）已知曲線C：y=x，D為直線y=-1上22 2的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：分析：此題涉及過定直線的上動點(diǎn)與拋物線相切問題，根據(jù)問題情境，我們可以采取以下兩種方式，一是設(shè)切點(diǎn)，得其中一條切線方程，利用同構(gòu)思想得到另外一條切線方程，聯(lián)立兩切線方程，把定直線上動點(diǎn)帶入，即可得直線AB過定點(diǎn)；二是求出定點(diǎn)記為E(0,1)，再證明兩切點(diǎn)與定點(diǎn)三點(diǎn)共線即可，具體2做法：利用特殊位置得到定點(diǎn)，設(shè)兩條切線的斜率分別為,k2，設(shè)過定直線上動點(diǎn)的直線方程與拋物線聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用0，得A(k,1k2

B(k

,1k2) k k到k2

，?k2，得到切點(diǎn)

121)，

222

AE-

BE值為零，則B,E三點(diǎn)共線，即直線AB過定點(diǎn)。總結(jié)：本題關(guān)鍵：一是找出特殊點(diǎn)，利用特殊位置加極限思想，二是證明三點(diǎn)PAGEPAGE3共線，利用斜率關(guān)系轉(zhuǎn)化，要善于分析，找到關(guān)鍵點(diǎn)，與已有知識建立聯(lián)系，實現(xiàn)新舊知識的靈活轉(zhuǎn)化，提高解題能力，進(jìn)而發(fā)展思維。2+例年新課標(biāo)1卷理科】已知A、B分別為橢圓E：xy2（a2+a2 >1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG?GB8，P為直線x6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).x2 3分析：由（1）得E： y21，由特殊位置，先求出定點(diǎn)Q(,0)，再證明C9 2，Q，D三點(diǎn)共線，設(shè)P(6,n)得PA直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用兩根之2 2和求出點(diǎn)C( , 23n276n 3n和求出點(diǎn)C( , 2)，同理得出D( , )，當(dāng)n3，符合題n29

n29

n21

n21意，當(dāng)n23，計算kQCkQD為零，則C，Q，D三點(diǎn)共線，即直線CD過定點(diǎn).總結(jié)：此題可以作為典型的母題，把直線方程更改，若改成非6會怎樣，進(jìn)行變式，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生探究的同時，積累解題經(jīng)驗，形成成熟的套路。2.關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)情境x2例年新高考2卷）已知橢圓C的方程為2a

y2bb2

0)，右焦點(diǎn)為F(2,0)，且離心率為6．3

+ = >>（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線x2+y2(x相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=3．x2分析：由（1）得橢圓C： y21和曲線x2y21(x0)，當(dāng)直線MN斜率3不存在，直線MN:x1，不符題意，舍去，當(dāng)直線MN斜率存在設(shè)為k，由M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則直線MN：yk(x

2)，又由直線MN與曲線x2+y2(x相切，得k，設(shè)M(x,y)，N(x,y

)，當(dāng)2kk2kk212 2 1 2k1聯(lián)立橢圓C：xy21和yx1 23

4x 2得2得3

2x10，推出xx，?x2

同理k，結(jié)果一樣，所以再利用弦長公式求得|MN|=

3，得證。當(dāng)|MN|=

3，設(shè)直線MN：ykxb，因直線MN與曲線x2+y2(x相kk21

|b|

1，化簡得b2k21，設(shè)M(x1,)，N(x2,y2)，聯(lián)立直線2x22

2 2 22MN：ykxb和橢圓C：3y2

1化簡得(13k)x

6kbx

30，推出x2，?x2，再利用弦長公式|MN|

1k2?

(x1

x2)

4x1?x2 ，3同時把b2k21帶入，求得k，由題意知k，b異號，當(dāng)k1,b2，3直線MN：yx

2，當(dāng)kb

，直線MN：yx

2，都過點(diǎn)2F(2,0)，所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線。2小結(jié)：此題主要考兩個方向，一是由共線能推出什么，二是由什么能推出共線，解答此題需要層層分解，抓住關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化條件，明確推導(dǎo)方向，進(jìn)而解決問題，此題可對橢圓方程進(jìn)行變式，充分體會每一部分作用，明確情境重要作用，利用情境拓展，形成解題模板。例年全國乙卷）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、3y軸，且過A(,-2),(2,-1兩點(diǎn)．3(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)P(1,-2)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH．證明：直線HN過定點(diǎn)．2 2分析：由（1）得E的方程：xy1，易得AB直線方程：y22x，先由3 4 3特殊位置求出定點(diǎn)，再證明H，Q，N三點(diǎn)共線，具體做法是：取兩個特殊位置求出定點(diǎn)Q，設(shè)M(x1,)，N(x2,y2)，聯(lián)立MT：y和直線AB：y22x，得T(3y1y)，再由點(diǎn)H滿足MT=TH，推出H(3y

6x,y)3 2 1

1 1 1要證證明H，Q，N三點(diǎn)共線，即證kQHkQN0，即證：2(x1x2)6(y2)y2x23y1y2120P的直線斜率存在時，設(shè)為k，則直線MN：y2k(x，聯(lián)立直線MN：2 2 1得y2k(x與橢圓E:xy 24)x26k(2k)x3k(k4) 1得3 4而得到x2,?x2，y2，?y2，?y2x2?帶入上式得成立，得證，因此直線HN過定點(diǎn)。小結(jié)：本題常見解法猜出定點(diǎn)，聯(lián)立得出相應(yīng)的根與系數(shù)的關(guān)系，對學(xué)生理解容易造成困難，解決關(guān)鍵是能否突破定點(diǎn)，能否把直線過定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線，從而突破，通過特殊位置極限思想可以突破定點(diǎn)，另外通過邏輯分析推出聯(lián)立的必要性，打通思維堵點(diǎn)，明確目標(biāo)，聯(lián)立，求出對應(yīng)量，這樣邏輯清晰，目的明確，總結(jié)歸納，形成解題的一般方法。3.教學(xué)反思3.1培養(yǎng)學(xué)生的極限思維充分利用特殊位置，找到突破口，加強(qiáng)分析，善于觀察，及時發(fā)現(xiàn)特殊要素，培養(yǎng)提高學(xué)生極限思維水平。3.2提升學(xué)生的抽象思維水平通過分析具體情境，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)共性，總結(jié)解題方法和技巧，嘗試多角度分析，培養(yǎng)思維發(fā)散性，更深層次的挖掘題目的價值，挖掘情境的價值，對于題目變式，適當(dāng)推廣，提升思維深刻性。3.3提升思維廣度與深度充分利用情境，利用具體情境深入思考，不斷訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行相似聯(lián)想，提升思維廣度，對具體問題，深入研究，多角度探索，達(dá)到一定的深度。3.4提升邏輯思維水平通過層層剖析，梳理邏輯關(guān)系，打通學(xué)生思維通道，構(gòu)建學(xué)生解題的模型，分類匯總，掌握模型，應(yīng)用模型。3.5培養(yǎng)多種思維類型結(jié)合具體情境，從熟悉的入手，過渡到關(guān)聯(lián)，再過渡到綜合的，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，分析思維，直覺思維，發(fā)散思維，線性思維，聚合思維等，通過解題分析，解后對比，變式拓展，總結(jié)歸納，逐漸完成思維建構(gòu)，打通學(xué)生思維最后一公里，通過具體問題的解決，體會解決特殊問題的流程，通過拓展變式體會一般問題的解決模式，提升問題解決能力，培養(yǎng)多角度思考，培養(yǎng)多種思維類型，提供思維類型運(yùn)用情境，能運(yùn)用具體情境中，在具體情境中培養(yǎng)深化思維。4.總結(jié)解析幾何中的三點(diǎn)共線問題，是經(jīng)典?？碱}目，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理具有較高要求，不僅運(yùn)算復(fù)雜，還思維量大，本文通過新視角，從三點(diǎn)共線角度，根據(jù)情境分為兩大類：一是已知三點(diǎn)共線推出和證明有關(guān)問題，二是已知有關(guān)條件證三點(diǎn)共線或轉(zhuǎn)化為證明三點(diǎn)共線問題，教學(xué)過程對于題目條件要加強(qiáng)分析，可以從以下幾個方面：一是分析各個條件與已有知識之間的關(guān)系，二是剖析解決問題用到的思想方法，三是分析內(nèi)在邏輯關(guān)系，四是對于題目給的條件可以適當(dāng)變式，變更比例系數(shù)，來充分