多面體的外接球問題 論文

多面體的外接球問題摘要：與多面體的外接球有關的問題是近幾年的熱點問題，也是難點問題。本文首先介紹不同類型多面體外接球半徑的求法，最后探討多面體存在外接球的充分條件。關鍵詞：多面體，外接球，解法，存在條件一、外接球半徑的求法1.單截面法有些多面體比較簡單，只需要一個截面就可以解決問題，稱之為單截面法。C（1）側棱垂直于截面的棱錐（棱柱） SC例遼寧）S、A、B、C在球O的表面上，SA^平面A BABC，AB^BC，SA=AB=1，BC=

2。則球O的表面積為＿＿。課標）三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積是＿＿。SA^平面ABCABCABC的 SM外接圓圓心為。QAB^BC，\為AC的中點,，\= OBAB1AC=2

32QSA^平面ABC，^平面ABC\

∥SACSA的中點M,設球O的半徑為ROS=R得OM^SA，\是矩形，\1 12 2=MA=2SA=2\

R2=

+

=1,\S球=4pR2=。1（2）根據(jù)側棱垂直于底面，以底面ABC為截面截球，設三棱柱 A11B1OA CBABC-的外接球球心為O，半徑為R，△ABC的外接圓圓心為，半徑為 a =r

3a 1 12sin60o 1 3

^ ABC2

a 2 22 \R272a

得= 7pa2

平面 得= = ， =

+=12 ,\S球=4pR2=3 。有一條側棱l垂直于底面aaO就可以了。若球O的半徑為Rl的長記為la的外接1 1l22圓半徑為，則的長一定為2l，有如下恒等式：R2=4

1。該解法適合有外（2）側棱相等的棱錐例大綱）正四棱錐的頂點都在同一個球面上，若該四棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為＿＿。2020S-

ABC中，SB=SA=AB=BC=AC,SC=26,則三棱錐S-

ABC外接球的表面積是（ ）A3B3C9D9POD1解：（1）如圖，以底面ABCD為截面截球，設球心為O，半徑為R，截面ABCD的外心為POD1C212，則為對角線AC、BD=2

AC= ，A BQ=4，PO=R，\=4-R,\

R2=OO2

+r2=112 2 911

2 R)

2),\R= ,\S球=4pR= . AO144AB的中點DSABO144△ABCSD^AB，CD^AB，則2B S2SD=CD=

4′3=23。則2

SD2=6)=CSC2DSDC=90o。設球心為O,△ABC和△SAB的中心分別為E,F.由球的性質(zhì)可知：OE^平面ABC，OF^平面SAB，又DE=CDF=OE=OF=4′3′1=23OD=

OE22=26。2 3 3 3所以外接球半徑為R==S=4pR2 .=

OD2+BD2=

60.所以外接球的表面積為33另解：如圖，根據(jù)三棱錐三條側棱AB、AC、AS相等，以△BCS為截面截球。在△BCS中，cosDCBS=1,sinDCBS=15。作^

平面BCS于O1，4 4由AB=AC=AS得O1為△BCS點外心,設△BCS的外接圓410415410415半徑為,球的半徑為R=

sinDCBS

得=252

o=

AB-= .52又球心O在上，R2=2為S=4pR2 .=2

(

R)2

,解得R=

。所以外接球的表面積22153不過球心到截面的距離不能直接求出，而等于棱錐的高減去球的半徑的絕對值。若球O的半徑為R，棱錐的高為h，底面的外接圓圓心為，半徑為，2 2則的長為h-R，有如下恒等式：R2=-R)

。當然，對于三棱錐，截面的選取要恰當，否則計算會復雜，例如第（2）題，若以ABC為底面截球，則三條側棱不相等一般情況下不好做參考答案其實是利用兩個截面處理的。但若隨便改動一個數(shù)字，比如取SA5就沒有面面垂直了，則不能照搬答案的解法。湖北預賽8）已知四面體的一條棱長為6，其余棱長均為5，則這個四面體的外接球的半徑為 2039）392.雙截面法有些多面體由一個截面無法求出外接球的半徑，需要借助兩個截面才可以，稱之為雙截面法。例3（1）四棱錐P-

ABCD的外接球球心為O，底面 PABCD是矩形，平面PAD^底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，則球O的表面積為＿＿。 D CA BPC（2）三棱錐PPC

ABC中，

AB=AC=BC=PB=PC=

3,二面角P-BC-A的大小為60o，求P-

ABC的外接球半徑。（3）三棱錐P-

ABC中，BC=

23,∠BAC=60o,cosDBPC=21,二面角P-BC-7

A的大小為60o，求 B AP-ABC的外接球半徑。 PO，設半徑為R，以底面 OABCD截球，設截面圓圓心為，半徑為，則

D CE O11為對角線AC、BD=2

A B5AC= 5223面PAD截球，設截面圓圓心為O2

o得= sin60 3面交AD于E,則為二面角P-

AD-BPAD^底面ABCD得∠=

90o，又OO^截面ABCD，OO^截面PAD，因此1 2O1E2是矩形1 2=O2E= ，\333

R2=OO2

+r2

=16，3112S球=4pR112

=。PP2ECO1（2）如圖，設球心為O，半徑為R，以底面ABC截球，設截面圓圓心為，半徑為PBC截球，B A設截面圓圓心為O2交BC于E,則∠是二面角P-BC-

1 2OAOEO=601 2O22O222 ? 12

2 ? 1中，=-? ÷= ，O2E=-? ÷= 。è2? 2

è2? 2 E O11 2 1 2連接OO得OO=11 2 1 2

=∠OOO=30o易得OO=

\R2

3=OO3

2+r2=13，S12 球

2 12 21=4pR2=。3

1 6 1 1（3）如圖，設球心為O，半徑為R，以底面ABC截球，設截面圓圓心為，23半徑為23

sin60o得=2，=2r2-?2

=1；再以側面PBC截球，設截面圓圓心為O

，半徑為1 ?2÷

2 Oè ?21

27

23

E O1。由cosDBPC= ,得sinDBPC= ，由得r=7 7 sinDBPC 221，OE=

r2-?

=3。設平面OOO

交BC于E,則∠OEO

是二面角22 2 22

?2÷

2 12 1 2è ?27P-BC27

AOEO=OOEOOO1 1 2 1 2 1 2O2= ，727

cosE=7 ，

sin= 。 由227

=

得OO=23，\

R2=OO2+r2=16，S

=4pR2=。sin

sin120o 1 3

1 1 3 球 3雙截面法求外接球的半徑是一個難點，為此例4特地從易到難選編了3個題目，它們之間是特殊到一般的關系。存在外接球的多面體，若需要雙截面法P-

ABCOP2ECO1RABC的外心為PBC的外心為P2ECO1角P-BC-

A的大小為a。只要知道或能求出、、a、BC、R中，結合公式R223 B1 1 A3.補體法例4（1）同例1（1）題略；（2）同例3（1）題略；A-BCD中，AB=CD=6,AC=BD=7,AD=BC錐外接球的表面積為＿＿。解：（1）如下圖左，將三棱錐S-

ABC補成長方體，長方體的外接球半徑2為1=2R，\R=1,S球=4pR2

=。（2）如下圖中，把四棱錐P-

ABCD補成三棱柱ADP-BCQ，同例1（2）球的解法易得外接球的半徑為43，S球3=4pR2= 。3PQDSPQDSACBCB A B

nA lm C(1) (2) (3)l，m，nR長方體中嵌入三棱錐A-BCD，由l2，l2，m2得l2m2n255l2=55，\2Rl2m2n2552 球

=4pR2=。練習：三棱錐A-BCD的三組對棱分別相等，AB=5，BC=

41,外接球的半徑為52，則A-BCD的體積為＿＿。(略解：把三棱錐嵌入長方體中，則長2方體的三條棱長分別為3、4、5，三棱錐的體積為20）長方體的外接球半徑容易求，如果能把一些多面體補成長方體，使它們的錐，一般不易直接求外接球的半徑，需要構造長方體，如例4.向量法例5同例3（1）DM解：如圖，以AD的中點M為坐標原點，建立空間直 DMC角坐標系，則0),B4,0),C4,0)，CA BD0),P3).設球心O(x,y,zOA=OBA ByOA=OD得x，由OA=OP得z=

3。\

? 3?點O2, R=OA=3 è 3?16,此時OC=16，\

點O是四棱錐的球心，球O的半徑R=16，S

=4pR2球3 3 3球= .3一個有外接球的多面體只要能建系就可以用代數(shù)方法求它的外接球半徑。二、存在外接球的充分條件2OD2ODE1BCD、△ACD的外心分別為、，E為CD的中點，則^DC，E^DC，\DC^平面E。在平面E內(nèi)過作直線垂C直作直線垂直EB為OO到三棱錐四個頂點的距離相等，即點O為三棱錐A-BCD外接球的球心。2.底面四邊形對角互補的四棱錐有且只有一個外接球證明類似三棱錐，略。DED 例6平行四邊形ABCD中，DBADAB, C AD,E為邊CD上一點（不與C、D重合將△A BBCE沿BE折起，使點A、B、C、D、E均在一個球面上，當四棱錐C-

ABED體積最大時，求球的表面積。DE解：Q點A、B、C、D、E均在一個球面上，DE

A、B、E、D四點共圓，\

四邊形ABED的對角互補，即DBED-60o= C120o，四邊形ABED為等腰梯形。易知△ABD為直角三角形，外心為AB的中點，同理△ABE的外心也為ABA BABED的外心為為AB的中點，四邊形ABED的外接圓半徑。由DBED得DCEB=60o，△CEB為等邊三角形，23設△BCE的外心為= OR,則^截面233OO2^截面BCEI

BE=F為二面角A-BE-C的平面角。顯然當平面BCE垂直于平面ABED時，體積最大，此時=90o，3 2 2 4

1 13則四邊形為矩形，=F=S=4pR2。3

oR23=