第6章-圖像的幾何變換

多媒體通信北京科技大學(xué)楊揚(yáng)第6章圖像的幾何變換幾何變換基礎(chǔ)圖像比例縮放圖像平移圖像鏡像圖像旋轉(zhuǎn)灰度插值1、幾何變換基礎(chǔ)圖像的幾何變換，是指使用戶(hù)獲得或設(shè)計(jì)的原始圖像，按照需要產(chǎn)生大小、形狀和位置的變化。從圖像類(lèi)型來(lái)分，圖像的幾何變換有：

二維平面圖像的幾何變換；三維圖像的幾何變換；三維向二維平面投影變換等。從圖像的性質(zhì)分，圖像的幾何變換有：

平移、比例縮放、旋轉(zhuǎn)、反射和錯(cuò)切等基本變換；透視變換和復(fù)合變換；插值運(yùn)算等。1、幾何變換基礎(chǔ)圖像的幾何變換是通過(guò)改變圖像中物體（像素）之間的空間關(guān)系的過(guò)程。圖像的幾何變換可以看成將各像素在圖像內(nèi)移動(dòng)的過(guò)程。其定義為：其中，f(x,y)表示輸入圖像，g(x,y)表示輸出圖像，a(x,y)和b(x,y)表示空間變換。幾何變換改變的是圖像中各物體之間的空間關(guān)系。其效果正如在一塊橡皮板上畫(huà)圖，拉伸該橡皮板，并在不同的點(diǎn)固定該橡皮板。1、幾何變換基礎(chǔ)一個(gè)幾何變換需要兩個(gè)獨(dú)立的算法：

1.需要一個(gè)算法來(lái)定義空間變換本身，用它描述每個(gè)像素如何從其初始位置“移動(dòng)”到終止位置，即每個(gè)像素的“運(yùn)動(dòng)”，如平移、縮放、旋轉(zhuǎn)等。

2.還需要一個(gè)用于灰度插值的算法，這是因?yàn)?，在一般情況下，輸入圖像的位置坐標(biāo)(x，y)為整數(shù)，而輸出圖像的位置坐標(biāo)為非整數(shù)，反過(guò)來(lái)也是如此。1、幾何變換基礎(chǔ)幾何變換常用于攝象機(jī)的幾何校正過(guò)程，這對(duì)于利用圖像進(jìn)行幾何測(cè)量的工作是十分重要的。如：仿射變換（AffineTransformation），它屬于射影幾何變換，多用于圖像配準(zhǔn)（ImageRegistration）作為比較或匹配的預(yù)處理過(guò)程；圖像卷繞（ImageWarping），即用控制點(diǎn)控制變換過(guò)程，通過(guò)插值運(yùn)算，將一幅圖像逐漸變化到另一幅圖像的圖像變形（Morphing）過(guò)程是其典型的應(yīng)用，多見(jiàn)于影視特技及廣告的制作。

1.1齊次坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)進(jìn)行平移后，移到P(x,y),其中x方向的平移量為x,y方向的平移量為y。那么，點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)為：這個(gè)變換用矩陣的形式可以表示為：1.1齊次坐標(biāo)點(diǎn)的平移1.1齊次坐標(biāo)而平面上點(diǎn)的變換矩陣中沒(méi)有引入平移常量，無(wú)論a、b、c、d取什么值，都不能實(shí)現(xiàn)上述的平移變換。因此，需要使用2×3階變換矩陣，取其形式為：1.1齊次坐標(biāo)為了運(yùn)算方便，通常將2×3階矩陣擴(kuò)充為3×3階矩陣，以拓寬功能。P(x,y)按照3X3的變換矩陣T平移結(jié)果為：1.1齊次坐標(biāo)這種用n＋1維向量表示n維向量的方法稱(chēng)為齊次坐標(biāo)表示法。因此，2D圖像中的點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)通常表示成齊次坐標(biāo)（Hx,Hy,H），其中H表示非零的任意實(shí)數(shù)，當(dāng)H＝1時(shí)，則(x,y,1)就稱(chēng)為點(diǎn)(x,y)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)。由點(diǎn)的齊次坐標(biāo)（Hx,Hy,H）求點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)(x,y,1)，可按如下公式進(jìn)行：1.2二維圖像幾何變換的矩陣?yán)谬R次坐標(biāo)及改成3×3階形式的變換矩陣，實(shí)現(xiàn)2D圖像幾何變換的基本變換的一般過(guò)程是：將2×n階的二維點(diǎn)集矩陣 表示成齊次坐標(biāo) 的形式，然

后乘以相應(yīng)的變換矩陣即可完成。1.2二維圖像幾何變換的矩陣引入齊次坐標(biāo)后，表示2D圖像幾何變換的3×3矩陣的功能就完善了，可以用它完成2D圖像的各種幾何變換。下面討論3×3階變換矩陣中各元素在變換中的功能。幾何變換的3×3矩陣的一般形式為：1.2二維圖像幾何變換的矩陣其中，這一子矩陣可使圖像實(shí)現(xiàn)恒等

比例、反射（或鏡像）、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)變換。[lm]這一行矩陣可以使圖像實(shí)現(xiàn)透視變換,但當(dāng)l=0，m=0時(shí)它無(wú)透視作用。[p

q]T這一列矩陣可以使圖像實(shí)現(xiàn)平移變換，[s]這一元素可以使圖像實(shí)現(xiàn)全比例變換。2、圖像比例縮放比例縮放前后兩點(diǎn)P0(x0,y0)、P(x,y)之間的關(guān)系用矩陣形式可以表示為：其中fx,fy>1為放大，fx,fy<1為縮小。2、圖像比例縮放2、圖像比例縮放比例縮放所產(chǎn)生的圖像中的像素可能在原圖像中找不到相應(yīng)的像素點(diǎn)，這樣就必須進(jìn)行插值處理。插值處理常用的方法有兩種，一種是直接賦值為和它最相近的像素值；另一種是通過(guò)一些插值算法來(lái)計(jì)算相應(yīng)的像素值。前一種方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但會(huì)出現(xiàn)馬賽克現(xiàn)象；后者處理效果要好些，但是運(yùn)算量也相應(yīng)增加。在下面的算法中直接采用了前一種做法。實(shí)際上，這也是一種插值算法，稱(chēng)為最鄰近插值法（NearestNeighborInterpolation）。2、圖像比例縮放最簡(jiǎn)單的比例縮小是當(dāng)fx=fy=1／2時(shí)，圖像被縮到一半大小，此時(shí)縮小后圖像中的(0，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，0)像素；(0，1)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，2)像素；(1，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(2，0)像素，依此類(lèi)推。圖像縮小之后，因?yàn)槌休d的信息量小了，所以畫(huà)布可相應(yīng)縮小。此時(shí)，只需在原圖像基礎(chǔ)上，每行隔一個(gè)像素取一點(diǎn)，每隔一行進(jìn)行操作，即取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構(gòu)成新的圖像，如下圖所示。如果圖像按任意比例縮小，則需要計(jì)算選擇的行和列。2、圖像比例縮放圖像縮小一半2、圖像比例縮放如果M×N大小的原圖像F(x，y)縮小為kM×kN大?。╧<1）的新圖像I(x，y)時(shí)，則I(x,y)=F(int(c×x),int(c×y))其中，c=1／k。由此公式可以構(gòu)造出新圖像，如下圖所示。2、圖像比例縮放當(dāng)fx≠fy(fx,fy＞0)時(shí)，圖像不按比例縮小，這種操作因?yàn)樵趚方向和y方向的縮小比例不同，一定會(huì)帶來(lái)圖像的幾何畸變。圖像不按比例縮小的方法是：如果M×N大小的舊圖F(x，y)縮小為k1M×k2N（k1<1，k2<1）大小的新圖像I(x，y)時(shí)，則

I(x,y)=F(int(c1×x),int(c2×y))2、圖像比例縮放在圖像的放大操作中，需要對(duì)尺寸放大后所多出來(lái)的空格填入適當(dāng)?shù)南袼刂?，這是信息的估計(jì)問(wèn)題，所以較圖像的縮小要難一些。當(dāng)fx＝fy＝2時(shí)，圖像被按全比例放大2倍，放大后圖像中的(0，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0，0)像素；(0，1)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0，0.5)像素，該像素不存在，可以近似為(0，0)也可以近似(0，1)；(0，2)像素對(duì)應(yīng)于原圖像中的(0，1)像素；(1，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(0.5，0)，它的像素值近似于(0，0)或(1，0)像素；(2，0)像素對(duì)應(yīng)于原圖中的(1，0)像素，依此類(lèi)推。其實(shí)這是將原圖像每行中的像素重復(fù)取值一遍，然后每行重復(fù)一次。2、圖像比例縮放放大前的圖像按最近鄰域法放大兩倍按插值法放大兩倍

2、圖像比例縮放一般地，按比例將原圖像放大k倍時(shí)，如果按照最近鄰域法則需要將一個(gè)像素值添在新圖像的k×k的子塊中。顯然，如果放大倍數(shù)太大，按照這種方法處理會(huì)出現(xiàn)馬賽克效應(yīng)。當(dāng)fx≠fy(fx,fy＞0)時(shí)，圖像在x方向和y方向不按比例放大，此時(shí)，這種操作由于x方向和y方向的放大倍數(shù)不同，一定帶來(lái)圖像的幾何畸變。為了提高幾何變換后的圖像質(zhì)量，常采用線性插值法。該方法的原理是，當(dāng)求出的分?jǐn)?shù)地址與像素點(diǎn)不一致時(shí)，求出周?chē)膫€(gè)像素點(diǎn)的距離比，根據(jù)該比率，由四個(gè)鄰域的像素灰度值進(jìn)行線性插值，如下圖所示。2、圖像比例縮放線性插值法示意圖2、圖像比例縮放簡(jiǎn)化后的灰度值計(jì)算式如下:g（x，y）=（1-q）{（1-p）×g（［x］，［y］）+p×g（［x］+1，［y］）}+q{（1-p）×g（［x］，［y］+1）+p×g（［x］+1，［y］+1）}式中：g（x，y）為坐標(biāo)（x，y）處的灰度值，［x］、［y］分別為不大于x，y的整數(shù)。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的詳細(xì)算法及其實(shí)現(xiàn)可以參考有關(guān)的參考文獻(xiàn)。3、圖像平移設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)進(jìn)行平移后，移到P(x,y)，其中x方向的平移量為Δx，y方向的平移量為Δy。那么，點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)為：利用齊次坐標(biāo)，變換前后圖像上的點(diǎn)P0(x0,y0)和P(x,y)之間的關(guān)系可以用如下的矩陣變換表示為：3、圖像平移圖像平移4、圖像鏡像圖像的鏡像變換也可以用矩陣變換表示。設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)進(jìn)行鏡像后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y)，圖像高度為fHeight，寬度為fWidth，原圖像中P0(x0,y0)經(jīng)過(guò)水平鏡像后坐標(biāo)將變?yōu)椋╢Width-x0，y0），垂直鏡像后坐標(biāo)將變?yōu)?x0，fHeight-y0)矩陣表達(dá)式為：水平鏡像垂直鏡像4、圖像鏡像圖像的鏡像5、圖像旋轉(zhuǎn)設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)旋轉(zhuǎn)θ角后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x,y)，如下圖所示：5、圖像旋轉(zhuǎn)寫(xiě)成矩陣形式，如下：5、圖像旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)P0(x0,y0)、P(x,y)的坐標(biāo)分別是：矩陣形式：5、圖像旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖像旋轉(zhuǎn)時(shí)需要注意如下兩點(diǎn)：

（1）圖像旋轉(zhuǎn)之前，為了避免信息的丟失，一定要有坐標(biāo)平移；（2）圖像旋轉(zhuǎn)之后，會(huì)出現(xiàn)許多空洞點(diǎn)。對(duì)這些空洞點(diǎn)必須進(jìn)行填充處理，否則畫(huà)面效果不好，一般也稱(chēng)這種操作為插值處理。最簡(jiǎn)單的方法是行插值方法或列插值方法。6、灰度插值—向前映射法當(dāng)把輸入圖像的灰度一個(gè)一個(gè)像素地轉(zhuǎn)移到輸出圖像中時(shí)，如果一個(gè)輸入像素被映射到四個(gè)輸出像素之間的位置，則其灰度值就按插值算法在四個(gè)輸出像素之間進(jìn)行分配。我們稱(chēng)之為像素移交(Pixelcarry-over)或稱(chēng)為向前映射法。6、灰度插值—向后映射法另一種更有效地達(dá)到目的的方法是像素填充(Pixelfilling)或稱(chēng)為向后映射算法：在這里輸出像素一次一個(gè)地映射回到輸入圖像中，以便確定其灰度級(jí)。如果—個(gè)輸出像素被映射到四個(gè)輸出像素之間。則其灰度值由灰度級(jí)插值決定。向后空間變換是向前變換的逆變換。6、灰度插值由于許多輸入像素可能映射到輸出圖像的邊界之外，故向前映射算法有些浪費(fèi)。