第三章 有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與檢驗(yàn)

第三章有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與檢驗(yàn)3.1數(shù)學(xué)期望與方差隨機(jī)變量x及它所取的數(shù)和相應(yīng)頻率的乘積和，稱為x的平均數(shù)(屬于加權(quán)平均)也稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值。

(一)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義1離散型隨機(jī)變量X有概率函數(shù)

P(X=xk)=Pk(k=1,2,....)若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱這個(gè)級(jí)數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望=一、數(shù)學(xué)期望例3-1甲在機(jī)床上生產(chǎn)某產(chǎn)品,若一等品能賺5元,二等品賺3元，次品虧2元.甲生產(chǎn)時(shí)一等品、二等品及次品的概率為0.6,0.3,0.1。問(wèn)生產(chǎn)每件產(chǎn)品平均能創(chuàng)造多少財(cái)富?數(shù)學(xué)期望為3.7。表示生產(chǎn)一件產(chǎn)品能創(chuàng)造3.7元。x53－2p0.60.30.1解：

(二)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若稱為X的數(shù)學(xué)期望。

(1)

定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X有概率密度絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的平均數(shù)。它是將隨機(jī)變量x及它所取的數(shù)和相應(yīng)頻率的乘積和。

例3-2計(jì)算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望?？梢?jiàn)均勻分布的數(shù)學(xué)期望為區(qū)間的中值。解：3.1數(shù)學(xué)期望與方差二、方差定義為變量X的方差對(duì)于離散型變量對(duì)于連續(xù)型變量例3-3計(jì)算在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布的隨機(jī)變量X的方差。3.2置信區(qū)間與顯著性水平二、方差定義為變量X的方差對(duì)于離散型變量對(duì)于連續(xù)型變量用樣本研究總體時(shí)，樣本均值x并不等于總體均值μ，但可以肯定，只要消除了系統(tǒng)誤差，在某一置信度下，一定存在著一個(gè)以樣本均值x為中心，包括總體均值μ在內(nèi)的某一范圍,稱為平均值的置信區(qū)間。由t的定義式得：3.2置信區(qū)間與顯著性水平式中稱為置信區(qū)間，其大小取決于測(cè)定的標(biāo)準(zhǔn)偏差、測(cè)定次數(shù)和置信度的選擇，置信區(qū)間愈小平均值愈接近總體平均值μ。（→

μ

）表示的意義：有68.3%把握認(rèn)為本鋼樣磷含量的真值落在0.0087±0.0011（%）范圍內(nèi)。下面有三種結(jié)果報(bào)告，第一種報(bào)告：例3-4對(duì)某一鋼樣含磷量平行測(cè)定了四次，平均值為0.0087%。己知標(biāo)準(zhǔn)誤差σ=0.0022。磷含量的第二種報(bào)告表示的意義為：有95.5%把握認(rèn)為本鋼樣磷含量的真值落在0.0087±0.0022（%）范圍內(nèi)。磷含量的第三種報(bào)告表示的意義為：有99.7%把握認(rèn)為本鋼樣磷含量的真值落在0.0087±0.0033（%）范圍內(nèi)。1）置信度（P）：例中有68.3%把握、95.5%把握和99.7%把握均稱為置信度也稱置信水平；2）顯著性水平（α）：在上面三個(gè)區(qū)間外的概率稱為顯者性水平。置信度（P）與顯著性水平（α）的關(guān)系兩者的關(guān)系為：α＝1－P例：α（顯著性水平）=0.05時(shí)，則p（置信度）=1-0.05=0.95，即等于95%置信度的選擇應(yīng)合適，一般的判斷若有95%把握，則以為這種判斷基本正確。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中通常取95%置信度。處理分析測(cè)試的數(shù)據(jù)時(shí)，也取95%的置信度。當(dāng)然并非絕對(duì)，根據(jù)具體的情況有時(shí)也取90%或99%。3.3假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)又叫顯著性檢驗(yàn)（testofsignificance）。顯著性檢驗(yàn)的方法很多，常用的有t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)和

2檢驗(yàn)等。盡管這些檢驗(yàn)方法的用途及使用條件不同，但其檢驗(yàn)的基本原理是相同的。3.4t檢驗(yàn)t檢驗(yàn)是用t分布函數(shù)對(duì)不同樣本間均值差異性的檢驗(yàn)方法。由于測(cè)量次數(shù)有限，σ和μ無(wú)從知道。英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)與化學(xué)家Gosset提出用t分布解決了這一問(wèn)題。使不致因?yàn)橛胹代替σ而引起對(duì)正態(tài)分布的偏離。

t分布函數(shù)是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家兼化學(xué)家Gosset提出，因當(dāng)時(shí)他用“Student”的筆名發(fā)表該論文，所以又稱為“學(xué)生氏分布”1）t分布曲線隨自由度f(wàn)變化；2）當(dāng)f=∞時(shí)，t分布則為正態(tài)分布。t檢驗(yàn)的基本原理例3-5

隨機(jī)抽測(cè)10頭白豬和10頭黑豬經(jīng)產(chǎn)母豬的產(chǎn)仔數(shù)，資料如下：白：11，11，9，12，10，13，13，8，10，13黑：8，11，12，10，9，8，8，9，10，7經(jīng)計(jì)算，得白豬10頭經(jīng)產(chǎn)母豬產(chǎn)仔平均數(shù)X1＝11頭，標(biāo)準(zhǔn)差S1=1.76頭；黑豬10頭經(jīng)產(chǎn)母豬產(chǎn)仔平均數(shù)X2=9.2頭，標(biāo)準(zhǔn)差S2=1.549頭。下一張

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能否僅憑這兩個(gè)平均數(shù)的差值X1－X2=1.8頭，立即得出白與黑兩品種經(jīng)產(chǎn)母豬產(chǎn)仔數(shù)不同的結(jié)論呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，這樣得出的結(jié)論是不可靠的。下一張

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總體與樣本的關(guān)系取樣次數(shù)取樣值平均值126.531.227.930.829.128.7+0.4228.728.325.129.627.928.7-0.8325.130.828.532.429.228.7+0.5429.127.924.231.728.228.7-0.5527.229.626.532.829.028.7+0.3總和28.7表明樣本平均數(shù)并非總體平均數(shù)，它還包含試驗(yàn)誤差的成分。對(duì)于接受不同處理的兩個(gè)樣本來(lái)說(shuō)，則有：這說(shuō)明兩個(gè)樣本平均數(shù)之差包括了兩部分：一部分是兩個(gè)總體平均數(shù)的差稱試驗(yàn)的處理效應(yīng)另一部分是試驗(yàn)誤差也就是說(shuō)樣本平均數(shù)的差包含有試驗(yàn)誤差，它只是試驗(yàn)的表面效應(yīng)。因此，僅憑就對(duì)總體平均數(shù)μ1、μ2

是否相同下結(jié)論是不可靠的。只有通過(guò)顯著性檢驗(yàn)才能獲得結(jié)論。對(duì)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)就是要分析：試驗(yàn)的表面效應(yīng)主要由處理效應(yīng)引起的，還是主要由試驗(yàn)誤差所造成。下一張

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這里我們做出如下假設(shè)：下一張

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零假設(shè)備擇假設(shè)對(duì)于統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（n1+n2-2）t分布其中下一張

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接受H0，差異不顯著拒絕H0，差異顯著拒絕H0，差異非常顯著飼料種類甲乙增重量26.531.228.728.325.130.829.127.927.229.6平均值27.329.6例3-6

為了考察兩種不同的飼料對(duì)鯽魚喂養(yǎng)的效果，測(cè)量了其增重量（g/week），數(shù)據(jù)如下，試問(wèn)兩種飼料喂養(yǎng)效果是否存在差異？由于所以，兩種飼料的喂養(yǎng)效果沒(méi)有明顯差異。差異不顯著方差分析下一張

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——F

檢驗(yàn)t檢驗(yàn)法適用于兩樣本平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，但在生產(chǎn)和科學(xué)研究中經(jīng)常會(huì)遇到比較多個(gè)處理優(yōu)劣的問(wèn)題，即需進(jìn)行多個(gè)平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)。這時(shí)，若仍采用t檢驗(yàn)法就不適宜了。這是因?yàn)椋合乱粡?/p>

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1、檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣例如，一試驗(yàn)包含5個(gè)處理，采用t檢驗(yàn)法要進(jìn)行=10次兩兩平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)；若有k個(gè)處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗(yàn)。下一張

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2、無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計(jì)的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低對(duì)同一試驗(yàn)的多個(gè)處理進(jìn)行比較時(shí)，應(yīng)該有一個(gè)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差的估計(jì)值。若用t檢驗(yàn)法作兩兩比較，由于每次比較需計(jì)算一個(gè)，故使得各次比較誤差的估計(jì)不統(tǒng)一，同時(shí)沒(méi)有充分利用資料所提供的信息而使誤差估計(jì)的精確性降低，從而降低檢驗(yàn)的靈敏性。下一張

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3、推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的I型錯(cuò)誤率大假設(shè)兩個(gè)樣本之間的I型錯(cuò)誤率為0.05，則如果有五個(gè)樣本進(jìn)行兩兩比較，共10次，則總犯I型錯(cuò)誤的概率由于上述原因，多個(gè)平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t檢驗(yàn)，須采用方差分析法。方差分析(analysisofvariance，ANOVA)是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。例3-7為了考察5個(gè)品系的小麥之間株高是否存在差別，進(jìn)行隨機(jī)取樣后數(shù)據(jù)如下，試分析品系間株高是否存在差別？株號(hào)品系IIIIIIIVV164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.23