2023學(xué)年完整公開課版變化率問題

1.1.1變化率問題

為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：

一、已知物體運動的路程關(guān)于時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等;

二、求曲線的切線;

三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;

四、求長度、面積、體積和重心等。

世界上，變化無處不在，人們經(jīng)常關(guān)心變化快慢問題，如何刻畫事物變化的快慢呢？

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。

導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度。問題1氣球膨脹率思考:這一過程中，哪些量在改變？觀察蠟筆小新吹氣球的過程，

從吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?設(shè)氣球的體積為V（單位：L），某一時刻的半徑為r（單位：dm）.問題1.1氣球的體積V與半徑r的函數(shù)關(guān)系是什么？問題1.2如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)，則該函數(shù)的解析式是什么？

問題1.3當(dāng)空氣容量V從0增加到1時，氣球的半徑增加了多少？氣球的平均膨脹率是多少？r(1)－r(0)≈0.62(dm)，

半徑的增量體積的增加量氣球平均膨脹率=問題1.4當(dāng)空氣容量V從1增加到2時，氣球的半徑增加了多少？氣球的平均膨脹率是多少？r(2)－r(1)≈0.16(dm)，

顯然0.62>0.16隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小問題1.5

當(dāng)空氣容量從增加到時，氣球的平均膨脹率是多少？問題2高臺跳水在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系:

如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?請計算

計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認(rèn)為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?自變量的改變量函數(shù)值的改變量你能類比表示y=f(x)從x1到x2的平均變化率嗎？

此式稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率?！鱴可正可負(fù)，但不能為0.

平均變化率，根據(jù)圖像你有何想法？f(x1)f(x2)OA(x1,y1)B(x2,y2)xyy=f(x)直線AB的斜率思考？解:

函數(shù)在區(qū)間[-3，-1]上的平均變化率為：函數(shù)在區(qū)間[0，5]上的平均變化率為:函數(shù)在區(qū)間[-3，-1]上的平均變化率為：函數(shù)在區(qū)間[0，5]上的平均變化率為：(5)[1，1.001](4)[1，1.01];(3)[1，1.1]；(2)[1