第六章 投影變換

第六章投影變換§6-1問(wèn)題的提出§6-2換面法基本概念點(diǎn)的投影變換規(guī)律四個(gè)基本作圖問(wèn)題§6-2應(yīng)用舉例第六章投影變換§6-1問(wèn)題的提出§6-2換面法基本概念點(diǎn)的投影變換規(guī)律四個(gè)基本作圖問(wèn)題§6-2應(yīng)用舉例§6-1問(wèn)題的提出

幾何元素相對(duì)投影面處于某種特殊位置時(shí)，其投影往往能直接反映交點(diǎn)、交線的位置或圖形實(shí)形、線段實(shí)長(zhǎng)等。定位問(wèn)題度量問(wèn)題實(shí)形距離實(shí)長(zhǎng)交點(diǎn)交線幾何元素處于一般位置時(shí)怎么辦？幾何元素不動(dòng)變換投影面位置投影變換的目的改變幾何元素與投影面的相對(duì)位置，借助于改變后所得投影——輔助投影，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的目的。投影面不動(dòng)幾何元素繞某軸旋轉(zhuǎn)換面法旋轉(zhuǎn)法§6-2換面法如何求線段AB的實(shí)長(zhǎng)？當(dāng)V1//AB時(shí)a1'b1'

=|AB|VHXV1X1a1'b1'Aaba'b'B一、選擇新投影面的原則VHXV1Aaba'b'BX1a1'b1'新投影面必須垂直于原投影面體系中的某一投影面以構(gòu)成新的相互垂直的新投影面體系

新投影面必須與空間幾何元素處于有利于解題的位置X1aa'axAVHXV1ax1a1'XVHa'aaxX1HV1a1'ax1點(diǎn)到H面之距二、點(diǎn)的投影變換規(guī)律點(diǎn)的投影變換規(guī)律

在新投影面體系中，點(diǎn)的新投影和不變投影的連線必須垂直于新投影軸。

新投影到新軸之距=被更換的舊投影到舊投影軸之距X1HV1a1'ax1XVHa'aax舊投影不變投影新投影新投影軸XVHa'a點(diǎn)的二次換面X1X2HV1V1H2a1'a2注意:必須依次更換投影面三、四個(gè)基本問(wèn)題將一般位置直線變換成投影面平行線求AB實(shí)長(zhǎng)及對(duì)H面傾角

X1a1'b1'

實(shí)長(zhǎng)HV1a'b'abOVHX空間分析當(dāng)AB為新投影面的平行線時(shí)，其投影直接反映實(shí)長(zhǎng)更換哪個(gè)投影面？V要求（與H面傾角），則必須保留H面而使AB平行V1如何確定X1軸的方向X1aba1b1V1H投影分析X1//ab一次換面例可以將一般位置直線變換為投影面平行線，從而求出直線的實(shí)長(zhǎng)以及直線與不變投影面之間的夾角。將一般位置直線投影面垂直線更換一次投影面不能實(shí)現(xiàn)PXX1BabP1b1a1P2a2b2A將一般位置直線變換成投影面垂直線VHV1a1'H2空間分析將投影面平行線更換一次投影面投影面垂直線兩次換面1、將一般位置直線投影面平行線２、將投影面平行線投影面垂直線X1X2Baba'b'b1'a2b2AXX1X2a2

b2a1'b1'作圖HV1V1H2將一般位置直線投影面平行線將投影面平行線投影面垂直線Xaba'b'HVVHXX1X2Baba'b'V1b1a1H2a2b2A新投影軸方向的確定X1//abX2

a1b1關(guān)鍵a'b'k'kabXVH過(guò)點(diǎn)K作直線與AB垂直相交并求其實(shí)長(zhǎng)X1b1'k1'X2l1'll'X1//abk1l1//X2HV1V1H2空間分析在什么情況下所求線段的投影直接反映其實(shí)長(zhǎng)?ABKLPablkABPKL//P如何將AB變換成投影面垂直線？//a1'求點(diǎn)K到直線AB之距離，并求垂足。投影分析如何確定新投影軸的方向?qū)B變換成投影面平行線將AB變換成投影面垂直線如何返回原投影面體系A(chǔ)BKLPablkX2a1b1a2b2l2k2例一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？

a

b

c

abcdVHABCDX

d

把一般位置平面變換成投影面垂直面如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。V1X1c1b1a1

d1空間分析：在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一次變換？思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！必須使平面內(nèi)某一直線成為該投影面的垂直線取平面內(nèi)的投影面平行線X1X1方向如何確定X1

bmm'mc1'HV1a'b'c'bacXVH一次換面

a1'b1'將一般位置平面變換成投影面垂直面a'b'c'bacXVH將一般位置平面變換成投影面平行面求ABC實(shí)形空間分析平面相對(duì)于投影面處于何種位置時(shí)其投影直接反映實(shí)形投影面平行面先將平面變換成投影面垂直面X1HV1a1'a2b1'b2c1'c2X2V1H21'1X1

b1再將平面變換成投影面平行面X2//c1'b1'a1'實(shí)形兩次換面例b

a

abcd●c

例：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長(zhǎng)度為MN，且AB為水平線，求CD及MN的投影。MN●m

●d

●a1

≡b1

≡m1

●n1

●c1

●d1

●n空間及投影分析：VHXHV1X1圓半徑=MN●n

●m當(dāng)直線AB垂直于投影面時(shí)，MN平行于投影面，這時(shí)它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作圖：請(qǐng)注意各點(diǎn)的投影如何返回？求m點(diǎn)是難點(diǎn)。..空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時(shí)，其投影的夾角才反映實(shí)大（60°），因此需將AB與C點(diǎn)所確定的平面變換成投影面平行面。例:過(guò)C點(diǎn)作直線CD與AB相交成60o角。d

X1HV1X2V1H2ab

a

c

b

XVHc作圖：c2●●●c1

●a1

b1

●a2●d2●d●b2●

幾個(gè)解？?jī)蓚€(gè)解！已知點(diǎn)C是等邊三角形的頂點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在直線AB上，求等邊三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D點(diǎn)的投影如何返回？..H2V1X2HV1X1c

d

b

a

dacb●d1

●c1

●a1

●d2●b1

c2●●a2≡

b2θVHXθ例：求平面ABC和ABD的兩面角?？臻g及投影分析：由幾何定理知：兩面角為兩平面同時(shí)與第三平面垂直相交時(shí)所得兩交線之間的夾角。在投影圖中,兩平面的交線垂直于投影面時(shí)，則兩平面垂直于該投影面，它們的投影積聚成直線，直線間的夾角為所求。..本章主要介紹了投影變換的一種常用方法——換面法點(diǎn)的變換規(guī)律是換面法的作圖基礎(chǔ)，必需熟練掌握。3.4本章內(nèi)容總結(jié)選擇新投影面的原則四個(gè)基本問(wèn)題是解題的基本作圖方法。應(yīng)熟練掌握。換面法的關(guān)鍵是要注意新投影面的選擇條件，即必須使新投影面與某一原投影面保持垂直關(guān)系,同時(shí)又有利于解題。換面法的四個(gè)基本問(wèn)題：

2.把一般位置直線變成投影面垂直線1.把一般位置直線變成投影面平行線3.把一般位置平面變成投影面垂直面4.把一般位置平面變成投影面平行面變換一次投影面變換一次投影面變換兩次投影面變換兩次投影面需先在面內(nèi)作一條投影面平行線解題思路：采用反推法空間分析建立解題結(jié)果模型由結(jié)果反推解題過(guò)程根據(jù)要求得到的結(jié)果，確定出有關(guān)幾何元素對(duì)新投影面應(yīng)處于什么樣的特殊位置（垂直或平行），據(jù)此選擇正確的解題思路與方法。在具體作圖過(guò)程中，要注意新投影與原投影在變換前后的關(guān)系，既要在新投影體系中正確無(wú)誤地求得結(jié)果，又能將結(jié)果返回到原投影體系中去。例：求已知直線與平面的夾角的實(shí)際大小。m’n’nma'c'b’bca解題過(guò)程分析：空間分析建立解題結(jié)果模型由結(jié)果反推解題過(guò)程當(dāng)直線MN平行于某一投影面，且平面ABC同時(shí)垂直該平面時(shí)，即可得到

p3MNm3n3

ABCa3b3c3解題過(guò)程：將一般位置平面ABC變換成投影面平行面將一般位置直線MN變換成投影面平行線兩次變換一次變換三次變換例（6-19）：求已知直線與平面的夾角的實(shí)際大小。m’n’nma'c'b’bcaX1HV1a'

1b'

1c'

1m'

1n'

1X2V1H2a2b2c2m2n2X3H2V3a'

3b'

3c'

3m'

3n'

3θ.例（6-17）：求兩異面直線的距離。a'c'b'abcdd'OVHHX1V1a1

b1

c1

d1

V1H2

X2c2d2a2b2m2n2n1

m1

m2n2為距離實(shí)長(zhǎng)。m1的位置？MN為何種位置線？空間分析：只需將其中的一條直線變換為投影面垂直線即可。繼續(xù)，返回到原投影！XMN為P2的平行線！m1n1//X2軸。P2CABNMa2b2c2m2d2n2D.需要幾次變換？?jī)纱巫儞Qmnn'm'..例過(guò)點(diǎn)A作直線，令它與H面夾角為450，并垂直于線段BC?？臻g分析過(guò)點(diǎn)A與H面的夾角為450的直線的軌跡是：以A為頂，過(guò)A的鉛垂線為軸線的圓錐面。過(guò)點(diǎn)A與直線BC垂直的直線的軌跡是：過(guò)點(diǎn)A垂直于直線BC的垂面P。a

b

c

abcOX450交線即為所求作圖步驟1、作出圓錐面的兩面投影BC的垂面如何作出？將BC變換為投影面平行線，則垂面為投影面垂直面。2、保持H面不變，將直線BC變換為投影面平行面。X1HV1b1

c1

a1

PV1m1(n1)3、過(guò)點(diǎn)A作直線BC的