昆明理工大學(xué)材料力學(xué)第八章-桿件的扭轉(zhuǎn)課件

材料力學(xué)材料力學(xué)第八章桿件的扭轉(zhuǎn)§8-1扭轉(zhuǎn)的概念§8-2軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖§8-3切應(yīng)力互等定理·剪切胡克定律§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件§8-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件§8-6矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)第八章桿件的扭轉(zhuǎn)§8-1扭轉(zhuǎn)的概念§8-2軸的外力偶矩§8-1扭轉(zhuǎn)的概念實(shí)例1對(duì)稱扳手?jǐn)Q緊螺帽§8-1扭轉(zhuǎn)的概念實(shí)例1對(duì)稱扳手?jǐn)Q緊螺帽實(shí)例2汽車傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸實(shí)例2汽車傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸實(shí)例3實(shí)例3昆明理工大學(xué)材料力學(xué)第八章-桿件的扭轉(zhuǎn)課件MeMe

受力特點(diǎn):

受到一對(duì)等大、反向、在垂直于軸線平面內(nèi)的力偶作用。扭轉(zhuǎn)的概念MeMe受力特點(diǎn):扭轉(zhuǎn)的概念變形特點(diǎn):桿件任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，軸線不變。●概念:①兩個(gè)橫截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角稱為扭轉(zhuǎn)角——

；②縱向線傾斜的角度，即為切應(yīng)變(或稱角應(yīng)變)；③軸——承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件。MeMe

變形特點(diǎn):●概念:MeMe§8-2軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖

一、外力偶矩的計(jì)算1.力偶作用§8-2軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖一、外力偶矩的計(jì)算1切線方向的力F

產(chǎn)生力偶矩Me=FR皮帶的拉力F1和F2

產(chǎn)生力偶矩。若

F2>F1則

Me=(F2-F1)D/22.皮帶輪或鏈條切線方向的力F產(chǎn)生力偶矩皮帶的拉力F1和F2產(chǎn)生力偶作用在齒輪上的切向力產(chǎn)生力偶矩Me=FtR3.齒輪作用在齒輪上的切向力產(chǎn)生力偶矩Me=FtR3.齒輪功率P(kW

或HP)標(biāo)示牌顯示旋轉(zhuǎn)速度n(r/min)4.由轉(zhuǎn)速和功率計(jì)算外力偶矩功率P(kW或HP)標(biāo)示牌顯示旋轉(zhuǎn)速度n(r/mnn

二、扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力1.扭矩MeMeMeTx扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力：橫截面內(nèi)的一個(gè)力偶矩，稱為扭矩。nn

求n-n橫截面上的內(nèi)力？nn二、扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力1.扭矩MeMeMeTx扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力：nkkMeTkx

求k-k橫截面上的內(nèi)力？MeMekk

比較n-n與k-k橫截面上的內(nèi)力？MeMennnnMeTxkkMeTkx求k-k橫截面上的內(nèi)力？MeMekk比較n扭矩T的正負(fù)規(guī)定:++按右手螺旋法則，扭矩的矢量與截面的外法線重合，扭矩為正，反之為負(fù)。扭矩T的正負(fù)規(guī)定:++按右手螺旋法則，扭矩的矢量與截面的用“設(shè)正法”求扭矩:kkMeTkx

求k-k橫截面上的扭矩？MeMekk用“設(shè)正法”求扭矩:kkMeTkx求k-k橫截面上的扭矩？2.扭矩圖用坐標(biāo)(x,T)來(lái)表示沿軸線方向的扭矩變化。

x表示橫截面的位置。T表示扭矩的大小。2.扭矩圖用坐標(biāo)(x,T)來(lái)表示沿軸線方向的扭矩變化。例1.

傳動(dòng)軸如圖所示，已知：轉(zhuǎn)速n=300r/min；主動(dòng)輪功率P1=500kW，

從動(dòng)輪功率分別為P2=150kW，

P3=150kW，

P4=200kW。

求各段的扭矩并畫(huà)出軸的扭矩圖。

M1

M2

M3

M4

BCAD例1.傳動(dòng)軸如圖所示，已知：轉(zhuǎn)速n=300r/min（1）計(jì)算各傳動(dòng)輪所受的外力偶矩解:M1

M2

M3

M4

BCAD注：任意兩外力偶矩之間各截面扭矩相同。（1）計(jì)算各傳動(dòng)輪所受的外力偶矩解:M1M2M3M4（2）計(jì)算各段上的扭矩11M2BxT1x33DT3M4

112233BM2

CM3

22xT2M1

M2

M3

M4

BCAD（2）計(jì)算各段上的扭矩11M2BxT1x33DT3M411（3）畫(huà)扭矩圖Tmax=9.56kN·m,位于CA段上。4.789.566.37T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCAD（3）畫(huà)扭矩圖Tmax=9.56kN·m,位于C●由外力偶矩直接求扭矩的法則：任意橫截面上的扭矩等于截面一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和。（看外力偶矩的正投影，有向上和向下之分。）M1

M2

M3

M4

BCAD

左邊向上，右邊向下取“+”，反之取“－”。●由外力偶矩直接求扭矩的法則：（看外力偶矩的正投影，有向上●主動(dòng)輪M1與從動(dòng)論M4互換位置，畫(huà)扭矩圖。Tmax=15.9kN·m,位于AD段上。4.789.5615.9T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCAD●主動(dòng)輪M1與從動(dòng)論M4互換位置，畫(huà)扭矩圖。Tmax=4.789.5615.9T(kN·m)M1

M2

M3

M4

BCADM1

M2

M3

M4

BCAD4.789.566.37T(kN·m)比較傳動(dòng)輪的位置的不同安排，哪一種合理？Tmax=15.9kN·mTmax=9.56kN·m4.789.5615.9T(kN·m)M1M2M3M●主動(dòng)輪與從動(dòng)論位置的合理安排：主動(dòng)輪放在從動(dòng)論之間，并盡量使兩邊從動(dòng)論所傳遞的外力偶矩相等。●主動(dòng)輪與從動(dòng)論位置的合理安排：主動(dòng)輪放在例2.

軸受力如圖所示，畫(huà)出軸的扭矩圖。

CMe=2mamABa2am—分布力偶矩單位：kN·m/m分布力偶矩作用的段，扭矩圖是斜直線。1122x例2.軸受力如圖所示，畫(huà)出軸的扭矩圖。一、

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)R0tR0—平均半徑t

(或δ)—筒壁厚度薄壁：R0/t≥

101.薄壁圓筒lMeMe11任取的1-1橫截面上的扭矩可求。§8-3切應(yīng)力互等定理·剪切胡克定律一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)R0tR0—平均半徑t(或δ)—筒壁厚R0tMeMe11Me11T求1-1橫截面上的扭矩？R0tMeMe11Me11T求1-1橫截面上的扭矩？(1)圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；(2)圓周線的大小和間距不變；(3)各縱向線傾斜同一角度；(4)矩形網(wǎng)格變?yōu)槠叫兴倪呅?。變形現(xiàn)象：近似認(rèn)為管內(nèi)變形與管表面變形相同2.實(shí)驗(yàn)：CˊDˊg微正六面體(1)圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；(2)圓周線的大小和間距不變；(微體只產(chǎn)生剪切變形。沿圓周方向所有微體的剪切變形相同

結(jié)論：

橫截面上只存在切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力?？v向線傾斜的角度γ

就是切應(yīng)變，是由切應(yīng)力引起的。CˊDˊg微體只產(chǎn)生剪切變形。沿圓周方向所有微體的剪切變形相同結(jié)論：

3.切應(yīng)力的方向：切應(yīng)力的方向是與半徑垂直，

并與扭矩繞向一致。

TT3.切應(yīng)力的方向：切應(yīng)力的方向是與半徑垂直，

4.切應(yīng)力的計(jì)算：①因?yàn)楸诤鼙?，所以認(rèn)為沿壁厚方向切應(yīng)力均勻分布。T

R0切應(yīng)力的分布規(guī)律4.切應(yīng)力的計(jì)算：TR0切應(yīng)力的分布規(guī)律橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的合力為一力偶矩，此力偶矩就是扭矩。T

R0②切應(yīng)力的大小橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的合力為一力偶矩，此力偶矩二、

切應(yīng)力互等定理從圓筒上取出一微正六面體

′

′

dxdydxdytTMe—切應(yīng)力互等定理MeMet二、切應(yīng)力互等定理從圓筒上取出一微正六面體′′切應(yīng)力互等定理:

在相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且大小相等，并都垂直于兩個(gè)平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。

′

′

dxdyt切應(yīng)力互等定理:在相互垂直的兩個(gè)平面上，純剪切應(yīng)力狀態(tài)–—單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切

應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。

′

純剪切應(yīng)力狀態(tài)–—單元體的四個(gè)側(cè)面上只有切 思考已知單元體上、下兩個(gè)面上的切應(yīng)力，以下各圖中所畫(huà)的其他面上的切應(yīng)力，哪個(gè)圖是正確的？A

B

C

D思考已知單元體上、下兩個(gè)面上的切應(yīng)力，以下各圖中所畫(huà)的其他面三、

剪切胡克定理g—切應(yīng)變MeMe

用一低碳鋼所做的圓軸做扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，在兩端截面上加力偶矩直至扭斷。γ

‵′‵′‵′‵′‵′‵′‵′‵′三、剪切胡克定理g—切應(yīng)變MeMe用一低碳鋼所做的圓軸

γ

b

s

p

p—剪切比例極限

s—剪切屈服極限

b—剪切強(qiáng)度極限剪切時(shí)的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線在剪切比例極限前，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。

—剪切胡克定律γbspp—剪切比例極限s—剪切屈服極限b—剪剪切胡克定律G—剪切彈性模量。

它與τ具有相同的量綱。常用單位：GPa

。G,E

和

都是材料的彈性常量，它們中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，關(guān)系是(在線彈性范圍內(nèi))剪切胡克定律G—剪切彈性模量。G,E§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件

一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力

rMeMe(1)圓周線繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；(2)圓周線大小和間距不變；(4)縱向線傾斜同一角度

；(5)矩形變?yōu)榱庑?。變形現(xiàn)象：實(shí)驗(yàn)：

g—切應(yīng)變(3)徑向直線仍然保持為直線；§8-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力·強(qiáng)度條件一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，大小和形狀不變，半徑仍保持為直線，任意兩橫截面間的距離保持不變，但繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)?！衿矫娼孛婕僭O(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，分析論證平面保持平面分析論證平面保持平面

rMeMe●結(jié)論：1.橫截面上不產(chǎn)生正應(yīng)力；

(任意兩橫截面間的距離保持不變。)2.橫截面上只產(chǎn)生剪應(yīng)力；(縱向線傾斜的角度

就是切應(yīng)變，由切應(yīng)力引起。)3.剪應(yīng)力的分布不是均勻分布。rMeMe●結(jié)論：1.橫截面上不產(chǎn)生正應(yīng)力；理論分析與拉壓桿問(wèn)題相比，圓軸扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的載荷和變形都要復(fù)雜一些，因此理論分析必須包含三類條件。三類條件變形幾何關(guān)系物理關(guān)系

靜力關(guān)系理論分析與拉壓桿問(wèn)題相比，圓軸扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的載荷和變形都要復(fù)雜一1.變形幾何關(guān)系橫截面周界上一點(diǎn)的切應(yīng)變距圓心為

處一點(diǎn)的切應(yīng)變1.變形幾何關(guān)系橫截面周界上一點(diǎn)的切應(yīng)變距圓心為處一點(diǎn)變形幾何關(guān)系：——扭轉(zhuǎn)角

沿軸線的變化率；

當(dāng)外力一定時(shí)是一常量。上式表明:

橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。距圓心相同的點(diǎn)切應(yīng)變相同，圓心處為零，在外表面達(dá)到最大值。變形幾何關(guān)系：——扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率； 當(dāng)外力一定時(shí)2.物理關(guān)系

O說(shuō)明：橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力與它到圓心的距離

成正比，方向垂直于半徑，并與扭矩繞向一致。剪切胡克定律2.物理關(guān)系O說(shuō)明：橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力與它到圓心●切應(yīng)力的分布規(guī)律：①實(shí)心圓截面②空心圓截面T

max

minT●切應(yīng)力的分布規(guī)律：①實(shí)心圓截面②空心圓截面Tmaxmi切應(yīng)力互等定理T切應(yīng)力互等定理T3.靜力關(guān)系——極慣性矩基本變形公式Tr

dA3.靜力關(guān)系——極慣性矩基本變形公式TrdA●切應(yīng)力的計(jì)算式：——

扭轉(zhuǎn)截面模量(抗扭矩）①等直圓截面、圓環(huán)截面桿；②應(yīng)力不超過(guò)剪切比例極限。注意：公式的適用范圍T●切應(yīng)力的計(jì)算式：——扭轉(zhuǎn)截面模量(抗扭矩）①等直圓截面D空心圓截面OdrrDdrrOd

二、Ip和Wt的計(jì)算實(shí)心圓截面D空心圓截面OdrrDdrrOd二、Ip和Wt的計(jì)算實(shí)心圓

三、強(qiáng)度條件等直圓截面軸強(qiáng)度分析的三類問(wèn)題：1.校核強(qiáng)度2.設(shè)計(jì)橫截面直徑3.計(jì)算許用扭矩階梯圓截面軸三、強(qiáng)度條件等直圓截面軸強(qiáng)度分析的三類問(wèn)題：1.校核強(qiáng)度

四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象

低碳鋼:沿橫截面斷裂，由切應(yīng)力引起。

鑄鐵:沿與軸線成45°角左右的斜截面斷裂，由拉

應(yīng)力引起，因?yàn)榇诵苯孛嫔嫌凶畲蟮睦瓚?yīng)力。MeMeMeMe四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象低碳鋼:沿橫截面斷裂，由切應(yīng)力引起?！?-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形1.相對(duì)扭轉(zhuǎn)角jdjgD'TO1O2ababdxDAT

相距為dx的兩橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為dj§8-5圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形·剛度條件一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形1.

rMeMel

相距為l的兩端橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j

：對(duì)于僅在兩端受外力偶矩作用的圓截面軸其中GIp—抗扭剛度。（rad）（°）或者rMeMel相距為l的兩端橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j：●階梯軸AMe3Me1BCMe2求A、C兩橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角？注意：Ti要代入符號(hào)計(jì)算。●階梯軸AMe3Me1BCMe2求A、C兩橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)2.單位扭轉(zhuǎn)角

′單位長(zhǎng)度上的扭轉(zhuǎn)角。（rad/m)（°/m)或者2.單位扭轉(zhuǎn)角′單位長(zhǎng)度上的扭轉(zhuǎn)角。（rad/m)二、剛度條件1.對(duì)于等直圓軸許可單位扭轉(zhuǎn)角，單位:

/m2.對(duì)于階梯軸二、剛度條件1.對(duì)于等直圓軸許可單位扭轉(zhuǎn)角，單位:對(duì)于精密機(jī)械上的軸對(duì)于一般傳動(dòng)軸0.5m2mABC思考AC軸是否滿足剛度要求？對(duì)于精密機(jī)械上的軸對(duì)于一般傳動(dòng)軸0.5m2mABC思考AC軸一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特征翹曲——桿橫截面外周線改變?cè)瓉?lái)的形狀，且橫

截面將不再保持平面?！?-6矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形特征翹曲——桿橫截面外周線改變?cè)瓉?lái)自由扭轉(zhuǎn)—兩端受外力偶作用時(shí)，端面可以自由翹曲。

也稱為純扭轉(zhuǎn)?！穹菆A截面桿的扭轉(zhuǎn)分類：

相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上只有切應(yīng)力而沒(méi)有正應(yīng)力。MeMe自由扭轉(zhuǎn)—兩端受外力偶作用時(shí)，端面可以自由翹曲。 約束轉(zhuǎn)動(dòng)—端面有約束不能自由翹曲。相鄰兩橫截

面的翹曲程度不同，此時(shí)橫截面上有切

應(yīng)力，還有正應(yīng)力。MeMe非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題只能用彈性力學(xué)的方法求解。Me約束轉(zhuǎn)動(dòng)—端面有約束不能自由翹曲。相鄰兩橫截 二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面的切應(yīng)力分布圖：①橫截面上周邊各點(diǎn)處的切應(yīng)力方向必與周邊相切，且組成切應(yīng)力。②橫截面的四個(gè)角點(diǎn)和形心處切應(yīng)力等于零。③最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊的中點(diǎn)，短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力

二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面的切應(yīng)力分布圖：①橫截面上周例3.

如圖所示，一直徑為d的實(shí)心圓軸和另一外徑為內(nèi)徑2倍的空心圓軸（外徑為d1）受相同的扭矩T作用，為使兩根軸的最大切應(yīng)力相等，問(wèn)空心圓軸截面的面積應(yīng)為實(shí)心圓軸截面面積的百分之多少？Tdd1d1/2T例3.如圖所示，一直徑為d的實(shí)心圓軸和另一外徑為1.實(shí)心圓軸的最大切應(yīng)力2.空心圓軸的最大切應(yīng)力解:Tdd1d1/2T1.實(shí)心圓軸的最大切應(yīng)力2.空心圓軸的最大切應(yīng)力解:Td欲使即解得空心圓軸截面面積兩圓軸截面面積之比

在同等扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度的條件下，空心圓軸截面面積只有實(shí)心圓軸截面面積的78.18%，所以空心圓軸較為合理。欲使即解得空心圓軸截面面積兩圓軸截面面積之比例4.如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓軸受扭矩T作用。外套管的外半徑為r1，切變模量為G1，內(nèi)圓軸的半徑為r2，切變模量為G2，設(shè)兩層材料的界面緊密結(jié)合不會(huì)相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，求兩種材料橫截面上的最大切應(yīng)力。lr1r2TT例4.如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓軸受扭矩T作用由靜力關(guān)系解:界面不發(fā)生錯(cuò)動(dòng)由軸的變形公式（a）（b）（c）（d）將(c)式代入(b)可得lr1r2TTT1T2由靜力關(guān)系解:界面不發(fā)生錯(cuò)動(dòng)由軸的變形公式（a）（b）（c）聯(lián)立求解(a)式和(d)式可得由最大切應(yīng)力公式有其中聯(lián)立求解(a)式和(d)式可得由最大切應(yīng)力公式有其中例5.如圖所示傳動(dòng)軸，已知其轉(zhuǎn)速n=200r/min，主動(dòng)輪2傳遞的功率為N2=80馬力，其余從動(dòng)輪傳遞的功率分別為N1=25馬力、N3=15馬力、N4=30馬力及N5=10馬力。若材料的許用切應(yīng)力[

]=20MPa，單位長(zhǎng)度容許扭轉(zhuǎn)角[′]=0.5o/m，切變模量G=82GPa，試確定此軸的直徑。12345Me1Me2Me3Me4Me5ⅠⅡⅢⅣ例5.如圖所示傳動(dòng)軸，已知其轉(zhuǎn)速n=200r/mi1.計(jì)算外力偶矩解:n=200r/min，N1=25馬力、N2=80馬力、N3=15馬力、N4=30馬力、N5=10馬力1.計(jì)算外力偶矩解:n=200r/min，N1=25馬力123450.881.931.40.352.畫(huà)扭矩圖，找出最大扭矩。位于II段上T(kN·m)Me1=0.88Me2=2.81Me3=0.53Me4=1.05Me5=0.3512345ⅠⅡⅢⅣ123450.881.931.40.352.畫(huà)扭矩圖，找3.根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸的直徑即圓軸的直徑不得小于78.9mm。

根據(jù)強(qiáng)度條件和剛度條件，圓軸的最小直徑為78.9mm，取79.0mm。4.校核其剛度：3.根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸的直徑即圓軸的直徑不得小于78.9m3.根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸的直徑即圓軸的直徑不得小于78.9mm。

根據(jù)強(qiáng)度條件和剛度條件，圓軸的最小直徑為78.9mm，取79.0mm。4.根據(jù)剛度條件設(shè)計(jì)軸的直徑3.根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸的直徑即圓軸的直徑不得小于78.9m例6.已知：P＝7.5kW,n=100r/min,

空心圓軸的內(nèi)外徑之比

=0.5。許用切應(yīng)力＝40MPa。求:實(shí)心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。例6.已知：P＝7.5kW,n=100r/min,解：PT=Me=9549n7.5=9549

100T=716.2N·m

max=Wt116TT=

d13=40MPa=45mm