射影幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用

其中(x,y)與(x',y')為任一對對應(yīng)點(diǎn)P,P'的坐標(biāo),矩陣滿足|A|

0,稱為仿射變換

的矩陣.仿射變換明顯，橢圓在仿射變換下可變換為圓，平行四邊形在仿射變換下可變換為正方形第一頁第二頁，共25頁。仿射變換的基本性質(zhì):(1)保持直線的平行線；(2)保持同素性和結(jié)合性；(3)保持共線三點(diǎn)的單比,從而保持兩平行線段的比值不變.仿射變換定理：兩個三角形的面積之比是仿射不變量；推論1：兩個多邊形的面積之比是仿射不變量；推論2：兩個封閉圖形的面積之比是仿射不變量；第二頁第三頁，共25頁。橢圓變?yōu)閳A的變換不是唯一的，并且在這些變換下，橢圓中原有直線變換為直線，原點(diǎn)變換為原點(diǎn)，切線變換為切線，直線與直線之間的關(guān)系保持不變（平行直線變換為平行直線，相交直線變換為相交直線），點(diǎn)與線的關(guān)系保持不變，同一直線上的兩條線段之比不變（單比不變），從而線段的中點(diǎn)保持不變，面積之比在變換下不變，兩直線斜率只比不變，等等；但是直線的傾斜角、斜率，兩點(diǎn)間的距離，兩直線間的夾角等則發(fā)生改變仿射變換第三頁第四頁，共25頁。仿射變換例1在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上，且EF//BD,求證：第四頁第五頁，共25頁。仿射變換

例2求橢圓的面積第五頁第六頁，共25頁。仿射變換

半徑為a的圓的內(nèi)接三角形的面積的最大值是多少呢？

橢圓的內(nèi)接四邊形面積的最大值是多少呢？一般的，橢圓的內(nèi)接n邊形的面積的最大值多少呢？

例3求橢圓內(nèi)接△ABC的面積的最大值思考一思考二一般的，橢圓的外切n邊形的面積的最小值是多少呢？第六頁第七頁，共25頁。橢圓變?yōu)閳A的變換不是唯一的，并且在這些變換下，橢圓中原有直線變換為直線，原點(diǎn)變換為原點(diǎn)，切線變換為切線，直線與直線之間的關(guān)系保持不變（平行直線變換為平行直線，相交直線變換為相交直線），點(diǎn)與線的關(guān)系保持不變，同一直線上的兩條線段之比不變（單比不變），面積之比在變換下不變，兩直線斜率只比不變，等等；但是直線的傾斜角、斜率，兩點(diǎn)間的距離，兩直線間的夾角等則發(fā)生改變仿射變換第七頁第八頁，共25頁。仿射變換例5設(shè)A、B是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，C是橢圓的中心，橢圓在其上的一點(diǎn)P處的切線與點(diǎn)A處的切線相交于點(diǎn)Y，則CY//BP第八頁第九頁，共25頁。仿射變換例4求證：橢圓的任意一組平行弦的中點(diǎn)的軌跡是一條經(jīng)過中心的線段，并且在這線段的兩個端點(diǎn)處的切線平行于這些弦第九頁第十頁，共25頁。仿射變換例6（2009年遼寧卷數(shù)學(xué)理第20題）已知橢圓的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,3/2），右焦點(diǎn)為F，設(shè)M、N是橢圓上的兩個動點(diǎn)，如果直線AM的斜率與AN的斜率互為相反數(shù)，證明直線MN的斜率為定值，并求出這個定值第十頁第十一頁，共25頁。仿射變換第十一頁第十二頁，共25頁。目錄仿射變換交比的應(yīng)用Desargues透視定理123提綱第十二頁第十三頁，共25頁。交比的初等幾何意義

注：如果P4=P

,而P1,P2,P3為通常點(diǎn),則可合理地規(guī)定：于是有,(P1P2,P3P

)=(P1P2P3)為前三個通常點(diǎn)的簡單比.交比第十三頁第十四頁，共25頁。

定理1

平面上五點(diǎn)(其中無三點(diǎn)共線)唯一確定一條非退化二階曲線。

定理2二階曲線上四個定點(diǎn)與其上任意一點(diǎn)連線所得四直線的交比為定值。

注：定理2對于解析幾何中的各種二次曲線都適用。二次曲線的射影定義第十四頁第十五頁，共25頁。

例7過圓的弦AB的中點(diǎn)O任作另外兩弦CE,DF，連結(jié)EF,CD交AB于G,H。求證：GO=OH。(蝴蝶定理)交比第十五頁第十六頁，共25頁。交比

如圖：AD平分BC于點(diǎn)O，即OB=OD，過O的兩條直線EF和GH，與四邊交于E、F、G、H，連接GF和EH，分別交BD于點(diǎn)I、J則有OI=OJ

橢圓的長軸與x軸平行，短軸在y軸上，中心在y軸的正半軸上,過原點(diǎn)的兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)Ｃ,D和點(diǎn)Ｇ,Ｈ,設(shè)CH交X軸于點(diǎn)P，GD交X軸于點(diǎn)Q,則有OP=OQ第十六頁第十七頁，共25頁。

例7過圓的弦AB的中點(diǎn)O任作另外兩弦CE,DF，連結(jié)EF,CD交AB于G,H。求證：GO=OH。(蝴蝶定理)交比第十七頁第十八頁，共25頁。

例7過圓的弦AB的中點(diǎn)O任作另外兩弦CE,DF，連結(jié)EF,CD交AB于G,H。求證：GO=OH。(蝴蝶定理)

證明因?yàn)锳,F,C,B為圓上四定點(diǎn),則由二次曲線的定義，有以直線AB截這兩個線束，得由交比的初等幾何表示式，有所以同理可證，G'O=OH'.交比第十八頁第十九頁，共25頁。調(diào)和比是最重要的交比！對于(P1P2,P3P4)=–1,則稱點(diǎn)組為調(diào)和點(diǎn)組此時,若P4=P

,而P1,P2,P3為通常點(diǎn),則這表示P3為P1P2的中點(diǎn).

定理

設(shè)P1,P2,P為共線的通常點(diǎn)，P

為此直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則P為P1P2的中點(diǎn)交比利用初等幾何意義,有第十九頁第二十頁，共25頁。定理

在完全四點(diǎn)形的每條邊上有一個調(diào)和點(diǎn)組，其中一對為頂點(diǎn)，另一對中一個為對邊點(diǎn)，一個為該邊與對邊三點(diǎn)形的邊的交點(diǎn)。比如在邊AB上，有完全四點(diǎn)形的調(diào)和性比如在邊CD上，有考察完全四點(diǎn)形ABCD第二十頁第二十一頁，共25頁。

例8證明：梯形兩腰延長線的交點(diǎn)與對角線的交點(diǎn)連線平分上下底。幾何證明題

證明如圖，ABCD為梯形，AD//BC,E,F分別為兩腰和對角線的交點(diǎn)。EF交AD,BC于P,Q。只要證明P,Q分別是AD,BC的中點(diǎn)?？疾焱耆狞c(diǎn)形ABCD。設(shè)AD

BC=G

，由上述定理，有(BC,QG

)=–1，從而得出Q為BC的中點(diǎn)。同理有，(AD,PG

)=–1，所以P為AD的中點(diǎn)。完全四點(diǎn)形的調(diào)和性第二十一頁第二十二頁，共25頁。目錄仿射變換交比的應(yīng)用Desargues透視定理123提綱第二十二頁第二十三頁，共25頁。2、Desargues透視定理Desargue