一類含不確定參數的系統(tǒng)輸出反饋控制

一類含不確定參數的系統(tǒng)輸出反饋控制

1微分平滑算法非確定非線性系統(tǒng)的控制問題是當前控制理論的研究熱點。近年來的結果表明，當系統(tǒng)滿足一定的鏈式結構（基于單元鏈的多個非線性系統(tǒng)的形狀）時，可以使用后繼維壓設計方法（后向拉伸）來逐步構建理想的lyapunov函數。利用基于微觀幾何的非線性系統(tǒng)理論，可以確定系統(tǒng)的本質上是否有上述鏈式結構的幾何條件。同時，給出相應的微分單元進行坐標變換，使系統(tǒng)數學模型成為一種顯示的鏈式結構。文獻首次介紹了自適應差分成像的設計方法，并利用該方法解決了整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性和跟蹤問題。在文獻中，我們提供了各種非線性對象的控制問題，并從多個方面展示了該方法的靈活性。對于不能完全反饋線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)，通過引入適當的微積分布，系統(tǒng)可以動態(tài)擴展，提高相對平坦度，使系統(tǒng)更多地線性化。另一方面，與線性跟蹤相關的指定信號存在誤差，在這種情況下，通常需要通過適當的積分或動態(tài)擴展來使跟蹤達到令人滿意的效果。在這項工作中，我們將微分平滑算法與后向拉伸方法相結合，以處理包含不確定參數和有邊界干擾的嚴格反饋系統(tǒng)輸出的自適應控制。2主題描述2.1輸出反饋控制考慮如下不確定非線性系統(tǒng):{˙xi=xi+1+Δi(x1,?,xi),1≤i≤n-1,˙xn=g(x1,?,xn)u+Δn(x1,?,xn),y=x1.(1)其中:u,y∈R分別為系統(tǒng)的輸入輸出;Δi是系統(tǒng)未知非線性項,光滑函數g(g≠0)為已知的控制增益項.系統(tǒng)滿足如下假設.假設1yr為系統(tǒng)的期望輸出軌跡,y(i)r(i=1,…,n)存在且處于已知有界集上.系統(tǒng)的非線性成分僅依賴于系統(tǒng)可測輸出信號y,而且不確定因素也可僅由系統(tǒng)可測輸出y來描述.假設2非線性系統(tǒng)(1)中,未知非線性項Δi,1≤i≤n可分為兩部分,即Δi=φTiθ+δi.第1項為已知非線性函數與未知參數的線性組合的形式,其中φi為已知向量場,θ∈Rq為未知線性化參數向量,θ*為最佳逼近時的線性化參數向量,其表達式為θ*=argminθ∈Ω[supx∈S|col(φΤi(y)θ-δi)|].第2項δ為有界的未知擾動或未建模動態(tài).記col{ai}?[a1,a2,?,an]Τ?i=1,?,n.綜上所述,系統(tǒng)方程為{˙xi=xi+1+φΤi(y)θ*+δi,1≤i≤n-1,˙xn=g(y)u+φΤn(y)θ*+δn,y=x1.(2)系統(tǒng)輸出反饋控制問題可表述為:在輸出反饋條件下,閉環(huán)系統(tǒng)的輸出,按一定的精度要求跟蹤期望輸出信號yr,同時閉環(huán)系統(tǒng)的所有狀態(tài)要保證一定的穩(wěn)定性.2.2基于狀態(tài)誤差的觀測器觀測器因為系統(tǒng)(2)中僅有x1可直接測得,而反步遞推算法需要系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋.所以必須設計狀態(tài)觀測器.鑒于降維觀測器中輸出量y連同測量噪聲直接傳遞到觀測器輸出側,本文采用帶有輸出量y積分濾波功能的全維狀態(tài)觀測器.首先假定系統(tǒng)的參數向量已知θ*=[θ1,θ2,…,θq]T,選擇系統(tǒng)的增益向量β=[β1,β2,…,βn]T使由它所構成的系統(tǒng)矩陣是Hurwitz的.則觀測器系統(tǒng)方程為[˙?x1˙?x2?˙?xn-1˙?xn]=[-β110?0-β201?0????-βn-100?1-βn00?0]?[?x1?x2??xn-1?xn]+[00?01]g(y)u+[φΤ1(y)θ*φΤ2(y)θ*?φΤn-1(y)θ*φΤn(y)θ*]+[β1β2?βn-1βn]y?(3)設e=x-?x為狀態(tài)觀測誤差,則誤差狀態(tài)方程˙e=Ae+δ.由于A是Hurwitz陣,且未知擾動向量δ有界,所以狀態(tài)觀測誤差向量e有界.觀測器表達式(3)是在假定各非線性項的參數向量θ的最佳逼近已知的情況下獲得的.因此該觀測器為虛擬觀測器.3基于lyapunom的自適應控制/充放電源生長控制.反步遞推(Backstepping)方法的特點是引入虛擬控制量對系統(tǒng)進行反推控制.該方法能克服傳統(tǒng)自適應控制中的高階不確定性.本節(jié)將Backstepping方法與微分平滑自適應方法有機結合,在Lyapunov穩(wěn)定意義下,實現系統(tǒng)的輸出反饋控制.3.1虛擬控制律設計文獻中首次提出Backstepping設計方法.該方法利用虛擬控制量定義誤差向量z,誤差向量與原系統(tǒng)狀態(tài)本質上微分同胚.在每一步,構造一個Lyapunov函數,使每一狀態(tài)分量具有適當的穩(wěn)定性.令虛擬控制量αi為ˉxi,ˉθ(i)和ˉy(i)的函數,其中,ˉxi=[?x1,?,?xi]Τ,ˉθ(i)=[?θ,?θ(1),?,?θ(i)]Τ,ˉy(i)r=[yr,˙yr,?,y(i)r]Τ,根據系統(tǒng)方程(2)及系統(tǒng)狀態(tài)觀測器(3),利用Backstepping進行設計.引入如下誤差坐標:{z1=y-yr,z2=?x2-y(1)r-α1,?zn=?xn-y(n-1)r-αn-1.(4)第1步令V1=12z21+12(?θ-θ*)Τ(?θ-θ*),(5)將式(5)求導,并利用式(4)得到:˙V1=z1[x2+φΤ1θ*+δ1-y(1)r]+(?θ-θ*)˙?θ.(6)由x2=?x2+e2,其中e2為有界逼近誤差,并令,|e2+δ1|≤D,D為有界正數.則˙V1=z1[?x2+φΤ1θ*+δ1+e2-y(1)r]+(?θ-θ*)˙?θ=z1[z2+α1+φΤ1θ*+δ1+e2]+(?θ-θ*)˙?θ≤z1[z2+α1+φΤ1θ*]+ε0z21+D24ε0+(?θ-θ*)˙?θ.(7)其中ε0>0.令α1(y,θ^,yr)=-c1z1-ε0z1-φ1Τ(y)θ^,且θ^˙?τ1=φ1z1=ω1z1時,其中ω1=φ1,則有V˙1≤z1z2-c1z12+D24ε0+(θ^-θ*)Τ(θ^˙-τ1).(8)所以,當z2=0時,系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的.由于z2不等于0,在下一步我們考慮對z2進行補償.第2步令V2=12z12+12z22+12(θ^-θ*)Τ(θ^-θ*),(9)將式(9)求導,得到V˙2=z1[z2+α1+φ1Τθ*+e2+δ1]+z2[z3+α2+φ2Τθ*+β2(y-x^1)-α˙1]+(θ^-θ*)Τθ^˙≤z1z2-c1z12+D24ε0-(θ^-θ*)Τφ1z1+z2[z3+α2+φ2Τθ*+β2(y-x^1)-?α1?y(x^2+φ1Τθ*+e2+δ1)-?α1?θ^θ^˙-?α1?yry˙r]+(θ^-θ*)Τθ^˙≤z1z2-c1z12+D24ε0-(θ^-θ*)Τφ1z1+z2[z3+α2+φ2Τθ*+β2(y-x^1)-?α1?y(x^2+φ1Τθ*)-?α1?θ^θ^˙-?α1?yry˙r]+ε1[?α1?y]2z22+D24ε1+(θ^-θ*)Τθ^˙.(10)令α2(y,x^1,x^2,θ^,θ^˙,yr,y˙r)=-z1-c2z2-φ2Τθ^-β2(y-x^1)+?α1?y(x^2+φ1Τθ^)+?α1?θ^θ^˙+?α1?yry˙r-ε1[?α1?y]2z2,且θ^˙?τ2=φ1z1+φ2z2-?α1?yφ1z2=ω1z1+ω2z2-?α1?yφ1z2,其中ω2=φ2,則有V˙2≤-c1z12-c2z22+z2z3+D24ε0+D24ε1+(θ^-θ*)Τ(θ^˙-τ2),(11)當z3=0時,系統(tǒng)有界穩(wěn)定.以此類推,第i步(i=3,…,n),按照同樣方法得到系統(tǒng)的虛擬控制律和自適應律:{αi(y,xˉi,θˉ(i-1),yˉr(i-1))=-zi-1-cizi-ωiΤθ^-βi(y-x^1)+?αi-1?y(x^2+φ1Τθ^)-εi-1[?αi-1?y]2zi+∑k=1i-1(?αi-1?x^x^k+1+?αi-1?θ^(k-1)θ^(k)+?αi-1?yr(k-1)yr(k)+?αi-1?x^kβk(y-x^1)),ωi(y,xˉi,θˉ(i-1),yˉr(i-2))=φi-∑k=1i-1?αi-1?x^kφk,θ^˙?τi=∑k=1i(ωk-?αk-1?yφ1)zk.(12)其中:i=3,…,n;ci>0;α0=0.在第n步,系統(tǒng)控制律:u=(αn+yr(n))/g(y).(13)由式(4)可知,z是x^的微分同胚變換,利用各階子系統(tǒng)的虛擬控制(12)以及式(13),則有z˙=Azz+WΤ(θ*-θ^)+ΜΤ(e2+δ1).(14)其中z=[z1?zn]Τ,W=[ω1ω2-?α1?yφ1ω3-?α2?yφ1?ωn-?αn-1?yφ1],Μ=[1-?α1?y-?α2?y?-?αn-1?y],Az=[-c1-ε010?0-1-c2-ε1(?α1?y)21?00-1-c3-ε2(?α2?y)2?000-1?1000-1-cn-εn-1(?αn-1?y)2].3.2傳遞函數的計算我們注意到,虛擬控制量α是θˉ(i)的函數,即虛擬控制不但與θ^有關,還與其高階導數有關.為了引入θ^的導數項,在對θ^進行逼近過程中,引入微分平滑算法.微分平滑是在采用微分幾何理論進行精確反饋線性化過程中,在微分同胚意義上引入適當的積分,對系統(tǒng)動態(tài)擴展,以使系統(tǒng)更多分量線性化時提出的.同時,參數逼近過程中,往往需要通過適當的積分或動態(tài)擴展才能使跟蹤達到滿意得效果.微分平滑刻畫了經適當動態(tài)反饋擴展可等價于另一系統(tǒng)的特征.在這里,我們利用微分平滑是為了得到θ^的高階導數項.以實現各子系統(tǒng)的虛擬控制α.擴展后的系統(tǒng)階數較原系統(tǒng)高,但它們微分等價.具體做法是:選擇一個漸近穩(wěn)定的n-2階首一多項式g(s),設計傳遞函數G(s)=g(0)/(s+l)g(s),傳遞函數相對階為n-1,則用式(15)表示系統(tǒng)不確定參數逼近過程:θ^i=g(0)(s+l)g(s)[∑k=1n(ωk,i-?αk-1?yφ1,i)zk].(15)其中:i=1,…,q;l>0;α0=0.若(cT,Λ,b)是傳遞函數g(0)/g(s)的最小實現,即:cΤ(sΙ-Λ)b=g(0)/g(s).則微分平滑過程為{ψ˙i=∑k=1n(ωk,i-?αk-1?yφ1,i)zk-lψi,η˙i=Ληi+bψi,θ^i=cΤηi.(16)微分平滑系統(tǒng)是穩(wěn)定的,即存在正定矩陣P,滿足ΛTP+PΛ=-2I成立.系統(tǒng)(cT,Λ,b)有如下性質:cΤΛ-1b=-1,cΤΛj-1b=0,j=1,?,n-3.(17)根據式(16),(17),可得到參數估計值的各階導數:{θ^i(j)=cΤΛjηi,j=1,2,?,n-3,θ^i(n-2)=cΤΛn-2ηi+cΤΛn-3bψi,θ^i(n-1)=cΤΛn-1ηi+cΤΛn-2bψi+cΤΛn-3b[∑k=1n(ωk,i-?αk-1?yφ1,i)zk-lψi].(18)未知參數的逼近誤差為θ?=(θ*-θ^)=(θ*-ψ)-(θ^-ψ)=col{(θi*-ψi)-(θ^i-ψi)}=col{(θi*-ψi)-cΤ(ηi+Λ-1bψi)}=col{(θi*-ψi)-cΤξi},(19)其中ξi=ηi+Λ-1bψi.對于ψi(z),有如下假設:假設3非線性函數ψi(z)(i=1,…,q)具有無零漂性質,即ψi(0)=0,且滿足Lipschitz條件:|ψi(z)-ψi(z′)|≤kψ|z-z′|.(20)其中kψ為正常數.特別地,當z′=0時,|ψi(z)|≤kψ|z|≤kψ∑k=1n|zk|.(21)系統(tǒng)控制過程如圖1所示.對于形如式(2)的參數不確定的非線性系統(tǒng),設計了基于虛擬全維狀態(tài)觀測器(3)的反步遞推自適應控制器.在參數估計的過程中,引入了微分平滑算法.對系統(tǒng)進行動態(tài)擴展,擴展后的系統(tǒng),可方便地求出θ^的高階導數.引入微分平滑算法后,系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要保證,下面將對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析.3.3n、c、i設整個閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數為V(z,ξˉ,θ*-ψ)=12zΤz+12(θ*-ψ)Τ(θ*-ψ)+12∑i=1qξiΤΡξi.(22)對式(22)求導,并利用式(14),(16),(19),(21)得到:V˙=zΤz˙+(θ*-ψ)Τ(-ψ˙)+12∑i=1q(ξiΤ?Ρ?ξ˙i+ξ˙iΤ?Ρ?ξi)=-∑k=1n(ck+εk-1[?αk-1?y]2)zk2-ε0z12-zΤWΤcol{cΤξi}-12∑i=1q(|ξi|2-2ξiΤΡΛ-1b∑k=1n(ωk,i-?αk-1?yφ1,i)zk)-l∑i=1q(ξiΤΡΛ-1bψi)-12∑i=1q|ξi|2+l(θ*-ψ)Τψ+zΤΜΤ(e2+δ1)≤-∑k=1n(ck+εk-1[?αk-1?y]2)zk2-ε0z12-12∑i=1q|ξi|2+l2|θ*|2-l2|θ*-ψ|2+zΤΜΤ(e2+δ1)-12∑i=1q∑k=1n(|ξi|2n-2[(|ΡΛ-1b|+|c|)|ωk,i-?αk-1?yφ1,i|+|ΡΛ-1b|lkψ]|zk||ξi|).(23)式(23)推導過程中用到如下關系式:|zΤWΤcol{cΤξi}|≤∑i=1q∑k=1n|c||ωk,i||zk||ξi|;(24)∑i=1qξiΤΡΛ-1b∑k=1n(ωk,i-?αk-1?yφ1,i)zk≤∑i=1q∑k=1n|ΡΛ-1b||ωk,i-?αk-1?yφ1,i||zk||ξi|;(25)2(θ*-ψ)Τψ≤|θ*|2-|θ*-ψ|2.(26)若取ck=κk+n2[(|ΡΛ-1b|+|c|)|ωk-?αk-1?yφ1|+|ΡΛ-1b|lkψ]2,并利用等式∑k=1n|ωk-?αk-1?yψ1|2zk2=∑i=1q∑k=1n(ωk,i-?αk-1?yφ1,i)2zk2,(27)則有:V˙≤-∑k=1n(κk+εk-1[?αk-1?y]2)zk2-ε0z12-l2|θ*-ψ|2+l2|θ*|2+zΤΜΤ(e2+δ1)-12∑i=1q|ξi|2-12∑i=1q∑k=1n(|ξi|n-n[(|ΡΛ-1b|+|c|)|ωk,i-?αk-1?yφ1,i|+|ΡΛ-1b|lkψ]|zk|)2≤-∑k=1nκkzk2-12∑i=1q|ξi|2-∑k=2nεk-1[?αk-1?y]2zk2-ε0z12+∑k=2n|?αk-1?yzk|D+|z1|D-l2|θ*-ψ|2+l2|θ*|2≤-∑k=1nκkzk2-12∑i=1q|ξi|2-∑k=2n(εk-1?αk-1?yzk-D2εk-1)2-(ε0z1-D2ε0)2+∑k=1nD24εk-1-12|θ*-ψ|2+l2|θ*|2≤-∑k=1nκkzk2-12∑i=1q|ξi|2-l2|θ*-ψ|2+l2|θ*|2+nD24εmin.(28)其中εmin=min{ε0ε1ε2…εn-1}.現定義Ωz?{(z,ξ,θ*-ψ)|∑k=1nκkzk2+12∑i=1q|ξi|2+l2|θ*-ψ|2≤nD24εmin+l2|θ*|2}.(29)由于εmin,κ,D,l都是正常數,因此Ωz為緊集.所以,只要V在Ωz之外,就有V˙≤0.由Lyapunov定理可知z,ξ,(θ*-ψ)是有界的.且當(z,ξ,θ*-ψ)位于Ωz之外時,V˙嚴格為負.因此存在一個常數T0>0,當t>T0時系統(tǒng)狀態(tài)收斂于Ωz.根據式(29),系統(tǒng)的收斂域Ωz取決于D、θ*以及εmin,l.D與系統(tǒng)受到的不確定擾動有關,θ*與系統(tǒng)本身的性質有關.通過增大εmin和減小l的值可以縮小系統(tǒng)的收斂域.但是εmin和l還與收斂速度有關,在系統(tǒng)設計時還應綜合考慮.進一步,若令ζ=min{2κ1,?,2κn,1/λmax(Ρ)?l},其中λmax(P)為矩陣P的最大特征值,則式(28)可寫為V˙≤-ζV+l2|θ*|2+nD24εmin.(30)對于閉環(huán)系統(tǒng)Lyapunov函數(22),利用式(30),得到ddt(V?eζt)=V˙eζt+ζVeζt≤(-ζV+12|θ*|2+nD24εmin)eζt+ζVeζt=(l2|θ*|2+nD24εmin)eζt(31)對式(31)在[0,t]上積分,并用e-ζt乘以表達式的兩端,得到V(t)≤(V(0)-1ζ(l2|θ*|2+nD24εmin))e-ζt+1ζ(l2|θ*|2+nD24εmin).(32)由式(32)可知,若系統(tǒng)的初值有界,即V(0)有界,則V(t)有界.且當t足夠大時,系統(tǒng)的上界與V(0)無關,而僅取決于式(32)右端第2項.又由于|y-yr|2≤2V(t),則可得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差|y-yr|≤2ζ(l2|θ*|2+nD24εmin).(33)由式(33)可知,可通過調整l,ζ和εmin的值來減小閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差.根據以上分析可知:系統(tǒng)控制器能保證系統(tǒng)的閉環(huán)信號全局有界性,該方法對系統(tǒng)外來的有界擾動或未建模動態(tài)有較強的適應能力.4狀態(tài)初始化設定考慮如下帶有未知擾動項的不確定非線性系統(tǒng):{x˙1=x2+θ1sinx1+δ1(t),x˙2=[1.5+sinx1]?u+θ2x12,y=x1.(34)其中θ1,θ2為未知參數,其真值為:θ1=1;θ2=0.5;δ1為系統(tǒng)未知擾動,δ1=[1+0.5×sin?t]·sin?x1;取β=T,則可定義如下虛擬狀態(tài)觀測器:{x^˙1=x^2+θ1sin?y+5(y-x^1),x^2=[1.5+sin?x1]u+θ2y2+4(y-x^1).(35)系統(tǒng)狀態(tài)初值設為:x1(0)=1?x2(0)=2?θ^1(0)=0?θ^2(0)=0;觀測器狀態(tài)初值為:x^1(0)=-0.8;x^2(0)=-1.要求設計系統(tǒng)的控制器使系統(tǒng)的輸出保持在原點附近.根據文中提出的方法,系統(tǒng)的控制律可取為α1=-c1z1-ε0z1-φ1Τ(y)θ^,u=11.5+siny[-z1-c2z2-φ2Τθ^-β2(y-x^1)+?α1?y(x^2+φ1Τθ^)+?α1?θ^θ^˙+?α1?yry˙r-ε1(?α1?y)2z2+y¨r].其中z1=y-yr,z2=x^2-