五年級奧數(shù)數(shù)論完全平方數(shù)（C級）學(xué)生版

完全平方數(shù)完全平方數(shù)知識框架知識框架完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3.完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。p整除完全平方數(shù)，則p能被整除。性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9．性質(zhì)2：完全平方數(shù)被3，4，5，8，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)．性質(zhì)3：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)．因為完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且，則．性質(zhì)4：完全平方數(shù)的個位是6它的十位是奇數(shù)．性質(zhì)5：如果一個完全平方數(shù)的個位是0，則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù)．如果一個完全平方數(shù)的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質(zhì)6：如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)．一些重要的推論1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2.一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3.自然數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5.完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6.完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。重點公式回顧：平方差公式：重難點重難點完全平方數(shù)是數(shù)論板塊中一個比較精華的小分支，從知識特點上講屬于約數(shù)倍數(shù)和質(zhì)數(shù)合數(shù)交叉的知識體系，其題目多為考察上述兩塊綜合性知識，是杯賽和小升初試卷中的一個熱點例題精講例題精講已知自然數(shù)滿足：除以得到一個完全平方數(shù)，則的最小值是。是的平方．計算－=A×A，求A．，求A為多少?求是否存在一個完全平方數(shù)，它的數(shù)字和為2005？由，可以斷定最多能表示為個互不相等的非零自然數(shù)的平方和，請你判定最多能表示為__________個互不相等的非零自然數(shù)的平方之和．有一個不等于0的自然數(shù)，它的是一個立方數(shù)，它的是一個平方數(shù)，則這個數(shù)最小是．求一個最小的自然數(shù)，它乘以2后是完全平方數(shù)，乘以3后是完全立方數(shù)，乘以5后是5次方數(shù)．三個自然數(shù)，它們都是完全平方數(shù)，最大的數(shù)減去第二大的數(shù)的差為80，第二大的數(shù)減去最小的數(shù)的差為60，求這三個數(shù)．有兩個兩位數(shù)，它們的差是14，將它們分別平方，得到的兩個平方數(shù)的末兩位數(shù)(個位數(shù)和十位數(shù))相同，那么這兩個兩位數(shù)是．(請寫出所有可能的答案)A是一個兩位數(shù)，它的6倍是一個三位數(shù)B，如果把B放在A的左邊或者右邊得到兩個不同的五位數(shù)，并且這兩個五位數(shù)的差是一個完全平方數(shù)(整數(shù)的平方)，那么A的所有可能取值之和為．一個自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù)．已知一個完全平方數(shù)是四位數(shù)，且各位數(shù)字均小于7．如果把組成它的數(shù)字都加上3，便得到另外一個完全平方數(shù)，求原來的四位數(shù)．有4個不同的數(shù)字共可組成18個不同的4位數(shù)．將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個是一個完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù)．那么這18個數(shù)的平均數(shù)是：．有3個不同的數(shù)字共可組成6個不同的3位數(shù)．將這6個不同的3位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個是一個完全平方數(shù)，第二個也是完全平方數(shù)．倒數(shù)第一個也是完全平方數(shù)，那么這6個數(shù)的平均數(shù)是：．能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任意兩個數(shù)的積與的和都是完全平方數(shù)嗎？若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由．能夠找到這樣的三個正整數(shù)，使得它們中任意兩個數(shù)的積與22的和都是完全平方數(shù)嗎？若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由．記，這里．當(dāng)k在1至100之間取正整數(shù)值時，有個不同的k，使得S是一個正整數(shù)的平方．記，這里．當(dāng)k在1至50之間取正整數(shù)值時，有個不同的k，使得S是一個正整數(shù)的平方．一個數(shù)的完全平方有39個約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？一個數(shù)的完全平方有25個約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？課堂檢測課堂檢測用1～9這9個數(shù)字各一次，組成一個兩位完全平方數(shù)，一個三位完全平方數(shù)，一個四位完全平方數(shù)．那么，其中的四位完全平方數(shù)最小是．考慮下列32個數(shù)：，，，……，，請你去掉其中的一個數(shù)，使得其余各數(shù)的乘積為一個完全平方數(shù)，劃去的那個數(shù)是．用150個2和若干個0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？家庭作業(yè)家庭作業(yè)從1000到2000的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)有幾個？不是零的自然數(shù)的平方按照從小到大的順序接連排列，是：149162536……，則從左向右的第l6個數(shù)字是_________1080與正整數(shù)a的乘積是一個完全平方數(shù)，則a的最小值是________．一個數(shù)減去100是一個平方數(shù)，減去63也是一個平方數(shù)，問這個數(shù)是多少？稱能表示成1+2+3+