冪零矩陣性質(zhì)及應(yīng)用

)其中階數(shù)為令為的若當(dāng)塊為的若當(dāng)塊由于由引理8，得且即可逆有由（1.4）式，知A與J相似，且從而，得與相似，綜上可得，且即得證（2）、由（1）知，使得又已知得證特別當(dāng)時(shí)，可得2、A，B為階方陣，B為冪零矩陣且，則有證明：由引理10，在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T，使得又B為冪零矩陣所以B的特征值全為0，即又可逆由知為A的特征值由引理7，得從而得證3、A為階方陣，求證，B可對(duì)角化，C為冪零矩陣且證明：由性質(zhì)3，知存在冪零矩陣N，使得可對(duì)角化即存在可逆T，使得即有由性質(zhì)11，知N冪零矩陣則也冪零矩陣又與D相似，可對(duì)角化令，則有可對(duì)角化為冪零矩陣又為對(duì)角陣得證4、A，B，C為階方陣，且，證明：存在自然數(shù)證明：由于，由引理11，得由性質(zhì)2，得C為冪零矩陣由性質(zhì)9，知得證5、在復(fù)數(shù)域上，階方陣A相似于對(duì)角陣等價(jià)于對(duì)于A的任一特征值，有與的秩相同。證明：因?yàn)锳對(duì)角化，則存在可逆矩陣T，使得從而有所以與相同即與的秩相同由于在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T使得其中階數(shù)為若不全為對(duì)角陣，則不妨令不可對(duì)角化，且有，有從而知的秩大于的秩，即有的秩大于的秩也即的秩大于的秩，這與已知矛盾所以所有為對(duì)角陣，從而得證A相似于對(duì)角陣?yán)笾鲗?duì)角線上元素完全相同的三角矩陣的逆解其中且有例求特別的a也是1可表為若當(dāng)塊的冪的矩陣和逆解：其中性質(zhì)1：當(dāng)k=2即復(fù)數(shù)域C上的n階2-冪零矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為，其中（），，且至少存在一個(gè)j，使即至少存在一個(gè)性質(zhì)2：設(shè)C是復(fù)數(shù)域，而A是C上2-冪零矩陣，設(shè)A的秩為r，則，而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為，其中對(duì)角線上有r個(gè)。性質(zhì)3：兩個(gè)2-冪零矩陣相似的充要條件是它們的秩相同。引理1.2：設(shè)，則，而。定理1：復(fù)數(shù)域C上的k-冪零矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)型具有形式，其中（），且至少存在一個(gè)若當(dāng)塊，使。證明：因?yàn)锳為冪零矩陣，故A的特征值全為0，于是A的特征多項(xiàng)式為。設(shè)冪零矩陣的A的初等因子為可能相同，且），每一個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)一個(gè)J塊（），這些J塊構(gòu)成一個(gè)若當(dāng)形矩陣因?yàn)锳為k-冪零矩陣，所以J中存在即至少存在一個(gè)j，使推論2：秩不大于3的兩個(gè)3-冪零矩陣相似的充要條件是它們的秩相等。定理可逆矩陣A的逆矩陣與伴隨矩陣都可以表示為A的多項(xiàng)式證明：設(shè)A特征多項(xiàng)式利用hamilaon-cayley定理則有而A可逆，得從而以及一、定理:若A是冪零矩陣，則A不可逆.性質(zhì)冪零矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣、數(shù)乘矩陣、K次冪、伴隨矩陣都是冪零矩陣性質(zhì)冪零矩陣的特征值為零，特征值為零矩陣為冪零矩陣。性質(zhì)冪零矩陣的相似矩陣是冪零矩陣?！秲缌憔仃嚨男再|(zhì)》性質(zhì)同階可交換的矩陣的冪零矩陣的乘積是冪零矩陣。性質(zhì)設(shè)A為菲零的冪零矩陣，且r是A的冪零矩陣，則E、A、…Ak線性無(wú)關(guān).性質(zhì)相似于對(duì)角矩陣的冪零矩陣是零矩陣。性質(zhì)若A2=0且AT=A,則A=0二、性質(zhì)冪零矩陣與一個(gè)與之可交換的矩陣的乘積仍為冪零矩陣。性質(zhì)與冪零矩陣可交換的矩陣仍為冪零矩陣。《冪零矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用》性質(zhì)菲零的冪零矩陣A不能對(duì)角化，對(duì)任意的矩陣B，存在冪零矩陣M使得可以B+M對(duì)角化性質(zhì)任意的n節(jié)下三角矩陣都相似與一個(gè)上三角矩陣?！秲?/p>