七年級數(shù)學上冊知識點練習專題4.7 動角問題專項訓練（40道）（舉一反三）（華東師大版）（解析版）

第頁專題4.7動角問題專項訓練（40道）【華東師大版】考卷信息：本套訓練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了動角的綜合問題的所有類型！一．解答題（共40小題）1．（2022·吉林白山·七年級期末）如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角．(本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角)(1)如圖1所示，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，則∠AOD垂角為和；(2)如果一個角的垂角等于這個角的補角的23(3)如圖2所示，O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射線OC繞點O以9°/s的速度逆時針旋轉，射線OD繞點O以6°/s的速度順時針旋轉，兩條射線OC、OD同時運動，運動時間為ts(0＜t＜20)，試求當t為何值時，∠AOC和∠AOD互為垂角．【答案】(1)∠COD，∠AOE(2)18°或126°(3)2s或14s【分析】（1）根據(jù)互為垂角的定義即可求解；（2）利用題中的“一個角的垂角等于這個角的補角的23(3)根據(jù)所有角都是指大于0且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20三種情況討論，并建立相應的方程求解后可得符合題意的t的值．(1)∵∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，∴AOD的垂角是∠COD和∠AOE；故答案為：∠COD，∠AOE；(2)設這個角的度數(shù)為x度，則①當0＜x＜90時，它的垂角是(90+x)度，根據(jù)題意得：90+x＝23(180﹣x解得：x＝18；②當90＜x＜180時，它的垂角是(x﹣90)度，根據(jù)題意得：x﹣90＝23(180﹣x解得：x＝126，∴這個角的度數(shù)為18°或126°；(3)分三種情況：①當0＜t＜5時，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(150+6t)°，∴(150+6t)﹣(90﹣9t)＝90，解得t＝2；②當5＜t＜10時，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，∴(210﹣6t)﹣(90﹣9t)＝90，解得t＝﹣10(舍去)；③當10＜t＜20時，∠AOC＝(9t﹣90)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，∴(210﹣6t)﹣(9t﹣90)＝90，解得：t＝14．綜上所述：t的值為2s或14s時，∠AOC和∠AOD互為垂角．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用和新定義以及角的有關計算等知識，解此題的關鍵是理解題意，能準確從圖中找出角之間的關系，并利用方程模型計算出結果．2．（2022·四川成都·七年級期末）如圖1，點D、O、A共線且∠COD＝20°，∠BOC＝80°，射線OM，ON分別平分∠AOB和∠BOD．如圖2，將射線OD以每秒6°的速度繞點O順時針旋轉一周，同時將∠BOC以每秒4°的速度繞點O順時針旋轉，當射線OC與射線OA重合時，∠BOC停止運動．設射線OD的運動時間為t．(1)運動開始前，如圖1，∠AOM＝°，∠DON＝°；(2)旋轉過程中，當t為何值時，射線OB平分∠AON？(3)旋轉過程中，是否存在某一時刻使得∠MON＝35°？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)40°，50°(2)當t為10時，射線OB平分∠AON；(3)存在，符合條件的t的值為553【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義直接計算即可；（2）根據(jù)∠AOB=∠NOB列方程求解即可；（3）分情況根據(jù)∠MON=35°列方程求解即可．(1)解：∵∠COD=20°，∠BOC=80°，∴∠BOD=20°+80°=100°，∠AOB=180°-∠BOD=180°-100°=80°，∵射線OM，ON分別平分∠AOB和∠BOD，∴∠AOM=12∠AOB=40°，∠DON=12∠故答案為：40，50；(2)解：∵射線OD以每秒6°的速度繞點O順時針旋轉，∠BOC以每秒4°的速度繞點O順時針旋轉，∴∠BOD=100°+4°t-6°t=100°-2°t，∵∠AOB=180°-80°-20°-4°t=80°-4°t，∴12×（100°-2°t）=80°-4°t解得：t=10，∴當t為10時，射線OB平分∠AON；(3)解：存在某一時刻使得∠MON=35°，分以下兩種情況：①OM在OA上方，此時∠NOB+∠BOM=35°，即12×（100°-2°t）+12×（80°-4°解得t=553②OM在OA下方，即12×（100°-2°t）+12（4°解得t=25，綜上，符合條件的t的值為553【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，熟練根據(jù)角的關系列方程求解是解題的關鍵．3．（2022·重慶·西南大學附中七年級期中）如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，∠AOB=45°，射線OC為∠AOB的“幸福線”，求∠AOC的度數(shù)；(3)如圖②，已知∠AOB=60°，射線OM從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉，同時，射線ON從OB出發(fā)，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉，設運動的時間為t秒（0<t<9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的t值．【答案】(1)是；(2)15°，33.75°，11.25°，30°；(3)t=3613或t=4【分析】（1）若OC為∠AOB的三等分線，則有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福線”的定義；（2）根據(jù)“幸福線”的定義可得當∠AOB=3∠AOC時，當∠AOC=3∠BOC時，當∠BOC=3∠AOC時，當∠AOB=3∠BOC時，然后根據(jù)角的和差關系進行求解即可；（3）由題意可分①當0<t<4時ON在與OA重合之前，則有∠MOA=20t，∠AON=60?15t，由OA是∠MON的“幸福線”可進行分類求解；②當4<t<9時，ON在與OA重合之后，則有∠AON=15t?60，∠MON=5t+60，由ON是∠AOM的“幸福線”可分類進行求解．（1）解：若OC為∠AOB的三等分線，則有∠AOB=3∠AOC，符合“幸福線”的定義，所以角的三等分線是這個角的“幸福線”；故答案為：是．（2）解：由題意得：∵∠AOB=45°，射線OC為∠AOB的“幸福線”，∴①當∠AOB=3∠AOC時，則有：∠AOC=15°；②當∠AOC=3∠BOC時，則有∠AOC=3③當∠BOC=3∠AOC時，則有∠AOC=1④當∠AOB=3∠BOC時，則有：∠BOC=15°；∠AOC=30°；綜上所述：當射線OC為∠AOB的“幸福線”時，∠AOC的度數(shù)為15°，33.75°，11.25°，30°；（3）解：∵∠AOB=60°，∴射線ON與OA重合的時間為60°÷15°=4（秒），∴當0<t≤4時ON在與OA重合之前，如圖所示：∴∠MOA=20t°，∠AON=（60?15t）°，OA是∠MON的“幸福線”，則有以下三類情況：①∠MOA=3∠MON，即20t=320t+60?15t，t=36②∠MOA=3∠AON，即20t=360?15t，t=③∠AON=3∠MOA，即60?15t=3×20t，t=4④∠AON=3∠MON，即60?15t=3×60+5t，t=?4當4<t<9時，ON在與OA重合之后，如圖所示：∴∠MON=（5t+60）°，∠AON=（15t?60）°，ON是∠AOM的“幸福線”，則有以下三類情況：①∠MON=3∠MOA，即5t+60=3×20t，t=12②∠NOA=3∠MOA，即15t?60=3×20t，t=?4③∠MON=3∠NOA，即5t+60=315t?60，t=6④∠NOA=3∠MON，即15t?60=35t+60，t綜上：t=3613或t=4【點睛】本題主要考查角的三等分點的計算及角的動點問題，熟練掌握角的三等分點的計算及角之間的和差關系是解題的關鍵．4．（2022·四川成都·七年級期末）【閱讀理解】定義：在一條直線同側的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉，運動時間為t秒，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉，且在旋轉過程中，射線OD平分∠AOB．當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數(shù)．【答案】(1)不是；是(2)①52或35【分析】（1）利用“雙倍和諧線”的意義結合圖形進行判斷即可；（2）①由題意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分類討論的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結論；②由題意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分類討論的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結論．（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射線PS不是射線PR，PT的“雙倍和諧線”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射線PT是射線PS，PR的“雙倍和諧線”．故答案為：不是；是；（2）①由題意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．∵射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．當∠AOC=2∠AOB時，如圖，則：90-4t=2×40．解得：t=52，當∠AOB=2∠AOC時，如圖，則：40=2（90-4t）．解得：t=352，綜上，當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，t的值為52或352；②由題意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．∵當射線OC與射線OA重合時，運動停止，∴此時∠AON=∠CON．∴90+2t=4t．∴t=45．∴當t=45秒時，運動停止，此時∠AON=180°．∵射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．當∠COM=2∠COD時，如圖，即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），則：180-4t=2（4t-70-2t）．解得：t=40．∴∠CON=4°×40=160°．當∠COD=2∠COM時，如圖，即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．則：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠CON=4°×43=172°．綜上，當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，∠CON的度數(shù)為160°或172°．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義，本題是新定義型，理解并熟練應用新定義是解題的關鍵．5．（2022·浙江金華·七年級期末）閱讀理解：在鐘面上，把一周分成12個大格，每個大格分成5個小格，所以每個大格對應的是30°角，每個小格對應的是6°角，時針每分鐘轉過的角度是0.5度，分針每分針轉過的角度是6度．(1)解決問題：當時鐘的時刻是8：30時，求此時分針與時針所夾的銳角的度數(shù)．(2)8：00開始幾分鐘后分針第一次追上時針．(3)設在8：00時，分針的位置為OA，時針的位置為OB，運動后的分針為OP，時針為OQ．問：在8：00~9：00之間，從8：00開始運動幾分鐘，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線？【答案】(1)75°(2)48011(3)48013分鐘或960【分析】（1）根據(jù)8：30時，時針與分針的夾角是2.5個大格，可得所夾的銳角的度數(shù)；（2）計算出8：00時時針與分針所夾鈍角的度數(shù)，設x分鐘后分針第一次追上時針，利用追擊問題列方程，即可求解；（3）分OB平分∠QOP，OP平分∠QOB，OQ平分∠POB三種情況，利用角的和、差、倍數(shù)關系列方程，即可求解．（1）解：8：30時，時針與分針的夾角是2.5個大格，2.5×30°=75°，即分針與時針所夾的銳角的度數(shù)是75°．（2）解：設x分鐘后分針第一次追上時針．8：00時，時針與分針所夾鈍角是8個大格，8×30°=240°，由題意，6x?0.5x=240，解得x=48011，即8：00開始（3）解：設運動m分鐘后，OB，OP，OQ這三條射線，其中一條射線是另外兩條射線所夾的角的平分線．分三種情況：如圖①，當OB平分∠QOP時，∠QOB=∠POB，∴0.5m=240?6m，解得m=48013；如圖②，當OP平分∠QOB時，∠QOB=2∠POB，∴0.5m=26m?240，解得m=96023；如圖③，當OQ平分∠POB時，∠POB=2∠QOB，∴6m?240=2×0.5m，解得m=48；綜上，運動48013分鐘或96023分鐘或48分鐘后，【點睛】本題考查一元一次方程的應用，以及角平分線的定義，能夠計算出任一時刻時針與分針之間的角度是解題的關鍵．6．（2022·貴州銅仁·七年級期末）沿河縣某初中七年級的數(shù)學老師在課外活動中組織學生進行實踐探究，用一副三角尺（分別含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器180°刻度線重合，邊AP與量角器0°刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點P以每秒10°的速度順時針旋轉，當邊PB與180°刻度線重合時停止運動，設三角尺ABP的運動時間為t秒．(1)當t=5時，∠BPD=__________°；(2)若在三角尺ABP開始旋轉的同時，三角尺PCD也繞點P以每秒2°的速度逆時針旋轉，當三角尺ABP停止旋轉時，三角尺PCD也停止旋轉．①當t為何值時，邊PB平分∠CPD；②在旋轉過程中，是否存在某一時刻使∠BPD=2∠APC，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)85(2)①當t=354時，邊PB平分∠CPD；②當t=12512或t=354時，∠BPD【分析】（1）當t=5秒時，計算出邊BP旋轉的角度的大小即可得出結論；（2）①如圖1，根據(jù)PB平分∠CPD，利用角平分線的定義可得∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，利用含t的代數(shù)式分別表示出∠MPB和∠BPD的度數(shù)，列出關于t②設時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分兩種情況說明：Ⅰ）當PA在PC左側時，如圖2所示：Ⅱ）當PA在PC右側時，如圖3，根據(jù)旋轉過程得出的角度的大小列出方程即可求得結論．（1）解：當t=5秒時，由旋轉知，邊BP旋轉的角度為：10°×5=50°，∴∠BPD=180°-（45°+50°）=85°，故答案為：85；（2）解：①如圖1所示：由題意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=12∠CPD由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：10°t+45°+30°+2°t=180°，解得，t=354∴當t=354時，邊PB平分∠CPD②在旋轉過程中，存在某一時刻使∠BPD=2∠APC．∵運動時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，Ⅰ）當PA在PC左側時，如圖2所示：此時，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（120°-12°t），解得：t=354因為當t=354此時∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；Ⅱ）當PA在PC右側時，如圖3所示：此時，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（12°t-120°），解得：t=12512當PB在PD的右側時，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，則12°t-135°=2（12°t-120°），解得：t=354此時PB在PD的左側，所以和假設情況矛盾，不符合題意，舍去．綜上所述，當t=12512或t=354時，∠BPD=2∠【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的變化，量角器的識別，角平分線的定義，角的計算，一元一次方程的應用，設運動的時間為t，用含t的代數(shù)式表示出∠APC與∠BPD的值是解本題的關鍵．7．（2022·浙江寧波·七年級期末）如圖1,已知∠AOB=120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度按順時針方向向射線OB旋轉；與此同時，射線OQ以每秒4°的速度，從OB位置出發(fā)按逆時針方向向射線OA旋轉，到達射線OA后又以同樣的速度按順時針方向返回，當射線OP與射線OB重合時，兩條射線同時停止運動，設旋轉時間為t（s）．(1)當t=5時，求∠POQ的度數(shù)；(2)當OP與OQ重合時，求t的值；(3)如圖2，在旋轉過程中，若射線OC始終平分∠AOQ，問：是否存在t的值，使得∠POQ=∠COQ?

若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)∠POQ的度數(shù)為90°(2)t的值為20或60(3)存在，t的值為15或22.5或45【分析】（1）根據(jù)題意可得：當t=5時，∠AOP=10°，∠BOQ=20°，即可求解；（2）分兩種情況：當射線OQ沒有到達射線OA，OP與OQ重合時，當射線OQ到達射線OA后返回，OP與OQ重合時，即可求解；（3）分三種情況：當0<t≤20時，當20<t≤30時，當30<t≤60時，即可求解．(1)解：當t=5時，∠AOP=2°×5=10°，∠BOQ=4°×5=20°，∵∠AOB=120°，∴∠POQ=∠AOB?∠AOP?∠BOQ=90°；(2)解：當射線OQ沒有到達射線OA，OP與OQ重合時，∠AOP+∠BOQ=∠AOB=120°，根據(jù)題意得：∠AOP=2°×t，∠BOQ=4°×t，∴2°×t+4°×t=120°，解得：t=20；當射線OQ到達射線OA后返回，OP與OQ重合時，∠AOQ=∠AOP，根據(jù)題意得：∠AOQ=4°×t?120°，∠AOP=2°×t，∴2°×t=4°×t?120°，解得：t=60；綜上所述，當OP與OQ重合時，t的值為20或60；(3)解：存在，t的值為15或22.5或45，使得∠POQ=∠COQ，理由如下：由（2）得：當t=20時，OP與OQ第一次重合，當t=120°4°=30時，OQ到達射線OA，當t=120°2°當0<t≤20時，∠AOP=2°×t，∠BOQ=4°×t，∴∠POQ=120°?2°×t?4°×t=120°?6°×t，∠AOQ=120°?4°×t，∵射線OC平分∠AOQ，∴∠COQ=1∵∠POQ=∠COQ，∴120°?6°×t=60°?2°×t，解得：t=15；如圖，當20<t≤30時，∠AOP=2°×t，∠BOQ=4°×t，∴∠BOP=120°?2°×t,∠AOQ=120°?4°×t，∴∠POQ=6°×t?120°，∠COQ=1∵∠POQ=∠COQ，∴6°×t?120°=60°?2°×t，解得：t=22.5；如圖，當30<t≤60時，∠AOP=2°×t，∠AOQ=4°×t?120°，∴∠BOP=120°?2°×t，∠COQ=1∴∠POQ=120°?4°×t?120°∴120°?2°×t=2°×t?60°，解得：t=45；綜上所述，當t的值為15或22.5或45時，使得∠POQ=∠COQ．【點睛】本題主要考查了有關角平線的計算，角的和與差，利用方程思想解答和分類討論思想解答是解題的關鍵．8．（2022·福建·廈門市逸夫中學七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC=90°，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉，速度為12°/s．兩條射線OM，ON同時運動，運動時間為t秒．（本題出現(xiàn)的角均小于平角）(1)當t=2時，∠MON=_______，∠AON=_______；(2)當0＜t＜12時，若∠AOM=3∠AON=60°．試求出t的值；(3)當0＜t＜6時，探究∠BON?∠COM+∠AOC∠MON的值，問：t【答案】(1)144°，66°(2)107(3)當0＜t＜103時，∠BON?∠COM+∠AOC∠MON的值是1；當103【分析】（1）根據(jù)時間和速度分別計算∠BOM和∠DON的度數(shù)，再根據(jù)角的和與差可得結論；（2）分兩種情況：①如圖所示，當0＜t≤7.5時，②如圖所示，當7.5＜t＜12時，分別根據(jù)已知條件列等式可得t的值；（3）分兩種情況，分別計算∠BON、∠COM和∠MON的度數(shù)，代入可得結論．(1)由題意得：當t=2時，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，∠AON=∠AOD-∠DON=90°-24°=66°，故答案為：144°，66°；(2)當ON與OA重合時，t=90÷12=7.5（s）當OM與OA重合時，t=180°÷15=12（s）如圖所示，①當0＜t≤7.5時，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=107②當7.5＜t＜12時，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，綜上，t的值為107(3)當∠MON=180°時，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=103如圖所示，①當0＜t＜103時，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴∠BON?∠COM+∠AOC∠MON②當103＜t＜6時，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，∠BON?∠COM+∠AOC==90∴（不是定值）．綜上所述，當0＜t＜103時，∠BON?∠COM+∠AOC∠MON的值是1；當103＜t【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，角的和差關系的計算，解決問題的關鍵是將相關的角用含t的代數(shù)式表示出來，并根據(jù)題意列出方程進行求解，以及進行分類討論，解題時注意方程思想和分類思想的靈活運用．9．（2022·福建·泉州七中七年級期末）如圖1，O為直線AB上一點，過點O作射線OC，∠AOC＝30°，將一直角三角尺（∠M＝30°）的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線AB的上方．（1）若將圖1中的三角尺繞點O以每秒5°的速度，沿順時針方向旋轉t秒，當OM恰好平分∠BOC時，如圖2．①求t值；②試說明此時ON平分∠AOC；（2）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉，設∠AON＝α，∠COM＝β，當ON在∠AOC內(nèi)部時，試求α與β的數(shù)量關系；（3）如圖3若∠AOC＝60°，將三角尺從圖1的位置開始繞點O以每秒5°的速度沿順時針方向旋轉．當ON與OC重合時，射線OC開始繞點O以每秒20°的速度沿順時針方向旋轉，三角尺按原來的速度和方向繼續(xù)旋轉，當三角板運動到OM邊與OA第一次重合時停止運動．當射線OC運動到與OA第一次重合時停止運動．設三角形運動的時間為t．那么在旋轉的過程中，是否存在某個時刻，使得ON，OM兩條邊所在的射線及射線OC，三條射線中的某一條射線是另兩條射線的角平分線？若存在，直接寫出所有滿足條件的t的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）①t=3；②見解析；（2）β=α+60°；（3）t=15或t=24或t=54【分析】（1）①求出∠BOC，利用角平分線的定義求出∠BOM，進而求出∠AON，然后列方程求解；②求出∠CON=15°即可求解；（2）用含t的代數(shù)式表示出α和β，消去t即可得出結論；（3）分三種情況列方程求解即可．【詳解】解：（1）①∵∠AOC＝30°，∴∠COM=60°，∠BOC=150°，∵OM恰好平分∠BOC，∴∠BOM=12∠BOC∴∠AON=180°-90°-75°=15°，∴5t=15，∴t=3；②∵∠AOC=30°，∠AON=15°，∴∠CON=15°，∴此時ON平分∠AOC；（2）由旋轉的性質得，∠AON＝α=5t①，∠COM＝β=60°+5t②，把①代入②，得β=α+60°；（3）當ON與OC重合時，60÷5=12秒，當OC與OA重合時，(360-60)÷20+12=27秒，當OC平分∠MON，且OC未與OA重合時，則∠CON=45°，由題意得，60+20(t-12)-5t=45，解得t=15；當OM平分∠CON，且OC未轉到OA時，則∠CON=180°，由題意得，60+20(t-12)-5t=180，解得t=24；當OM平分∠CON，且OC轉到OA時，則∠AOM=90°，由題意得，∴360-90=5t，∴t=54，綜上可知，當t=15或t=24或t=54時，ON，OM兩條邊所在的射線及射線OC，三條射線中的某一條射線是另兩條射線的角平分線．【點睛】本題考查了角的和差，角平分線的定義，以及一元一次方程的定義，正確識圖是解答本題的關鍵．10．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝12∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，則∠AOC＝12∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠【解決問題】（1）在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖3，射線OB從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉；同時，射線OC從與射線OA的反向延長線重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．問：當運動時間為多少秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？【答案】（1）是；（2）16n；（3）907或36019【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分四種情況進行計算即可．【詳解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝12∠BOC∴∠BOD＝12∠AOD∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．（2）∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，∴∠BOM＝13∠AOB＝13∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝12∠AOB＝12∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝12n﹣13n＝1（3）設運動時間為x（x≤36）秒時，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．當射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOB＝12∠COB所以3x＝12（180﹣5x﹣3x解得x＝907即運動時間為907秒時，射線OB是射線OA當射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時，則∠COB＝12∠AOB所以180﹣5x﹣3x＝12×3x解得x＝36019即運動時間為36019秒時，射線OB是射線OC當射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，則∠COB＝12∠AOC所以3x+5x﹣180＝12（180﹣5x解得x＝1807即運動時間為1807秒時，射線OC是射線OB當射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時，則∠AOC＝12∠COB所以180﹣5x＝12（5x+3x解得x＝30（符合題意），即運動時間為30秒時，射線OC是射線OA的“友好線”．綜上所述，當運動時間為907或36019或【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，角的運算，理解新定義，并用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．11．（2022·湖北武漢·七年級期末）定義：過角的頂點在角的內(nèi)部作一條射線，得到三個角，若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱這條射線為這個角的“二倍角線”．（1）如圖1，∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“二倍角線”，則∠AOC＝．（2）如圖2，射線OB為∠COD的“二倍角線”，且∠DOB＝2∠BOC．射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，問∠AOD+∠BOC∠MON（3）如圖3．已知∠AOB＝120°，射線OC、OD為∠AOB的“二倍角線”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，將∠COD繞點O以10°/秒的速度順時針轉動，運動時間為t秒（0≤t≤14），射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線．OB、OM、ON三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”，直接寫出t所有可能的值．【答案】（1）60°或80°或40°．；（2）∠AOD+∠BOC∠MON的值是定值，定值為2；（3）12秒或28【分析】（1）根據(jù)“二倍角線”的概念分三種情況討論，分別求解即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠AOM=∠COM,∠BON=∠DON，然后由∠DOB＝2∠BOC進一步得到∠BOC=∠BON=∠DON，設∠AOM=x,∠BOC=y，根據(jù)題意分別表示出∠AOD+∠BOC和∠MON，即可求出（3）首先根據(jù)∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，得出∠COD=1【詳解】解：（1）當∠AOB=2∠AOC時，∠AOC=1當∠AOC=2∠BOC時，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∵∠AOC+12∠AOC=120°當∠BOC=2∠AOC時，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∵∠AOC+2∠AOC=120°，解得：∠AOC=40°；故答案為：60°或80°或40°．（2）∵射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠AOM=∠COM,∠BON=∠DON，又∵∠DOB＝2∠BOC，∠BOD=∠BON+∠DON，∴∠BOC=∠BON=∠DON，∴設∠AOM=∴∠AOD+∠BOC∴∠AOD+∠BOC∠MON（3）∵∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，又∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=120°，∴∠AOC=1∴∠AOC=∠BOD=∠COD=1∵射線OM、ON分別為∠AOC、∠BOD的平分線，∴∠AOM=12∠AOC=20°∴∠BOM=∠AOB?∠AOM=100°，將∠COD繞點O以10°/秒的速度順時針轉動，運動時間為t秒（0≤t≤14），∴當0≤t≤4時，∠COD在∠AOB內(nèi)部，∵∠MON=∠AOB?∠AOM+∠BON∠BON=1∠MOB=∠MON+∠BON=80°+20°?5t=100°?5t，∴當∠MOB=2∠BON時，100°?5t=2×20°?5t，解得：t=?12當∠MON=2∠BON時，80°=2×20°?5t，解得：t=?4當∠BON=2∠MON時，20°?5t=2×80°，解得：t=?28，舍去當4<t<8時，此時OB∴∠AOC=40°+10t，∠BOD=10t?40°，∴∠AOM=∠COM=12∠AOC=20°+5t∴∠MOD=∠MOC+∠COD=20°+5t+40°=60°+5t，∴∠MOB=∠MOD?∠BOD=60°+5t?10t?40°∴∠MON=∠MOB+∠BON=100°?5t+5t?20°=80°，∴當∠MON=2∠BON時，即80°=2×5t?20°，解得：t=12當∠MOB=2∠BON時，即100°?5t=2×5t?20°，解得：t=當∠BON=2∠MOB時，即5t?20°=2×100°?5t，解得：t=當8≤t≤12時，此時ON在∠COD內(nèi)部，∴∠AOC=40°+10t，∠AOM=∠COM=1∴∠MOB=∠AOB?∠AOM=120°?20°+5t∴∠BOC=∠AOC?∠AOB=40°+10t?120°=10t?80°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=10t?80°+40°=10t?40°，∴∠BON=1∴∠MON=∠MOB+∠BON=100°?5t+5t?20°=80°，∴當∠MON=2∠BON時，即80°=2×5t?20°，解得：t=12當∠BON=2∠MOB時，即5t?20°=2×100°?5t，解得：t=當∠MOB=2∠BON時，即100°?5t=2×5t?20°，解得：t=當12<t≤14時，此時ON在∴∠AOC=40°+10t，∠AOM=∠COM=1∴∠MOB=∠AOB?∠AOM=120°?20°+5t∴∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+10t+40°=80°+10t，∴∠BOD=∠AOD?∠AOB=80°+10t?120°=10t?40°，∴∠BON=1∴∠MON=∠MOB+∠BON=100°?5t+5t?20°=80°，∴當∠MON=2∠BON時，即80°=2×5t?20°，解得：t=12當∠BON=2∠MOB時，即5t?20°=2×100°?5t，解得：t=當∠MOB=2∠BON時，即100°?5t=2×5t?20°，解得：t=綜上所述，t的值為12秒或283【點睛】此題考查了新定義角度問題，角平分線有關計算，解題的關鍵是正確分析題目中角度之間的等量關系，分情況討論列出方程求解．12．（2022·天津南開·七年級期末）已知：如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：5．將一等腰直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊ON在射線OB上，另一直角邊OM在直線AB的下方．（1）將圖1中的等腰直角三角板繞點O以每秒3°的速度逆時針方向旋轉一周，直角邊ON旋轉后的對應邊為ON'，直角邊OM旋轉后的對應邊為OM'．在此過程中，經(jīng)過t秒后，OM'恰好平分∠BOC，求t的值；（2）如圖2，在（1）問的條件下，若等腰直角三角板在轉動的同時，射線OC也繞點O以每秒4°的速度順時針方向旋轉，射線OC旋轉后的對應射線為OC'．當射線OC'落在射線OC的反向延長線上時，射線OC和等腰直角三角板同時停止運動．在此過程中，是否存在某一時刻t，使得OC'//M'N'．若存在，請求出t的值，若不存在，誚說明理由；（3）如圖3，在（1）問的條件下，若等腰直角三角板在轉動的同時，射線OC也繞點O以每秒5°的速度順針方向旋轉，射線OC旋轉后的對應射線為OC'．當?shù)妊苯侨前逋Ｖ惯\動時，射線OC也停止運動．在整個運動過程中．經(jīng)過l秒后，∠M'ON'的某一邊恰好平分∠AOC'，請直接寫出所有滿足條件的t的值．【答案】（1）55；（2）15或2857；（3）t=30或69011或870【分析】（1）當OM'恰好平分∠BOC時，OM'需要旋轉90°＋12∠BOC（2）第一種情況：當OC'∥M'N'時，∠C’OM’＝∠OM’N’＝45°，進而求解；第二種情況：當OC'∥M'N'時，∠C’OM’＝∠OM’N’＝45°，進而求解；（3）分四種情況：①當ON’平分∠AOC’，且ON’在直線AB上方時，②當ON’平分∠AOC’，且ON’在直線AB下方時，③當OM’平分∠AOC’，且OM’在直線AB上方時，④當OM’平分∠AOC’，且OM’在直線AB下時，分別畫出圖形，即可求解．【詳解】解：（1）設∠AOC＝x，則∠BOC＝5x，x＋5x＝180°，∴∠AOC＝30°，則∠BOC＝150°．當OM'恰好平分∠BOC時，OM'需要旋轉90°＋12∠BOC165°÷3＝55，所以，t＝55；（2）第一種情況：當OC'∥M'N'時，∠C’ON’＝∠ON’M’＝45°，此時t＝（150°?45°）÷（3°＋4°）＝15，第二種情況：當OC'∥M'N'時，∠C’OM’＝∠OM’N’＝45°，此時t＝（240°＋45°）÷（3°＋4°）＝2857（3）分四種情況：①當ON’平分∠AOC’，且ON’在直線AB上方時，則2∠AON’＝∠AOC’，即2(180°?3t)＝（30°＋5t），解得：t＝30，②當ON’平分∠AOC’，且ON’在直線AB下方時，則2∠AON’＝∠AOC’，即2(3t-180°)＝（360°-30°-5t），解得：t＝69011③當OM’平分∠AOC’，且OM’在直線AB上方時，則2∠AOM’＝∠AOC’，即2(270°-3t)＝（5t+30°-360°），解得：t＝87011④當OM’平分∠AOC’，且OM’在直線AB下時，則2∠AOM’＝∠AOC’，即2(3t-270°)＝（720°-30°-5t），解得：t＝1230綜上所述：∠M'ON'的某一邊恰好平分∠AOC'，t=30或69011或87011或【點睛】本題是角的計算以及一元一次方程的應用，主要考查了圖形旋轉時角的變化等，分類畫出圖形求解，是解題的關鍵．13．（2022·山西晉中·七年級期末）綜合與探究：射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時，由于完成下列任務：（1）如圖2，∠AOB=150°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=°，若∠AOB的度數(shù)是x，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是．（用含x的代數(shù)式表示）（2）如圖3，如∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點O以每秒6°的速度逆時針旋轉，射線OD與射線OB重合，并繞點O以每秒10°的速度順時針旋轉，當射線OD與射線OA重合時，運動停止．①是否存在某個時刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；②當t為多少秒時，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．請直接寫出結果．【答案】（1）50，x6；（2）①存在，當t=10秒或12.5秒時，∠COD的度數(shù)是20°；②t=457秒或180【分析】（1）根據(jù)伴隨線和角平分線的性質求解即可；（2）分為若OC與OD在相遇之前、OC與OD在相遇之后兩種情況求解即可；（3）分為（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：當OC是OA的伴隨線時，當OC是OD的伴隨線時；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：當OD是OC的伴隨線時，當OD是OA的伴隨線時，四種情況求解即可.【詳解】解：（1）如圖4所示，∠AOM=1∴∠AOM=1如圖4所示：∠BOC=12∠AOC=∴∠NOC=∠BOC?∠BON=x故答案為：50°，x6（2）射線OD與OA重合時，t=180①當∠COD的度數(shù)是20°時，有兩種可能：若OC與OD在相遇之前，如圖5：則180?10t?6t=20，∴t=10，若OC與OD在相遇之后，如圖6：則10t+6t?180=20，∴t=12.5；所以，當t=10秒或12.5秒時，∠COD的度數(shù)是20°．②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：∠AOC=6°t，∠AOD=180°?∠BOD=180°?10°t，∠COD=∠AOD?∠AOC=180°?10°t?6°t=180°?16°t，當OC是OA的伴隨線時，如圖7：∠AOC=即：6°t=13(180°?10°t)當OC是OD的伴隨線時，如圖8：∠COD即：180°?16°t=13(180°?10°t)（Ⅱ）OC、OD相遇之后：∠AOC=6°t，∠AOD=180°?∠BOD=180°?10°t，∠COD=∠AOC?∠AOD=6°t?(180°?10°t)=16°t?180°當OD是OC的伴隨線時，9如圖：∠COD=1即：∠BOC=12∠AOC=x2當OD是OA的伴隨線時，如圖10：∠AOD=1即：180°?10°t=13×6°t綜上：當t=457，18019，907，15秒時，OC、【點睛】本題考查了提取信息的能力，列代數(shù)式，一元一次方程的應用，分類討論的思想；關鍵在于根據(jù)題意畫出圖形，建立方程解答．14．（2022·陜西·西安高新一中實驗中學七年級期末）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開始出發(fā)，繞點O逆時針勻速旋轉，旋轉速度為每秒5度：射線OQ從OC處開始出發(fā)，繞點O順時針勻速旋轉，兩條射線同時開始旋轉（當射線OQ旋轉至與射線OF重合時，OP、OQ同時停止運動），旋轉時間為t秒.（旋轉速度÷旋轉角度：旋轉時間）(1)當t＝秒，射線OP平分∠AOB時；(2)若射線OQ的旋轉速度為每秒4度時，請求出當∠POQ=60°時，射線OP旋轉的時間；(3)若射線OQ的旋轉速度為每秒3度時，是否存在某個時刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)10；(2)103或50(3)t=10011或【分析】（1）作出角平分線，求出OP運動到OG時的時間即可．（2）動點問題需要分類討論，第一種OP、OQ還沒有相遇時，第二種OP、OQ相遇之后，畫圖利用角度列出等式．（3）分別一其中一條作為角平分線來分析，畫出圖像之后列等式求時間．（1）解：作∠AOB的角平分線OG∵∠AOB=60°，∴∠AOG=12∠AOB∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，此時OP的運動時間t=505故答案為：10；（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，∴∠FOC=90°由題意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°①如圖所示：∴4t+60+5t=90，∴t=103②如圖所示：此時4t+5t-60=90，∴t=50∵OQ停止運動時間t=904∴以上兩種情況均符合∴當∠POQ=60°時，OP的旋轉時間為103或50（3）解：存在；①當OQ平分∠BOP時，則∠BOQ=∠POQ，如圖：則3t?10=90?3t?5t，解得：t=100②當OP平分∠BOQ時，則∠BOP=∠POQ，如圖：則90?5t?10=3t?(90?5t)，解得：t=170綜合上述，t=10011或【點睛】主要考查角平分線的計算，角度的和差倍分問題，解題的關鍵是掌握所學的知識，運用分類討論的思想，利用圖象找關系．15．（2022·浙江杭州·七年級期中）在同一平面內(nèi)的三條射線OA、OB、OC，①當射線OC在∠AOB內(nèi)時，若滿足∠AOC=2∠COB，則稱射線OC是【OA,OB】的好線；若滿足∠BOC=2∠AOC，則稱射線OC是【OB,OA】的好線；②當射線OC在∠AOB外時，若滿足∠AOC=2∠COB，稱射線OC是【（1）如圖1，∠AOD=∠DOC=∠COB=20°，則射線OC是【OA,OB】的好線，又是【OA,OD】的皮線；射線______是【OB,OA】的好線，又是____的皮線．（2）如圖2，點O在線段AB上，∠BOD=30°,∠AOC=60°，求【OC,OD】的好線與OA的夾角（寫出完整的解答過程）．（3）如圖3，點O在直線AB上，∠BOD=30°,?∠AOC=60°，射線OM從OC位置出發(fā)以每秒10°的速度繞著點O逆時針方向旋轉，設旋轉時間為①求當t為何值時，【OB,OM】的皮線與OC垂直？②若有射線ON從OD位置與射線OM同時出發(fā)以每秒5°的速度繞著點O順時針方向旋轉，并與射線OM同時停止運動，求當t為何值時，OM、OB、ON三條射線中恰好能使得其中一條為其余兩條的好線（直接寫出答案）．【答案】（1）OD，【OB,OC】，（2）120°；（3）①10.5；②t=8.4或667或78【分析】（1）根據(jù)好線與皮線的定義，即可得到答案；（2）設【OC，OD】的好線為OE，則∠COE=2∠EOD，進而即可求解；（3）①設【OB,OM】的皮線為ON，則∠NOB=2∠MON，從而求得OM轉過的角度為105°，進而即可求解；②分三種情況：（a）當OB是好線，則∠NOB=2∠MOB或∠MOB=2∠NOB，（b）當ON是好線，則∠BON=2∠MON或2∠BON=∠MON，（c）當OM是好線，則∠BOM=2∠MON或2∠BOM=∠MON，分別求解即可．【詳解】（1）∵∠AOD=∠DOC=∠COB=20°，∴∠BOD=2∠AOD，∠BOD=2∠BOC且OD在∠BOC之外，∴射線OD是【OB,OA】的好線，又是【OB,OC】的皮線，故答案是：OD，【OB,OC】，（2）設【OC，OD】的好線為OE，∵OE是【OC，OD】的好線，∴∠COE=2∠EOD，∵∠BOD=30°，∠AOC=60°，∴∠COD=90°，∴∠COE+∠EOD=90°，∴∠COE=60°，∴∠AOE=∠COE+∠AOC=120°，∴【OC,OD】的好線與OA的夾角為120°；（3）①設【OB,OM】的皮線為ON，則∠NOB=2∠MON，∵∠AOC=60°，∴∠BOC=180°-60°=120°，若【OB,OM】的皮線與OC垂直，即ON⊥OC，則∠NOB=∠BOC-90°=30°，∴∠MOB=12∠NOB∴OM轉過的角度為105°，∴t=105°÷10°=10.5，即當t=10.5秒時，【OB,OM】的皮線與OC垂直；②分三種情況：（a）OB是好線，若∠NOB=2∠MOB，則30°-5t=2(120°-10t)，解得：t=14，∵0＜t＜12，∴t=14舍去，若∠MOB=2∠NOB，則2(30°-5t)=120°-10t，此時無解；（b）ON是好線，若∠BON=2∠MON，則5t-30°=2（120°-10t-5t+30°），解得：t=667若2∠BON=∠MON，則2（5t-30°）=120°-10t-5t+30°，解得：t=8.4；（c）OM是好線，若∠BOM=2∠MON，則120°-10t=2(5t+10t-120°-30°)，解得：t=10.5，若2∠BOM=∠MON，則2（120°－10t）=5t＋10t－120°－30°，解得：t=787綜上所述：當t=8.4或667或787或10.5秒時，OM、OB、【點睛】本題主要考查幾何圖形中角的和差倍分運算，角平分線的定義以及一元一次方程的應用，理解“好線”與“皮線”的定義，掌握分類討論思想方法，是解題的關鍵．16．（2022·廣東汕頭·七年級期末）已知∠AOB=150°，射線OP從OB出發(fā)，繞O逆時針以1°/秒的速度旋轉，射線OQ從OA出發(fā)，繞O順時針以3°/秒的速度旋轉，兩射線同時出發(fā)，運動時間為t秒0<t≤60（1）當t=12秒時，求∠POQ；（2）當OP⊥OQ，求t的值；（3）射線OP，OQ，OB，其中一條射線是其他兩條射線所形成的角的平分線，求t的值．【答案】（1）∠POQ=102°；（2）當t=15或60時，OP⊥OQ；（3）當t=30或3007時，OP、OQ、OB【分析】（1）分別算出t=12秒時OP,OQ轉過的角度，用∠AOB=150°減去轉過的角度即可；（2）分兩種情況進行討論：相遇前OP⊥OQ以及相遇后OP⊥OQ，分別計算即可；（3）分三種情況進行討論：當OP平分∠QOB時；當OQ平分∠POB時；當OB平分∠POQ時；分別進行計算即可．【詳解】（1）當t=12時，∠AOQ=12×3°=36°，∠POB=12×1°=12°∴∠POQ=∠AOB?∠AOQ?∠POB=150°?36°?12°=102°．（2）∠AOP=3t，∠POB=t，OQ與OP相遇前，當0≤t≤37.5時，∠POQ=150?∠AOQ?∠POB=150?4t∵OP⊥OQ，∴150°?4t=90°，t=15，OQ與OP相遇后，37.5<t≤50時，∠POQ=∠POB?150?∠AOQ∴OP不垂直O(jiān)Q，當50<t≤60時，∠POQ=∠POB+∠AOQ?150∵OP⊥OQ，，∴4t?150=90°，t=60，綜上所述，當t=15或60時，OP⊥OQ．（3）當OP平分∠QOB時，∠POQ=∠POB=1∴150?4t=t，t=30，當OQ平分∠POB時，∠POQ=∠QOB=1127t=300，t=300當OB平分∠POQ時，∠POB=∠QOB，t=3t?150，t=75（不合題意），綜上所述，當t=30或3007OP、OQ、OB其中一條射線是其他兩條射線所形成的角的平分線．【點睛】本題考查了角的計算、角的和差，角平分線的定義等知識，正確的識別圖形是解題的關鍵．17．（2022·湖北武漢·七年級期末）問題背景整體思想就是從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目的、有意識的整體處理，整體思想在代數(shù)和幾何中都有很廣泛的應用．(1)如圖1，A、B、O三點在同一直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，則∠DOE的度數(shù)為（直接寫出答案）．(2)當x＝1時，代數(shù)式ax3+bx+2021的值為2020，當x＝﹣1時，求代數(shù)式ax3+(3)①如圖2，點C是線段AB上一定點，點D從點A、點E從點B同時出發(fā)分別沿直線AB向左、向右勻速運動，若點E的運動速度是點D運動速度的3倍，且整個運動過程中始終滿足CE＝3CD，求ACAB②如圖3，在①的條件下，若點E沿直線AB向左運動，其它條件均不變．在點D、E運動過程中，點P、Q分別是AE、CE的中點，若運動到某一時刻，恰好CE＝4PQ，求此時ADAB【答案】(1)90°(2)2022(3)①14；②112【分析】（1）根據(jù)題意，∠DOE=∠DOC+∠COE，∠DOE=12∠AOC，∠COE=12∠BOC，結合∠AOC+∠（2）根據(jù)題意，得到a+b=-1，變形-a-b=1，整體代入計算求值即可．（3）①設點D運動的路程為x，則點E運動的路程為3x，則CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，代入已知CE＝3CD中，化簡得到CB=3AC，代入計算即可．②分點E在C點的右側，點E在C點的左側，且在點A的右側，點E在A點的左側三種情況求解即可．（1）解：如圖1，∵射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC=12∠AOC，∠COE=12∠∵∠DOE=∠DOC+∠COE，∴∠DOE=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=12故答案為：90°．（2）∵當x＝1時，代數(shù)式ax3+bx∴a+b+2021=2020，∴a+b=-1，∴-a-b=1，當x＝﹣1時，ax3+bx=-a-b+2021=1+2021=2022．（3）①如圖2，設點D運動的路程為x，則點E運動的路程為3x，∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，∵CE＝3CD，∴BC+3x=3CA+3x，∴CB=3AC，∴AB=CB+AC=4AC，∴ACAB=1②根據(jù)①，設AC=m，則CB=3m，AB=4m，設點D運動的路程為AD=x，則點E運動的路程為EB=3x，當點E在C點的右側時，如圖3，∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x，∵點P、Q分別是AE、CE的中點，∴PE=12AE，QE=∴PQ=PE-QE=12AE-12∵CE＝4PQ，∴3m-3x=4×m2解得x=m3故AD=m3∴ADAB=m當點E在C點的左側，且在點A的右側時，如圖4，∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，∵點P、Q分別是AE、CE的中點，∴PE=12AE，QE=∴PQ=PE+QE=12AE+12∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×m2解得x=5m3故AD=5m3∴ADAB=m當點E在A點的左側時，如圖5，∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，∵點P、Q分別是AE、CE的中點，∴PE=12AE，QE=∴PQ=PE+QE=12AE+12∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×m2解得x=5m3故AD=5m3∴ADAB=5m綜上所述，ADAB的值為112或【點睛】本題考查了角的計算，代數(shù)式的值，線段的計算，熟練掌握整體思想，運用方程思想、分類思想求解是解題的關鍵．18．（2022·四川·麓山師大一中七年級階段練習）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=3∠AOC，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉45°至圖2的位置，則∠MOC=______°．（2）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部，試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由．（3）將圖1中的三角尺繞著點O以每秒15°的速度按逆時針方向旋轉；同時，射線OC也繞著點O以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉，當一方先完成旋轉一周時停止，另一方同時也停止轉動，當射線OC恰好平分∠MON時，求此時三角板繞點O的運動時間t的值．【答案】（1）90；（2）∠AOM=∠CON+45°；（3）18s【分析】（1）先根據(jù)平角定義結合已知條件求出∠AOC和∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)旋轉角的定義即可得到結論；（2）根據(jù)余角定義把∠AOM用∠AON表示出來，再把∠CON用∠AON表示出來，求∠AOM與∠CON的差，即可得到結論；（3）先根據(jù)已知條件設OM的旋轉角度為15t，OC的旋轉角度為5t，再根據(jù)OM比OC多旋轉180°，列出方程即可得到結論；【詳解】（1）∵∠BOC=3∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，∴3∠AOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=45°，∠BOC=145°，由題意可知，∠BOM=45°，∴∠COM=∠BOC?∠BOM=90°．（2）當ON在∠AOC內(nèi)部時，∠AON+∠CON=45°，又∵∠AON+∠AOM=90°，∴∠AOM?∠CON=45°，即∠AOM=∠CON+45°．（3）射線OM的旋轉速度為15°/s，射線OC的旋轉速度為5°/s，則tmax由題意可知，當OC平分∠MON時，OM恰好在OC前方45°，則OM比OC多旋轉135°+45°=180°，則15t?5t=180，解得：t=18，即此時三角板繞點O的運動時間為18s【點睛】本題考查角的計算，關鍵是應該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關系是解題的關鍵．19．（2022·山東臨沂·七年級期末）已知∠AOB=150°，OC為∠AOB內(nèi)部的一條射線，∠BOC=60°．（1）如圖1，若OE平分∠AOB，OD為∠BOC內(nèi)部的一條射線，∠COD=12∠BOD（2）如圖2，若射線OE繞著O點從OA開始以15度/秒的速度順時針旋轉至OB結束、OF繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉至OA結束，運動時間t秒，當∠EOC=∠FOC時，求t的值．【答案】（1）35°；（2）3s或7.5s或24s【分析】（1）根據(jù)∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；（2）分三種情形列出方程即可解決問題．【詳解】解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，∴∠EOB=12∠AOB∵∠BOC=60°，∠COD=12∠BOD∴∠BOD=40°，∠COD=20°，∴∠EOD=∠EOB-∠DOB=75°-40°=35°．（2）當OE在∠AOC內(nèi)部時，∵∠EOC=∠FOC，∴90-15t=60-5t，解得：t=3．當OE與OF重合時，15t+5t=150，解得：t=7.5．當OE與OB重合時，OF仍在運動，此時∠EOC=60°，此時OF在∠AOC內(nèi)部，且∠FOC=60°，∴t=1205綜上所述，當∠EOC=∠FOC時，t=3s或7.5s或24s．【點睛】本題考查角的計算、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握角的和差定義，靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．20．（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖1，平面內(nèi)一定點A在直線EF的上方，點O為直線EF上一動點，作射線OA、OP、OA'，當點O在直線EF上運動時，始終保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，將射線OA繞點O順時針旋轉60°得到射線OB．（1）如圖1，當點O運動到使點A在射線OP的左側，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度數(shù)；（2）當點O運動到使點A在射線OP的左側，且∠AOE＝3∠A'OB時，求∠AOF∠AOP（3）當點O運動到某一時刻時，∠A'OB＝130°，請直接寫出∠BOP＝_______度．【答案】（1）50°；（2）103【分析】（1）根據(jù)OA′平分∠POB,設∠POA′＝∠A′OB＝x，根據(jù)題意列方程即可求解；（2）分射線OB在∠POA′內(nèi)部和射線OB在∠POA′外部兩種情況分類討論，分別設∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，分別求出x的值，即可求值；（3）根據(jù)題意分類討論，根據(jù)周角定義分別求出∠A'OA，再根據(jù)∠AOP＝∠A'OP，結合已知即可求解．【詳解】解：(1)∵OA′平分∠POB，∴設∠POA′＝∠A′OB＝x，∵∠AOP＝∠A′OP=x，∵∠AOB＝60°，∴x＋2x＝60°，∴x＝20°，∴∠BOF＝90°－2x＝50°；(2)①當點O運動到使點A在射線OP的左側，射線OB在∠POA′內(nèi)部時，∵∠AOE＝3∠A′OB，∴設∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，∵OP⊥EF，∴∠AOF＝180°－3x，∠AOP＝90°－3x，∴∠AOF∠AOP∵∠AOP＝∠A′OP，∴∠AOP＝∠A′OP＝60°+x2∴OP⊥EF，∴60°+x2＋3x∴x＝120°7∴∠AOF∠AOP②當點O運動到使A在射線OP的左側，但是射線OB在∠POA′外部時，∵∠AOE＝3∠A′OB，設∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，∴∠AOP＝∠A′OP＝60°?x2∴OP⊥EF，∴3x＋60°?x2∴x＝24°，∴∠AOF∠AOP綜上所述：∠AOF∠AOP的值是10(3)∠BOP＝95°或145°；①如圖3，當∠A'OB＝130°時，由圖可得：∠A'OA＝∠A'OB－∠AOB＝130°－60°＝70°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝35°，∴∠BOP＝60°＋35°＝95°；②如圖4，當∠A'OB＝130°時，由圖可得∠A'OA＝360°－130°－60°＝170°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝85°，∴∠BOP＝60°＋85°＝145°；綜上所述：∠BOP的度數(shù)為95°或145°．【點睛】本題考查了角平分線的的定義和角的和差計算，根據(jù)題意正確畫出圖形進行分類討論是解題關鍵．21．（2022·福建·莆田華亭第一中學七年級期末）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；（2）如圖2，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線相交于E、F，則∠EAF=______°；在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求∠ABO的度數(shù)．【答案】（1）∠AEB的大小不變，為135°；（2）90；∠ABO為60°或45°．【分析】（1）根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線得出∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠（2）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，進而得出∠E的度數(shù)，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△【詳解】解：（1）∠AEB的大小不變，∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠∴∠BAE+∠ABE=12(∠OAB+∠ABO)=1∴∠AEB=135°；（2）∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，∴∠EAO=12∠BAO，∠FAO=12∠∴∠EAF=12(∠BAO+∠GAO)=1故答案為：90；∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠∴∠E=∠EOQ-∠EAO=12(∠BOQ-∠BAO)=12∠即∠ABO=2∠E，在△AEF中，∵有一個角是另一個角的3倍，故分四種情況討論：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，則∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°(舍去)；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°(舍去)．∴∠ABO為60°或45°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質以及角平分線的定義的運用，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關鍵．22．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC:∠BOC=2:1將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角形板繞點O按照順時針方向旋轉至圖2的位置，使得OM落在射線OA上，此時ON旋轉的角度是____°；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按順時針方向旋轉至圖3的位置，使得OM在∠BOC的內(nèi)部，則∠BON?∠COM=_____________°；（3）在上述直角板從圖1旋轉到圖3的位置的過程中，若三角板繞點O按每秒鐘15°的速度旋轉，當OM恰好為∠BOC的平分線時，此時，三角板繞點O【答案】（1）90；（2）30；（3）16．【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質可知,旋轉角為∠MON;(2)如圖3,利用平角的定義,結合已知條件:∠AOC:∠BOC=1：2,求得∠AOC=60°,然后由直角的性質、圖中角與角的數(shù)量關系推知∠AOM-∠NOC=30°;(3)需要分類討論:當OM平分∠BOC時,旋轉角是60°;當ON平分∠AOC時,旋轉角為240°．【詳解】解:（1）根據(jù)旋轉的性質可知:旋轉角為∠MON=90°,故答案為90．（2）如圖3,∠AOM-∠NOC=30°,理由如下:∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC:∠BOC=1:2,∴∠AOC+2∠AOC=180°,∴∠AOC=60°，∴∠AON+CON=60°,①∵∠MON=90°,∴∠AOM+∠AON=90°,②②-①,得∠AOM-∠CON=30°．（3）16．理由:如圖,因點O為直線AB上一點,∠AOC:∠BOC=2:1,所以∠AOC=120當OM恰好為∠BOC的平分線時,如圖所示:∠AOC=1因為OM旋轉的角度=90所以此時三角板繞點O運動的時間為24015所以當OM恰好∠BOC的平分線時,三角板繞點O的運動時間為16秒．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質和角的計算,解決本題的關鍵是運用分類討論思想,以防漏解．23．（2022·福建三明·七年級期末）一副三角尺按照如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器0刻度線重合，邊AP與量角器180°刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點P以每秒4°的速度順時針旋轉，當邊PB與0°刻度線重合時停止運動.設三角尺ABP的運動時間為t（秒）（1）當t=5秒時，邊PB經(jīng)過的量角器刻度線對應的度數(shù)為_;（2）t=秒時，邊PB平分∠CPD;（3）若在三角尺ABP開始旋轉的同時，三角尺PCD也繞點P以每秒1°的速度逆時針旋轉，當三角尺ABP停止旋轉時，三角尺PCD①當t為何值時，邊PB平分∠CPD;②在旋轉過程中，是否存在某一時刻，使得∠BPD:∠APC=3:2.若存在，請求出t的值;若不存在，請說明理由.【答案】（1）115°；（2）26.25；（3）①21秒，②t=18秒或25.2秒【分析】（1）t=0秒時，邊PB經(jīng)過量角器刻度對應的度數(shù)是13