權(quán)的定義課件

第一章觀測誤差及其傳播權(quán)的定義？1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法？如圖所示，在水準(zhǔn)測量中，A、B、C為三個已知點，P為待定點，由3個已知點分別向待定點做水準(zhǔn)測量，假設(shè)每公里的觀測精度相同，而三條水準(zhǔn)路線的長度不同，分別為S1、S2、S3，最終P點高程如何計算？取三次測量的平均值可以嗎？設(shè)三條水準(zhǔn)路線求得的P點高程分別為：則：權(quán)的原始語義之一，就是秤錘的意思?！稄V雅·釋器》曰：“錘，謂之權(quán)”。權(quán)的定義1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)的定義表示各觀測值方差之間按比例關(guān)系的數(shù)字特征——權(quán)數(shù)學(xué)描述：設(shè)有觀測值他們的方差為如選定任一常數(shù)則定義的權(quán)。為觀測值稱權(quán)之間的比例關(guān)系:權(quán)之比=相應(yīng)方差倒數(shù)之比權(quán)的定義1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法例：已知水準(zhǔn)網(wǎng)所有水準(zhǔn)路線等精度，且各條路線的距離為假定每公里觀測高差的中誤差為得權(quán)各線路觀測高差的中誤差：若若得權(quán)權(quán)之間比例：權(quán)的定義3.權(quán)是用來比較各觀測值間精度高低的，是相對精度指標(biāo)，權(quán)的意義不在于其本身數(shù)值大小，重要是其之間的比例關(guān)系.對于單個觀測值而言，權(quán)無意義。1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法權(quán)的性質(zhì)：1.選定一個值，即有一組對應(yīng)的權(quán)。反之亦成立。4.為了使權(quán)能起到比較精度高低的作用，同一問題只能選定一個值。2.一組觀測值的權(quán)，其大小隨著的不同而異，但不論選用何值，權(quán)之間的比例關(guān)系不變。6.事先給出一定的條件，就可以確定出觀測值的權(quán)的數(shù)值。5.權(quán)與中誤差的平方成反比，中誤差越小，權(quán)越大，表明觀測值越可靠。權(quán)的定義1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法二、單位權(quán)中誤差權(quán)等于1的觀測值稱為單位權(quán)觀測值權(quán)等于1的觀測值的方差稱為單位權(quán)方差，也稱為方差因子權(quán)等于1的觀測值的中誤差稱為單位權(quán)中誤差權(quán)的單位基礎(chǔ)概念同類觀測值：權(quán)是無量綱，無單位不同類觀測值：權(quán)有單位例：邊角網(wǎng)中設(shè)測角中誤差單位為“秒”，測邊中誤差單位為“mm”若單位取“秒”，則角度的權(quán)無單位，邊長的權(quán)的單位為若單位取“mm”，則邊長的權(quán)無單位，角度的權(quán)的單位是權(quán)的定義1.設(shè)單位長度（例如一公里）的距離觀測值的方差為，則全長為S公里的距離觀測值的方差為取長度為C公里的距離觀測值方差為單位權(quán)方差，即：則距離觀測值的權(quán)為：1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法三、定權(quán)常用方法1.距離觀測值的權(quán)2.設(shè)長度為S公里的距離觀測值的方差為，和分別為測距固定誤差和比例誤差。取單位權(quán)方差則距離觀測值的權(quán)為：1.設(shè)單位長度（例如一公里）的距離觀測值的方差為，則全長為S公里的距離觀測值的方差為取長度為C公里的距離觀測值方差為單位權(quán)方差，即：則距離觀測值的權(quán)為：權(quán)的定義1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法設(shè)每站觀測高差精度相同，其中誤差均為如圖所示，在水準(zhǔn)網(wǎng)中，有n=7條水準(zhǔn)路線，現(xiàn)沿每一條路線測定兩點間的高差，得各路線的觀測高差為，各路線的測站數(shù)分別為由協(xié)方差傳播律得，各觀測高差的中誤差為設(shè)單位權(quán)中誤差為：由權(quán)定義得：且有關(guān)系：權(quán)的定義1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法2.水準(zhǔn)測量的權(quán)1.若每一測站觀測高差的精度相同，其方差均為；第i條水準(zhǔn)線路的觀測高差為，測站數(shù)為,則第i條水準(zhǔn)線路（觀測高差）的方差為：取測站數(shù)為C的高差觀測值為單位權(quán)方差：則第i條水準(zhǔn)線路（觀測高差）的權(quán)為：若某段高差的測站數(shù)，則他的權(quán)為當(dāng)時，有C的兩個意義：（1）C是1測站的觀測高差的權(quán)；（2）C是單位權(quán)觀測高差的測站數(shù)各測站觀測高差同精度時，各路線的權(quán)與測站數(shù)成反比權(quán)的定義1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法由協(xié)方差傳播律得，各觀測高差的中誤差為設(shè)單位權(quán)中誤差為：由權(quán)定義得：且有關(guān)系：在水準(zhǔn)測量中，若已知每一公里的觀測高差的中誤差均相等，設(shè)為已知各路線的觀測距離為權(quán)的定義1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法2.水準(zhǔn)測量的權(quán)則第i條水準(zhǔn)線路（觀測高差）的方差為：2.設(shè)每公里的觀測高差的方差均相等，均為；第i條水準(zhǔn)線路的觀測高差為，長度為公里，則線路長度為公里的觀測高差的權(quán)為：取線路長度為C公里的觀測高差的方差為單位權(quán)方差：若某段高差的測站數(shù)，則他的權(quán)為當(dāng)時，有C的兩個意義：（1）C是1公里的觀測高差的權(quán)；（2）C是單位權(quán)觀測高差的公里數(shù)每公里觀測高差同精度時，各路線的權(quán)與距離數(shù)成反比權(quán)的定義1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法在水準(zhǔn)測量中，究竟是用水準(zhǔn)路線的距離S定權(quán)，還是用測站數(shù)定權(quán)，要是具體情況而定。一般來說，起伏不大的地區(qū)，每公里的測站數(shù)大致相同，可按水準(zhǔn)路線的距離定權(quán)；而起伏較大的地區(qū)，每公里測站數(shù)相差較大，則按測站數(shù)定權(quán)。權(quán)的定義設(shè)有，它們分別是次同精度觀測值的平均值，若每次觀測的方差均為，則的方差為

則算術(shù)平均值的權(quán)為：1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法3.同精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán)?。喝袅?，則他的權(quán)為當(dāng)時，有C的兩個意義：（1）C是1次的觀測的權(quán)倒數(shù)；（2）C是單位權(quán)觀測值的觀測次數(shù)權(quán)的定義邊長觀測值的權(quán)：則方向觀測值的權(quán)：（無單位）。邊長觀測值的方差為（、或）1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法4．邊角網(wǎng)中方向觀測值和邊長觀測值的權(quán)邊角網(wǎng)中有兩類不同量綱的觀測值：方向（或角度）和邊長。?。涸O(shè)方向觀測值的方差為（），權(quán)的定義1-5權(quán)與定權(quán)的常用方法注意：在測量工作中，一般是先根據(jù)事先給定的條件，按上述方法確定觀測值權(quán)，然后進(jìn)行平差，再根據(jù)權(quán)的定義式的變形公式，來求觀測值或其他函數(shù)的中誤差。權(quán)變形公式適用范圍：該公式不僅適合于觀測值，同時也適合于觀測值的函數(shù)。權(quán)的定義今天你會定權(quán)了嗎？權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律一、協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)陣為的協(xié)因數(shù)為的協(xié)因數(shù)為關(guān)于的協(xié)因數(shù)或相關(guān)權(quán)倒數(shù)權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律由此可得：協(xié)因數(shù)陣協(xié)因數(shù)陣的特點：1.主對角元素是隨機變量的協(xié)因數(shù)，即權(quán)倒數(shù)。2.非主對角元素是隨機變量關(guān)于隨機變量的互協(xié)因數(shù)，且有，因此協(xié)因數(shù)陣也為對稱陣。3.表明隨機變量與隨機變量獨立，不相關(guān)。權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律二、互協(xié)因數(shù)陣設(shè)有觀測向量和，它們的方差陣分別為和，關(guān)于的互協(xié)方差陣為，令為的協(xié)因數(shù)陣為的協(xié)因數(shù)陣為關(guān)于的互協(xié)因數(shù)陣權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律說明：中的對角元素是各個的權(quán)倒數(shù)，非對角元素是關(guān)于的相關(guān)權(quán)倒數(shù)。2.中的元素就是關(guān)于的相關(guān)權(quán)倒數(shù)。

和為和的權(quán)逆陣；為關(guān)于的相關(guān)權(quán)逆陣。二、互協(xié)因數(shù)陣4.因，所以。

和是相互獨立的觀測向量。5.權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律三、權(quán)陣設(shè)有獨立觀測值，其方差為，權(quán)為，單位權(quán)方差為。X的協(xié)因數(shù)陣為：則有：1.是由獨立觀測值的權(quán)構(gòu)成的對角陣。

與權(quán)逆陣（協(xié)因數(shù)陣）互為逆陣，通常稱為的權(quán)陣權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律1.獨立觀測值的協(xié)因數(shù)陣、權(quán)陣是對角陣，主對角元素就是相應(yīng)觀測值的權(quán)。2.當(dāng)觀測值相關(guān)，其協(xié)因數(shù)陣是非對角陣，權(quán)陣的主對角元素不再是相應(yīng)觀測值的權(quán)。三、權(quán)陣權(quán)陣說明：則，稱為的權(quán)陣。對于相關(guān)的觀測向量，我們令權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律例：已知觀測值向量的權(quán)陣為，試求觀測值的權(quán)解：觀測值向量的協(xié)因數(shù)陣由協(xié)因數(shù)的定義可知：說明：當(dāng)觀測值相關(guān)，其協(xié)因數(shù)陣是非對角陣，權(quán)陣的主對角元素不再是相應(yīng)觀測值的權(quán)。權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律四、協(xié)因數(shù)傳播律設(shè)有觀測值向量和的線性函數(shù)根據(jù)協(xié)方差傳播律：顧及協(xié)方差陣與協(xié)因數(shù)陣的關(guān)系：化簡得：協(xié)因數(shù)傳播律廣義傳播律1.線性函數(shù)權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律如果Z和W的各個分量是X和Y的非線性函數(shù)2.非線性函數(shù)求微分法，線性化協(xié)因數(shù)傳播律權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律3.獨立觀測值對于獨立觀測值，假定各的權(quán)為則的權(quán)陣、協(xié)因數(shù)陣均為對角陣若有函數(shù)權(quán)倒數(shù)傳播律權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律例：設(shè)獨立觀測值的權(quán)均為，試求算術(shù)平均值的權(quán)解：由此知：算術(shù)平均值之權(quán)等于觀測值之權(quán)的n倍權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律例：設(shè)獨立觀測值的權(quán)均為，試求的權(quán)解：此時x為帶權(quán)平均值，帶權(quán)平均值的權(quán)等于各觀測值權(quán)之和應(yīng)用權(quán)倒數(shù)傳播律：權(quán)的定義1-6協(xié)因數(shù)與協(xié)因數(shù)傳播律例：設(shè)有函數(shù)：X的協(xié)因數(shù)，Y的協(xié)因數(shù)，X關(guān)于Y的互協(xié)因數(shù)陣為（），又為常系數(shù)陣。求解：權(quán)的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用

一、用不同精度的真誤差計算單位權(quán)中誤差的基本公式設(shè)有一組同精度獨立觀測值，且其數(shù)學(xué)期望為，真誤差為，，，有觀測值的中誤差為當(dāng)為有限值時得到中誤差的估值為同精度獨立的真誤差計算中誤差式（2）式（1）權(quán)的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用

若為一組不同精度的獨立觀測值，的數(shù)學(xué)期望、方差和權(quán)分別為和，由權(quán)的定義得：單位權(quán)中誤差若單位權(quán)中誤差已知，則可求得各觀測值的中誤差問題：如何利用一組不同精度的真誤差來求得單位權(quán)中誤差現(xiàn)設(shè)是一組同精度，且權(quán)的獨立真誤差：？通過前面介紹我們知道，為了單位權(quán)中誤差，應(yīng)需要得到一組精度相同且權(quán)為1的獨立的真誤差，得到此組真誤差后就可按照式（1）或（2）求解設(shè)：權(quán)倒數(shù)傳播律：式（3）權(quán)的定義由式（2）知由此可知通過式（3）求得的是一組同精度且權(quán)為1的真誤差，由于是獨立真誤差，故也是一組獨立真誤差，即有1-7由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用

理論值估值不同精度獨立的真誤差計算單位權(quán)中誤差權(quán)的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用

二、由真誤差計算中誤差的實際應(yīng)用一般情況：觀測量真值（或數(shù)學(xué)期望）不知，因此真誤差不知，因此不能直接利用公式求解中誤差或方差。然而，某些情況下，由若干個觀測量組成的函數(shù)，其真值已知，故真誤差可知。如，一個三角形內(nèi)角和為180°，三角形閉合差就是三角形內(nèi)角觀測值之和的真誤差。（一）由三角形閉合差求測角中誤差設(shè)在一個三角網(wǎng)中，以同精度獨立觀測了各三角形之內(nèi)角，由各觀測角值計算而得的三角形閉合差分別為，他們?yōu)檎嬲`差，由公式得三角形內(nèi)角和中誤差為：由于設(shè)測角方差均為菲列羅公式權(quán)的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用

二、由真誤差計算中誤差的實際應(yīng)用（二）由雙觀測值之差求中誤差在測量工作中，常常對一系列被觀測量分別進(jìn)行成對觀測，這種成對觀測稱為雙觀測。設(shè)對量，分別觀測兩次，得獨立觀測值和權(quán)：第一次：第二次：權(quán)：觀測值和是對同一量的兩次觀測的結(jié)果，稱為一個觀測對，這種成對的觀測，稱為雙觀測。設(shè)對內(nèi)精度相同，對間精度不同。兩次觀測值的差數(shù)：差數(shù)的真誤差就是差數(shù)本身：權(quán)的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用

由權(quán)倒數(shù)傳播律得：由雙觀測值之差求得的單位權(quán)方差觀測值和的方差第i對觀測值平均值的方差權(quán)的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用

例：設(shè)分5段測定A、B兩水準(zhǔn)點間的高差，每段各測兩次，其結(jié)果列于下表中，試求：（1）每公里觀測高差的中誤差；（2）第二段觀測高差的中誤差；（3）第二段高差的平均值的中誤差；（4）全長一次（往測或返測）觀測高差的中誤差及全長平均值的中誤差段號高差（m）距離S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.7044.03.22.02.63.4權(quán)的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用

解：（1）單位權(quán)中誤差（每公里觀測高差的中誤差）為段號高差（m）距離S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.63.416.020.024.524.67.4[]15.292.5權(quán)的定義1-7由真誤差計算中誤差及其實際應(yīng)用

段號高差（m）距離S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.36