直線與圓的位置-教學(xué)設(shè)計(jì)

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課程基本信息課題2.5.1直線與圓的位置關(guān)系教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.理解直線與圓的位置關(guān)系，掌握對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷的兩種方法.2.類比直線與直線研究位置關(guān)系的方法，探究用方程判斷直線與圓位置關(guān)系的方法.3.運(yùn)用直線與圓的方程的不同形式、位置關(guān)系的不同表達(dá)方式，實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.教學(xué)重點(diǎn)：利用方程表達(dá)、判斷直線與圓的位置關(guān)系.用坐標(biāo)法解決幾何問題.教學(xué)難點(diǎn)：1.利用直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系.2.理解代數(shù)法幾何法的關(guān)系，靈活運(yùn)用多種方式表達(dá)、判斷直線與圓位置關(guān)系.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)3分鐘（一）梳理提煉引言：前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程、圓的方程，用直線的方程研究了兩條直線的位置關(guān)系，本節(jié)課我們類比用直線的方程研究兩直線位置關(guān)系的方法，運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系.問題1直線與圓有哪些位置關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生回憶思考，教師在黑板呈現(xiàn)、整理三種位置關(guān)系的圖形表示、定義、幾何表示.在平面幾何中，直線與圓的位置關(guān)系有三種：直線與圓相交、相切、相離.設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系及其定義.追問1：如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？師生活動(dòng)：觀察圖形，我們可以通過直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判定直線與圓的位置關(guān)系--直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相交；只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相切，沒有公共點(diǎn)，直線與圓相離.追問2：還有其他判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法嗎？師生活動(dòng)：將圖中的直線看作是可以平行移動(dòng)的，直線與圓心距離的改變，出現(xiàn)了不同的位置關(guān)系.首先看相切這種特殊的位置關(guān)系，此時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑.記圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r.如果,直線與圓相交；,直線與圓相切；,直線與圓相離.這是第二種判斷直線與圓位置關(guān)系的方法---通過圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.平移直線的過程中，圓心到直線的距離的變化導(dǎo)致位置關(guān)系的變化；反之，位置關(guān)系的變化導(dǎo)致圓心到直線的距離與半徑間大小關(guān)系的變化.以相交為例，直線與圓相交、直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)、,它們之間的關(guān)系都是充分必要的.設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)平面幾何的判斷方法，引導(dǎo)學(xué)生將幾何直觀進(jìn)行定量表達(dá)，通過引言和問題1，回顧初中學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)以及本章前面所學(xué)內(nèi)容，提出本節(jié)研究的問題—利用直線與圓的方程，通過定量計(jì)算，判斷直線與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生體會(huì)這種研究思路的邏輯必然，能夠在問題的引導(dǎo)下自主提出并研究問題.位置關(guān)系相交相切相離直線與圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210d與r2分鐘（二）探究方案問題2本章我們研究直線、圓的角度是什么?師生活動(dòng)：在解析幾何中，我們用方程研究幾何圖形.點(diǎn)，我們用有序數(shù)對(duì)表示；線，用二元一次方程表示；圓，用二元二次方程表示.研究方法是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì).設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生結(jié)合問題，回顧高中研究位置關(guān)系問題的方法，通過思考，容易發(fā)現(xiàn)，本章我們?cè)谧鴺?biāo)系中建立了直線方程、圓的方程,并通過它們的方程研究與直線、圓有關(guān)的幾何問題.通過坐標(biāo)系，將幾何元素，用坐標(biāo)、方程表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì).比較高中初中研究幾何圖形方法的不同，引導(dǎo)學(xué)生考慮將直線與圓位置關(guān)系中的幾何要素用代數(shù)方法表達(dá).追問：類比兩直線位置關(guān)系的研究方法，怎樣通過代數(shù)方法，研究直線與圓的位置關(guān)系呢?師生活動(dòng)：如果兩直線相交，交點(diǎn)在“形”上的意義是，既在第一條直線上，又在第二條直線上；從“數(shù)”上理解，交點(diǎn)坐標(biāo)既滿足第一條直線方程，又滿足第二條直線方程，它是兩直線方程聯(lián)立組成的方程組的解.如果兩直線平行，則方程組無解.相交與否這一幾何位置關(guān)系問題，就可以通過方程組有無實(shí)數(shù)根的代數(shù)方法來判斷.直線與圓是否有交點(diǎn)的問題，也可以轉(zhuǎn)化為方程組的實(shí)根個(gè)數(shù)問題來解決.設(shè)計(jì)意圖:類比直線與直線的位置關(guān)系問題的解決方法，討論解析幾何研究問題的基本思路，學(xué)生可以自主尋求到將直線與圓的位置關(guān)系中的幾何元素進(jìn)行代數(shù)表達(dá)的思考方向.具體方案也已經(jīng)形成—將交點(diǎn)問題的判斷轉(zhuǎn)化為方程組實(shí)根的情況的判斷.逐步體現(xiàn)本節(jié)課問題研究的必要性.由形上的不夠嚴(yán)謹(jǐn)，過渡到利用d與r的比較，再過渡到類比直線與直線位置關(guān)系的研究方法，用方程進(jìn)行判斷.15分鐘(三)方案應(yīng)用例1已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.思路1：將判斷直線與圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解、有幾個(gè)實(shí)數(shù)解的問題;兩點(diǎn)距離公式求弦長（代數(shù)法）.,消去y,得：，因?yàn)椋匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)解，所以直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，直線l與圓C相交.解方程，得，把分別代入方程（1），得到.所以，直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)是.直線l被圓C所截得弦AB的長度.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可以類比直線與直線相交的問題，猜想出直線與圓相交問題的代數(shù)解法，從幾何到代數(shù)，再從代數(shù)回歸到幾何，總結(jié)根的判別式的代數(shù)、幾何意義.直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，相切直線與圓沒有公共點(diǎn)，相離思路2：將判斷直線與圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離與半徑的大小關(guān)系的問題；若相交，利用圓的幾何性質(zhì)--垂徑定理，解決弦長問題(幾何法).師生活動(dòng)：將圓C的一般方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo),半徑，則圓心到直線l的距離為由于d<r,直線l與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l與圓C相交.由垂徑定理，弦AB的長度.設(shè)計(jì)意圖：解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題，但其本質(zhì)仍是幾何問題.分析、解決問題的首選，是利用幾何圖形的性質(zhì).在學(xué)習(xí)了純代數(shù)的方法，即高中解析幾何給我們提供的解法后，將幾何圖形放在坐標(biāo)系里，用方程研究之后，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問，將幾何圖形放在坐標(biāo)系下了，幾何圖形的性質(zhì)仍成立.直線與圓的位置關(guān)系，可以由公共點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷，也可以綜合使用幾何方法，由d與r的大小關(guān)系判斷.在上述解法中，從幾何圖形上考慮，引導(dǎo)學(xué)生思考利用方程，求出圓心到直線的距離，判斷直線與圓的位置關(guān)系,垂徑定理求弦長.同時(shí)比較，方法一、二，都是對(duì)同樣的幾何元素進(jìn)行代數(shù)表達(dá)，整理得到的結(jié)論也指向的是同樣的幾何圖形的位置關(guān)系.對(duì)用方程研究直線與圓的位置關(guān)系問題的方法進(jìn)行歸納、整理.例2過點(diǎn)P(2,1)作圓O：的切線l，求切線l方程.追問1：過一點(diǎn)作圓的切線，能做出幾條?師生活動(dòng)：從幾何圖形上分析，題目中說:過一點(diǎn)做圓的切線，能做出幾條？這首先涉及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，我們可以畫圖判斷，同時(shí)把幾何條件整理出來；當(dāng)然，還可以把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程進(jìn)行判斷.點(diǎn)在圓外.過圓外一點(diǎn)可以作圓的兩條切線.設(shè)計(jì)意圖：分析幾何條件，師生一起畫圖、（用代數(shù)、幾何兩種判斷方法進(jìn)行），判斷點(diǎn)在圓外，回憶.在分析點(diǎn)與圓位置關(guān)系時(shí)，又一次利用幾何、代數(shù)兩種思路去解決，不斷提示學(xué)生，在分析幾何問題時(shí)可以向兩個(gè)方向展開思考.追問2：如何用代數(shù)方法表示直線與圓相切？師生活動(dòng)：如何表達(dá)直線與圓相切？（板書）過一個(gè)點(diǎn)，做圓的切線，又回到了線圓位置關(guān)系問題上.上面我們一起分析處理了直線與圓的三種位置關(guān)系，從不同角度去刻畫位置關(guān)系，是解決這一問題的關(guān)鍵.相切，有幾種方式表示？--公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根的判別式，d與r的比較.設(shè)計(jì)意圖:鞏固代數(shù)方法解決幾何問題的思路，引出本題，指明聯(lián)系，分析區(qū)別.追問3：直線方程選擇什么形式？已知直線過一定點(diǎn)，表達(dá)它還需要確定一個(gè)要素，要么補(bǔ)充直線的斜率，要么補(bǔ)充另一個(gè)點(diǎn)，都可確定直線的方程.無論選擇哪種形式的直線方程，都可以用兩種思路--思路1：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為由它們的方程組成的方程組只有一組解，，從而確定直線斜率，進(jìn)而確定直線方程.思路2：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離等于半徑或者圓外一點(diǎn)與切點(diǎn)連線與過切點(diǎn)的半徑垂直等幾何特征，從而確定直線的方程.設(shè)計(jì)意圖：課標(biāo)在本章的發(fā)展要求中明確指出，需要學(xué)生根據(jù)給定的條件，靈活選取適當(dāng)形式的直線方程，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求直線方程.無論選擇用哪種代數(shù)形式表示直線，都可以用以下兩種思路--思路1：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為由它們的方程組成的方程組只有一組解，，從而確定直線方程中的參數(shù).（代數(shù)法）；思路2：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離等于半徑或者圓外一點(diǎn)與切點(diǎn)連線與過切點(diǎn)的半徑垂直等等幾何特征，從而確定直線方程中的參數(shù).（幾何法）在設(shè)兩點(diǎn)式的過程中由于參數(shù)是兩個(gè)，因此計(jì)算過程比設(shè)點(diǎn)斜式要繁復(fù)，那么如果利用切點(diǎn)的其他幾何性質(zhì)是否可以簡化運(yùn)算呢？我們知道，由于直線與圓相切，設(shè)切點(diǎn)A，則,可以利用斜率之間的等量關(guān)系去翻譯，也可以規(guī)避斜率是否存在的問題，轉(zhuǎn)化為向量進(jìn)一步刻畫，.或由于，直線與圓的兩個(gè)切點(diǎn)，可以看作是以O(shè)P中點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓相交得到，因此也可以聯(lián)立兩個(gè)圓方程，求兩圓公共弦所在直線方程，再聯(lián)立找到切點(diǎn)，確定；同學(xué)們還會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩切點(diǎn)的連線方程是可求的，通過這條直線與圓的交點(diǎn)，也可以計(jì)算出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到切線方程.思路1：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為由它們的方程組成的方程組只有一組解，，從而確定直線方程中的參數(shù).（代數(shù)法）思路2：將直線與圓的位置關(guān)系—相切，轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離等于半徑，從而確定直線方程中的參數(shù),也可以通過與圓外一點(diǎn)連線垂直于過切點(diǎn)的半徑；或兩切點(diǎn)的連線被圓外一點(diǎn)于圓心連線垂直平分等幾何性質(zhì)，建立方程.（幾何法）下面我們以設(shè)立點(diǎn)斜式，利用的方法為例，將題目完整解決.首先考慮切線斜率不存在的情況，易知直線與圓外離，因此切線l斜率存在.設(shè)切線l斜率為k，則切線方程為：.解法1：消元得：直線與圓相切方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解由解得：切線l的方程為：或.解法2：直線與圓相切圓心到直線l的距離等于圓的半徑切線方程轉(zhuǎn)化為一般式：，，解得.切線l的方程為：或.追問4：直線與圓相切，是一種特殊的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組只有一組解，或者轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離等于半徑，從而確定直線的方程.你能比較這兩種方法的差異嗎？表示直線時(shí)，點(diǎn)斜式最直接；計(jì)算上用比較簡潔，這提醒我們?cè)谔幚碇本€與圓的位置關(guān)系問題中，除了運(yùn)用解方程組的方法外，還可以充分結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，一定程度上簡化運(yùn)算，最后得到圖形之間的位置關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生比較例2的解決方法，利用對(duì)幾何性質(zhì)的分析簡化代數(shù)運(yùn)算,比如可以利用圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，兩切點(diǎn)的連線被圓外一點(diǎn)與圓心連線垂直平分，等等這些幾何性質(zhì)，建立方程，確定切線斜率.3分鐘(四)歸納小結(jié)問題3總結(jié)研究思路，用方程判斷直線與圓位置關(guān)系的方法.本節(jié)課，我們經(jīng)歷了：回顧、梳理、類比、遷移，通過兩個(gè)問題，對(duì)直線與圓的位置關(guān)系問題展開了充分的討論.你都學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與圓位置關(guān)系的方法呢?從畫圖觀察