第4章 概率習題課07

主要內容第四章隨機變量的數字特征(一)數學期望(均值)數學期望的性質:假設以下隨機變量的數學期望均存在．

1.

E(C)=C,（C

是常數）

2.

E(CX)=CE(X),（C

是常數）

3.

E(X

Y)=E(X)

E(Y),

4.

設X與Y

相互獨立,則E(XY)=E(X)E(Y)(二)方差1。若X:離散型.2。若X:連續(xù)型.概率密度為f(x)(1)計算公式：3。均方差或標準差:

1。

D(C)=0,(C為常數)

2。

D(CX)=C2D(X),(C為常數)

3。設X與Y是兩個隨機變量，則有

特別，若X與Y相互獨立:D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4。

D(X)=0

P{X=E(X)}=1.(2)方差的性質5。若X服從指數分布,則E(X)=,D(X)=.3。若X~π(

),則

E(X)=

,D(X)=

.4。若X服從區(qū)間(a,b)均勻分布，則E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12.6。若X~N(

,

2),則E(X)=

,D(X)=

2.2。若X~b(n,p),則E(X)=np,D(X)=npq.1。若X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=pq.(三)一些常見分布的期望與方差切比雪夫不等式:定理

設隨機變量X的數學期望E(X)=

,方差D(X)=

2.則對任意的正數

，有

上式稱為切比雪夫(chebyshev)不等式．(四)切比雪夫不等式[注]

此不等式給出了在隨機變量的分布未知的情況下,估計事件或的一種方法.的概率(五)協(xié)方差相關系數協(xié)方差:相關系數:X與Y不相關:

XY=0計算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

2。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)協(xié)方差的性質：1。Cov(X,X)=D(X)

2。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b為常數)

4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y)

相關系數的性質：注:

1)若隨機變量X與Y相互獨立,則X與Y一定不相關;反之不一定成立。2)對二維正態(tài)隨機變量(X,Y):

X與Y不相關

X與Y獨立

3)二維正態(tài)分布只要知道X與Y的分布及相關系數即可確定.

設X,Y為隨機變量,則1)X的k階原點矩(k階矩)：2)X和Y的k+l階混合矩：(六)矩協(xié)方差矩陣3)X的k階中心矩：4)X和Y的k+l

階混合中心矩：協(xié)方差矩陣若n維隨機變量的二階混合中心矩都存在，稱矩陣n維隨機變量的協(xié)方差矩陣B2.已知隨機變量X在[-1,1]上服從均勻分布，Y=X3,

則X與

Y()

(A)不相關且相互獨立；(B)不相關且相互不獨立；

(C)相關且相互獨立；(D)相關且相互不獨立。D練習題1.已知隨機變量X服從二項分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,

則二項分布的參數n,p的值為()

(A)n=4,p=0.6;(B)n=6,p=0.4;(C)n=8,p=0.3;(D)n=24,p=0.1.一選擇題3.設X,Y為隨機變量,若E(XY)=E(X)E(Y),則有()(A)D(XY)=D

(X)D(Y)(B)D(X+Y)=D

(X)+D

(Y)(C)X和Y相互獨立.(D)X和Y不獨立.B4.設X,Y是兩個隨機變量,如果存在常數a,b()使得

P{Y=aX+b}=1,且0<D

(X)<+,那么為()

(A)1；(B)-1；(C);(D).C二填空題1.設X1,X2,X3相互獨立,

X1~U(0,6),X2,~N(0,4),X3~

(3),

則D(X1

-2X2+3X3)=.

2.設一次試驗成功的概率為p,

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