概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件05 大數(shù)定理與中心極限定理

第五章大數(shù)定律背景知識(shí)

大數(shù)定律研究的是大量的、在一定條件下的、重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。它以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式論證了隨機(jī)事件在什么樣的條件下發(fā)生的概率接近于0或1。

同時(shí)指出，任何隨機(jī)事件，不論其發(fā)生的概率如何小，都是有可能發(fā)生的。如果試驗(yàn)次數(shù)充分大，且隨機(jī)事件在每次試驗(yàn)中能以同樣的概率發(fā)生，則它至少發(fā)生一次的概率可以隨意地接近于1。也就是說，不論隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率如何小，只要試驗(yàn)次數(shù)充分大，則它一定要發(fā)生。1在歷史上，1713年貝努里第一個(gè)對(duì)經(jīng)驗(yàn)頻率的穩(wěn)定性給也了嚴(yán)格的理論證明，稱為貝努里大數(shù)定理。后來切貝謝夫在一般條件下推導(dǎo)出了大數(shù)定理，稱為切貝謝夫大數(shù)定理。1929年，辛欽在同分布的條件下推廣了切貝謝夫定理，稱為辛欽定理。大數(shù)定律背景知識(shí)2

大數(shù)定律切貝謝夫不等式3

例14

例2

設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,假定開,關(guān)彼此獨(dú)立,估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率.提示:5提示:例36

大數(shù)定律依概率收斂:7

大數(shù)定律切貝謝夫大數(shù)定理8

大數(shù)定律切貝謝夫大數(shù)定理的啟示具有有限方差的隨機(jī)變量序列的平均數(shù)依概率收斂于它們的數(shù)學(xué)期望的平均數(shù).9

大數(shù)定律貝努里大數(shù)定理10

大數(shù)定律貝努里大數(shù)定理的啟示

頻率具有穩(wěn)定性.

這也是概率的頻率定義的理論依據(jù)11

大數(shù)定律辛欽大數(shù)定理12

大數(shù)定律辛欽大數(shù)定理的啟示對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行n次獨(dú)立觀測,則所有觀測結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于隨機(jī)變量的期望值.13

中心極限定理李雅普諾夫中心極限定理14

中心極限定理李雅普諾夫中心極限定理的啟示如果一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象是由眾多因素共同作用引起,每一個(gè)因素在總的變化中都不起顯著作用,就可以斷定描述該隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量(不論是連續(xù)型的還是離散型的)近似地服從正態(tài)分布.15

中心極限定理拉普拉斯中心極限定理16

中心極限定理運(yùn)用中心極限定理時(shí)應(yīng)注意:17

中心極限定理運(yùn)用中心極限定理時(shí)應(yīng)注意:(2)中心極限定理成立的條件是n趨于無窮大.在具體應(yīng)用時(shí)n應(yīng)多大呢？一般要求n應(yīng)大于30.否則誤差會(huì)較大.18

例1

設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,假定開,關(guān)彼此獨(dú)立,估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率.提示