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第五章大數(shù)定律背景知識

大數(shù)定律研究的是大量的、在一定條件下的、重復的隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。它以嚴格的數(shù)學形式論證了隨機事件在什么樣的條件下發(fā)生的概率接近于0或1。

同時指出，任何隨機事件，不論其發(fā)生的概率如何小，都是有可能發(fā)生的。如果試驗次數(shù)充分大，且隨機事件在每次試驗中能以同樣的概率發(fā)生，則它至少發(fā)生一次的概率可以隨意地接近于1。也就是說，不論隨機事件在一次試驗中發(fā)生的概率如何小，只要試驗次數(shù)充分大，則它一定要發(fā)生。1在歷史上，1713年貝努里第一個對經驗頻率的穩(wěn)定性給也了嚴格的理論證明，稱為貝努里大數(shù)定理。后來切貝謝夫在一般條件下推導出了大數(shù)定理，稱為切貝謝夫大數(shù)定理。1929年，辛欽在同分布的條件下推廣了切貝謝夫定理，稱為辛欽定理。大數(shù)定律背景知識2

大數(shù)定律切貝謝夫不等式3

例14

例2

設電站供電網有10000盞燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,假定開,關彼此獨立,估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率.提示:5提示:例36

大數(shù)定律依概率收斂:7

大數(shù)定律切貝謝夫大數(shù)定理8

大數(shù)定律切貝謝夫大數(shù)定理的啟示具有有限方差的隨機變量序列的平均數(shù)依概率收斂于它們的數(shù)學期望的平均數(shù).9

大數(shù)定律貝努里大數(shù)定理10

大數(shù)定律貝努里大數(shù)定理的啟示

頻率具有穩(wěn)定性.

這也是概率的頻率定義的理論依據11

大數(shù)定律辛欽大數(shù)定理12

大數(shù)定律辛欽大數(shù)定理的啟示對于同一個隨機變量進行n次獨立觀測,則所有觀測結果的算術平均數(shù)依概率收斂于隨機變量的期望值.13

中心極限定理李雅普諾夫中心極限定理14

中心極限定理李雅普諾夫中心極限定理的啟示如果一個隨機現(xiàn)象是由眾多因素共同作用引起,每一個因素在總的變化中都不起顯著作用,就可以斷定描述該隨機現(xiàn)象的隨機變量(不論是連續(xù)型的還是離散型的)近似地服從正態(tài)分布.15

中心極限定理拉普拉斯中心極限定理16

中心極限定理運用中心極限定理時應注意:17

中心極限定理運用中心極限定理時應注意:(2)中心極限定理成立的條件是n趨于無窮大.在具體應用時n應多大呢？一般要求n應大于30.否則誤差會較大.18

例1

設電站供電網有10000盞燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,假定開,關彼此獨立,估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率.提示

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