2023-2024學(xué)年湘教版必修第一冊 任意角三角函數(shù)的定義 課件（36張）

核心知識目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義.2.能利用三角函數(shù)的定義,判斷正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號.通過對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)定義的理解與運(yùn)用,重點發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).知識探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識探究·素養(yǎng)啟迪知識探究(2)三角函數(shù):y=sinα,y=cosα,y=tanα分別叫作角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).以上三種函數(shù)都稱為三角函數(shù).由于引入弧度制后,角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系,因此三角函數(shù)可以看成以實數(shù)為自變量的函數(shù).在弧度制下,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義域如下表:(3)用有向線段表示三角函數(shù)如圖單位圓中,將DP看作有方向的線段,D為起點,P為終點;當(dāng)它指向y軸的正方向時,取正實數(shù)值y;當(dāng)它指向y軸的負(fù)方向時,取負(fù)實數(shù)值y;當(dāng)它的長度為0時,取零值.在所有的情況下都有DP=y=sinα,DP稱為角α的正弦線.同理OD=x=cosα,稱為角α的余弦線,AT=tanα稱為角α的正切線.正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.2.三角函數(shù)值的符號如圖所示.即正弦:

象限正,

象限負(fù);余弦:

象限正,

象限負(fù);正切:

象限正,

象限負(fù).簡記口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.一、二三、四一、四二、三一、三二、四小試身手BB(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3.如圖,在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是(

)(A)正弦線PM,正切線A′T′(B)正弦線MP,正切線A′T′(C)正弦線MP,正切線AT(D)正弦線PM,正切線ATC課堂探究·素養(yǎng)培育探究點一三角函數(shù)的定義及應(yīng)用[例1]設(shè)a<0,角α的終邊與單位圓的交點為P(-3a,4a),求sinα+2cosα的值.[變式訓(xùn)練1-1]若將本例中“a<0”刪掉,其他條件不變,結(jié)果又是什么?[變式訓(xùn)練1-2]若將本例條件改為“角α的終邊過點P(-3a,4a)(a≠0)”,其結(jié)果又如何?方法總結(jié)由角α終邊上任意一點的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值(1)已知角α的終邊在直線上時,常用的解題方法有以下兩種:①先利用直線與單位圓相交,求出交點坐標(biāo),然后再利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值.(2)當(dāng)角α的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時,一定注意對字母正、負(fù)的辨別,若正、負(fù)未定,則需分類討論.探究角度1根據(jù)確定的角確定其函數(shù)值符號[例2]確定下列各值的符號.(1)cos260°;探究點二三角函數(shù)值的符號解:(1)因為260°是第三象限角,所以cos260°<0.[例2]確定下列各值的符號.[例2]確定下列各值的符號.(3)tan(-672°20′);解:(3)由-672°20′=47°40′+(-2)×360°,可知-672°20′是第一象限角,所以tan(-672°20′)>0.[例2]確定下列各值的符號.即時訓(xùn)練2-1:判斷下列各式的符號.(1)tan191°-cos191°;解:(1)因為191°是第三象限角,所以tan191°>0,cos191°<0,所以tan191°-cos191°>0.即時訓(xùn)練2-1:判斷下列各式的符號.(2)sin2·cos3·tan4.解:(2)因為2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,所以sin2>0,cos3<0,tan4>0,所以sin2·cos3·tan4<0.方法總結(jié)根據(jù)確定的角判斷其相應(yīng)三角函數(shù)值的符號,首先利用終邊相同的角將所給角轉(zhuǎn)化為(0,2π]內(nèi)的角,判斷其所在象限后,結(jié)合三角函數(shù)特征確定符號.探究角度2根據(jù)三角函數(shù)值符號,確定角的終邊所在象限[例3]根據(jù)下列條件,確定θ是第幾象限角.(1)cosθ與tanθ異號;[例3]根據(jù)下列條件,確定θ是第幾象限角.(2)cosθ與sinθ同號.[變式訓(xùn)練3-1]分別確定θ是第幾象限角.(1)cosθ與tanθ同號;解:(1)若cosθ與tanθ同號,則cosθ>0且tanθ>0或cosθ<0且tanθ<0.當(dāng)cosθ>0且tanθ>0時,θ是第一象限角;當(dāng)cosθ<0且tanθ<0時,θ是第二象限角,故cosθ與tanθ同號時,θ是第一或第二象限角.[變式訓(xùn)練3-1]分別確定θ是第幾象限角.(2)cosθ與sinθ異號.解:(2)若cosθ與sinθ異號,則cosθ>0且sinθ<0或cosθ<0且sinθ>0.當(dāng)cosθ>0且sinθ<0時,θ是第四象限角;當(dāng)cosθ<0且sinθ>0時,θ是第二象限角.故cosθ與sinθ異號時,θ是第二或第四象限角.方法總結(jié)確定角所在的象限,應(yīng)分別根據(jù)三角函數(shù)值的符號確定所在象限后取交集.探究角度1利用三角函數(shù)線比較大小探究點三三角函數(shù)線的應(yīng)用即時訓(xùn)練4-1:設(shè)a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),則有(

)(A)a<b<c (B)b<a<c(C)c<a<b (D)a<c<b解析:如圖,作α=-1的正弦線,余弦線,正切線可知,b=OM>0,a=MP<0,c=AT<0,且|MP|<|AT|.所以b>a>c,即c<a<b.故選C.方法總結(jié)利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時,一般分三步:(1)角的位置要“對號入座”.(2)比較三角函數(shù)線的長度.(3)確定有向線段的正負(fù).探究角度2利用三角函數(shù)線解不等式[例5]求下列函數(shù)的定義域.[例5]求下列函數(shù)的定義域.即時訓(xùn)練5-1:已知點P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,若α∈[0,2π],求α的取值范圍.方法總結(jié)用單位圓中的三角函數(shù)線求解簡單的三角不等式,應(yīng)注意以下三點(1)先找到“正值”區(qū)間,即0～2π之間滿足條件的角θ的范圍,然后再加上2kπ.(2)注意區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間.(3)解多個三角不等式時,先在單位圓中作出使每個不等式成立的角的范圍,取其公共部分