大學(xué)高等數(shù)學(xué)公式(費(fèi)了好大的勁)匯總

高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)'=sec2x(arcsinx)'=1(ctgx)'=-csc2x-x2(secx)'=secx?tgx(arccosx)'=-1(cscx)'=-cscx-ctgx-x2(ax)'=axlna(arctgx)'=11+x2(loglax)'=xlna(arcctgx)'=-11+x2基本積分表：\tgxdx=-Incosx+CJdx=Jsec2jctgxdx=lnsinx+Ccos2xxdx=tgx+C\secxdx=lnsecx+tgx+C\dx\csc2sin2x=xdx二-ctgx+CJcscxdx=lncscx-ctgx+CJsecx-tgxdx=secx+CJdxJcscx-ctgxdx=-cscx+Ca2+x2=1aarctgxa+Cx=axJdxJadxlna+Cx2-a2=12alnx-ax+a+CJshxdx二chx+CJdxa2-x2=1a+x2alna-x+CJchxdx二shx+CJdxa2-x2=arcsinxa+CJdxx2±a2=ln(x+x2±a2)+Cnn22Inn=Jsinxdx=Jcosnxdx=n-100nIn-2J2a2dx=x2x+x2+a2+aln(x+x2+a222)+CJx2-a2dx=x22a22x-a-2lnx+x2-a2+CJa2-x2dx=x22a2x2a-x+2arcsina+C三角函數(shù)的有理式積分：sinx=2u1-u2x2du1+u2,cosx=1+u2, u=tg2, dx=1+u21一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：ex-e-x雙曲正弦:shx=2ex+e-x雙曲余弦:chx=limsinx=1x—0x1lim(1+)x=e=2.718281828459045...2xTsxthx二shxex-e-x雙曲正切:chx=ex+e-xarshx=ln(x+x2+1)archx二±ln(x+x2-1)arthx=11+x2ln1-x三角函數(shù)公式：?誘導(dǎo)公式：數(shù)角sincosts-OL-sinacosa.-t￡OL-ctga909COSCLsincectga培s90"十6COSCL-sina-ctga-tga180D-ccsina-COSCL-tga-ctga180"+ti-sma-COSCLtgactga270<oc-COSCL-sinactgatgs27OD+a-COSCLsince-ctga-tga-sinoicosa-tga-ctga360°十a(chǎn)smacosatgactga?和差角公式：?和差化積公式：sin(a±p)=sinacosp±cosasinpsina+sinp=2sina+pcos(a±p)=cosacospsinasinp2cosa-ptg(a±p)=tga±tgpsina-sinp=2cosa+pa-p1tga-tgp2sin2ctga-cosa+cosp=2cosa+pa-pctg(a±p)=ctgp12cos2ctgp±ctgacosa-cosp=2sina+pa-p2sin2倍角公式：sin2a=2sinacosacos2a=2cos2a-1=1-2sin2a=cos2a-sin2actg2a-1ctg2a=2ctga2tgatg2a=1-tg2a半角公式：sin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a-3cosa3tga-tg3atg3a=1-3tg2asintga2=±=±-cosa+cos cos=±2221-cos1-cosasinaa1+cos1+cosasina== ctg=±==1+cosasina1+cosa21-cosasinal-cosaa2正弦定理：abc===2R?余弦定理：c2=a2+b2-2abcosCsinAsinBsinC反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=n2-arccosxarctgx=n2-arcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式 萊布尼茲(Leibniz)公式：(uv)(n)k(n-k)(k尸￡Cnuvk=0n=u(n)v+nu(n-1)v'+n(n-1)(n-2)n(n-1)(n-k+1)(n-k)(k)uv"++uv++uv(n)2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f(?(b-a)f(b)-f(a)f化戶F(b)-F(a)F'化)曲率：當(dāng)F(x)=x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理?；∥⒎止剑簙$=+丫'2~*,其中y'=tga平均曲率：K=AaAa：MM點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；As：MM'弧長。AsM點(diǎn)的曲率：K=Aaday''Alims-0As=ds=(1+y'2)3.直線：K=0;半徑為a的圓：K=1a.定積分的近似計(jì)算:b矩形法：Jf(x)~b-an(y0+y1++yn-1)梯形法：\f(x)~b-aan[12(y0+yn)+y1++yn-1]b拋物線法：ff(x)~b-a[(y0+yn)+2(y2+y4++yn-2)+4(y1+y3++a3nyn-1)]定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功：W=F-s水壓力：F=p-A弓|力：F=km1m2r2,k為引力系數(shù)b函數(shù)的平均值：y=1b-aff(x)dxab12b-aff(t)dta空間解析幾何和向量代數(shù)：空間2點(diǎn)的距離：d=M1M2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2向量在軸上的投影：PrjuAB二cos。2是AB與u軸的夾角。Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2ab=a-bcos0=axbx+ayby+azbz,是一個(gè)數(shù)量，兩向量之間的夾角：cos6=ic=axb=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+az-bx+by+bz222222az,c=a?bsin。.例：線速度:v=wxr.bzaybycyazczbz=axb-ccosa,a為銳角時(shí)，ax向量的混合積：[abc]=(axb)-c=bxcx代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3++=1abc平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2/x=x0+mtx-x0y-y0z-z0I===t,其中s={m,n,p};參數(shù)方程:Iy=y0+ntmnpIz=z+pt0I二次曲面：x2y2z212+2+2=1abcx2y22+=z(,p,q同號(hào))2P2q3、雙曲面：x2y2z22+2-2=1abcx2y2z22-2+2=(馬鞍面)1abc多元函數(shù)微分法及應(yīng)用AB全微分：dz=dzdzdudududx+dy du=dx+dy+dzdxdydxdydz全微分的近似計(jì)算：Az-dz=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dzdzdudzdvz=f[u(t),v(t)]=-+- dtdudtdvdtdzdzdudzdvz=f[u(x,y),v(x,y)]=?+-dxdudxdvdx當(dāng)u=u(x,y)，v=v(x,y)時(shí)，du=dududvdvdx+dydv=dx+dydxdydxdy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：FxFFdydyd2ydd隱函數(shù)F(x,y)=0=-2=(-x)+(-x>dxFydxFydyFydxdxFyFxdzdz隱函數(shù)F(x,y,z)=0=-=-dxFzdyFz(F(x,y,u,v)=0d(F,G)du隱函數(shù)方程組： J==IdGG(x,y,u,v)=0d(u,v)Idudu1d(F,G)dv1d(F,G)=-=--dxJd(x,v)dxJd(u,x)du1d(F,G)dv1d(F,G)=-=--dyJd(y,v)dyJd(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用：dFdv=FudGGudvFvGv(x=Mt)x-xy-y0z-z0I空間曲線1y=w(t)在點(diǎn)M(x0,y0,z0)0==''O(t)w(t)3'(t0)00Iz=m(t)I在點(diǎn)M處的法平面方程：8(t0)(x-x0)+w'(t0)(y-y0)+3'(t0)(z-z0)=0(FyFzFzFxFxIF(x,y,z)=0若空間曲線方程為：，則切向量T={,,lGGGxGxIyzGzIG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一點(diǎn)M(x0,y0,z0),則：1、過此點(diǎn)的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x-x0y-y0z-z03=Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向?qū)?shù)與梯度：6FyGy2、過此點(diǎn)的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0dfdfdf函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向l=cos0+sin。dldxdy其中。為x軸到方向l的轉(zhuǎn)角。dfdf函數(shù)z=f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=i+jdxdydf它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是=gradf(x,y>e，其中e=cos/i+sin/j，為l方向上的dl單位向量。，df是gradf(x,y)4l上的投影。dl多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C((A<0,(x0,y為極大值2AC-B>0時(shí)，II[A>?(x0,y0)為極小值II2則：IAC-B<0時(shí)， 無極值IAC-B2=0時(shí)， 不確定III重積分及其應(yīng)用：\\f(x,y)dxdy=J\f(rcos0,rsin0)rdrd0DD'曲面z二f(x,y)的面積A=JJMx=MJJxp(x,y)doDJJp(x,y)d。DDMyMJJyp(x,y)d。JJp(x,y)d。平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于x軸Ix=JJy2P(x,y)do, 對(duì)于y軸Iy=JJx2P(x,y)do平面薄片(位于xoy平面)對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M(0,0,a),(a>0)的引力：F={Fx,Fy,Fz},其中：Fx=fJJp(x,y)xdo(x+y+a)22Fy=fJJ3p(x，y)ydo(x+y+a)22Fz二-faJJ3

Dp(x,y)xdo(x+y+a)22322柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):JJJQQIJJJQQIz=z柱面坐標(biāo)：f(x,y,z)dxdydz=J"J-JF(r,O,z)rdrd0dz,Iy=rsin0,其中：F(r,0,z)=f(rcos0,rsin0,z)其中：F(r,0,z)=f(rcos0,rsin0,z)(x=rsin^cospI球面坐標(biāo)：Iy=rsin^sin0, dv=rd^-rsin^-d0-dr=rsin^drd^d0Iz=rcos。I2nnr(。⑼JJJf(x,y,z)dxdydz=JJJF(rd6)rQQ2sin^drd^d0=Jd0Jd。JF(r,^,O)r2sin^dr重心：=1MJJJxPdK =QQ1MJJJyPdv,=QQ1M\\\zpdv, 其中M==JJJpdvQQQ轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Ix=JfJ(y2+z2)pdv, Iy=Jff(x2+z2)pdvIz=fff(x2+y2)pdv曲線積分：第一類曲線積分(對(duì)弧長的曲線積分)：(x=Mt) I設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：，(aStSP),則：Iy=W(t)IfL(x=t If(x,y)ds=ff[Mt),w(t)]'2(t)+w'2(t)dt (a<P)特殊情況：IIy=O(t)aP第二類曲線積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)：(x=Mt)設(shè)L的參數(shù)方程為1，則：y=w(t)lPfP(x,y)dx+Q(x,y)dy=af{P[Mt),w(t)]C(t)+Q[Mt),w(t)W'(t)}dtL兩類曲線積分之間的關(guān)系：fPdx+Qdy=f(Pcosa+Qcosp)ds,其中a和p分別為LLL上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。格林公式：ff(DdQdPdQdP-)dxdy=Pdx+Qdy格林公式：(-)dxdy=Pdx+QdyffdxdydxdyLDLdQdPl當(dāng)P=-y,Q=x-=2時(shí)，得至UD的面積：A=ffdxdy=xdy-ydxdxdy2LD?平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；2、P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！?二元函數(shù)的全微分求積：在SQSP=時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：dxdy(x,y)dQdP=。注意奇點(diǎn)，如(0,0),應(yīng)dxdyu(x,y)=(x0,y0)JP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)x0=y0=0。曲面積分：22對(duì)面積的曲面積分：f(x,y,z)ds=f[x,y,z(x,y)]+z(x,y)+z(x,y)dxdyxyJ\\\￡Dxy對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxJ!y中：工JJR(x,y,z)dxdy=±JJR[x,y,z(x,y)]dxdy取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào)；ZDxyJJP(x,y,z)dydz=±JJP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào)；ZDyzJJQ(x,y,z)dzdx=fJQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)?！闐zx兩類曲面積分之間的關(guān)系：JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(Pcosa+Qcosp+Rcosy)ds江高斯公式：JJJ(QdPdQdR++)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosp+RcosY)dsdxdydz￡￡高斯公式的物理意義——通量與散度：dPdQdR散度：divv=++,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若divv<0,則為消失…通量：JJAdxdydz?nds=JJAnds=JJ(Pcosa+Qcosp+Rcosy)ds，a因此，高斯公式又可寫成：JJJdivAdv=AndsQ￡斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：JJ(dRdQdPdRdQd￡dy-dz)dydz+(dz-dx)dzdx+(dx-Pdy)dxdy=Pdx+Qdy+Rdzrdydzdzdxdxdycosacospcosy上式左端又可寫成：JJddd=dd￡dxdydzJJddxdydzPQR￡P(guān)QR空間曲線積分與路徑無RdQdPdRdQdPdy=dzdz=dxdx=dy旋度：rotAijk=ddddxdydzPQ向量場(chǎng)AR沿有向閉曲線rPdx+Qdy+Rdz=A-tdsrr常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：+q+q2++qn-1=1-qn等比數(shù)列：11-q等差數(shù)列：1+2+3++n=(n+1)n2調(diào)和級(jí)數(shù)：1+1112+3++n是發(fā)散的級(jí)數(shù)審斂法：1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法——根植審斂法(柯西判別法)：(p<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂I設(shè)：p=limn，則1p>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散n—sIp=1時(shí)，不確定I2、比值審斂法：(p<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂UI設(shè)：p=limn+1，則1p>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散n—sUnIp=1時(shí)，不確定I3、定義法：sn=u1+u2++un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)散。n—s交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1-u2+u3-u4+(或-u1+/2-u3+,un>0)的審斂法 萊布尼茲定理：(IunNun+如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足，那么級(jí)數(shù)收斂且其松u1其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rnSun+1。limu=0IIn—sn絕對(duì)收斂與條件收斂：(1)u1+u2++un+，其中un為任意實(shí)數(shù)；(2)u1+u2+u3++un+如果⑵收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)；如果⑵發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級(jí)數(shù)。1(-1)n調(diào)和級(jí)數(shù)：Zn發(fā)散，而￡n1 級(jí)數(shù)：￡n2收斂；<1時(shí)發(fā)散1p級(jí)數(shù)：Znpp>1時(shí)收斂冪級(jí)數(shù)：1x<1時(shí)，收斂于1-x1+x+x2+x3++xn+x>1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0+a1x+a2x2++anxn+，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全x<R時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存在R,使x>R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。x=R時(shí)不定1p#0時(shí)，R=a求收斂半徑的方法：設(shè)limn+1=p，其中an,an+1是(3)p=0時(shí)，R=+gn—ganp=+g時(shí)，R=0函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：pf'(x0)f(n)(x0)2函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)++(x-x0)n+2!n!f(n+1)化)余項(xiàng)：Rn=(x-x0)n+1,f(x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：limRn=0n—g(n+1)!f'(0)2f(n)(0)nx0=0時(shí)即為麥克勞林公式：f(x)=f(0)+f(0)x+x++x+2!n!一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：m(m-1)2m(m-1)(m-n+1)nx++x+(-s<x<+s)3!5!(2nm(m-1)2m(m-1)(m-n+1)nx++x+(-s<x<+s)3!5!(2n-1)!(1+x)m=1+mx+(-1<x<1)2!n!2n-1x3x5xsinx=x-+-+(-1)n-1+歐拉公式：或｛ix-ix或｛ix-ixIsinx=e-ecosx=II2eix二cosx+isinxI2(三角級(jí)數(shù)：a0sf(t)=A0+￡Ansin(n3t+On)=+￡(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1其中，a0=aA0,an二Ansin^n,bn二Ancos^n,3t=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在［-n,n］上的積分=0。傅立葉級(jí)數(shù)：gf(x)=+￡(ancosnx+bnsinnx)，周期=2兀2n=1n-nI其中｛nIb=1f(x)sinnxdxa0sn(1(n=0,1,2)1f(x)=+￡(ancosnx+bnsinnx)，周期=2兀2n=1n-nI其中｛nIb=1f(x)sinnxdx11n21+2+2+=835111n2+2+2+=224246正弦級(jí)數(shù)：an=0,bn=余弦級(jí)數(shù)：bn=0,an=111兀21+2+2+2+=6234111n21-2+2-2+=122342nn2Jf(x)sinnxdxn=1,2,3f(x)=￡b0nsinnx是奇函數(shù)兀nJ0f(x)cosnxdx n=0,1,2f(x)=a0+￡ancosnx是偶函數(shù)2周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：

a0snnxnnxf(x)=+￡(ancos+bnsin),周期=2l2n=1llIl(Innxdx(n=0,1,2)Ian=Jf(x)cosl-llI其中111b=1f(x)sinnnxdx(n=1,2,3)InlJ1-11或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0一階微分方程可以化為g(y)dy=f(x)d