函數(shù)與基本初等函數(shù) 專題

年級(jí)：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)時(shí)數(shù)：課題函數(shù)與基本初等函數(shù)教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、命題分析1．知識(shí)點(diǎn)的考察狀況(1)函數(shù)：以考察概念與運(yùn)算為主，部分涉及新定義運(yùn)算；(2)定義域、值域、解析式是考察的重點(diǎn)，并且較穩(wěn)定，有時(shí)結(jié)合其它知識(shí)點(diǎn)(以本單元內(nèi)容為背景)，分段函數(shù)較多、花樣翻新；(3)函數(shù)單調(diào)性在歷年考試中久考不衰，且比例有上升趨勢(shì)，和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系較多；(4)函數(shù)的奇偶性重要和單調(diào)性、不等式、最值、三角函數(shù)等綜合，與對(duì)稱性、抽象函數(shù)等問(wèn)題聯(lián)系較多；(5)由于分段函數(shù)本身所含有的特殊性，比其它函數(shù)形式含有更重要的功效，更能全方面地考察學(xué)生的素質(zhì)和能力，因此在高考試題中，分段函數(shù)應(yīng)當(dāng)是函數(shù)命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，普通會(huì)以選擇題和填空題的形式進(jìn)行考察，如果出現(xiàn)在解答題中，會(huì)和方程、不等式的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，綜合考察多個(gè)能力．2．?？碱}型及分值狀況函數(shù)在選擇、填空、解答三種題型中每年都有考題，所占分值在30分以上，占全卷的20%以上，在高考中占有重要地位．三、復(fù)習(xí)建議1．函數(shù)的基本概念在應(yīng)用時(shí)要把重點(diǎn)放在它的三要素上，復(fù)習(xí)函數(shù)的定義域除了要注意使解析式故意義的自變量的取值范疇外，還要根據(jù)題中的實(shí)際意義來(lái)擬定它的取值范疇．2．求值域時(shí)要熟悉幾個(gè)基本的解題辦法，普通化歸為求函數(shù)的最值問(wèn)題，要注意運(yùn)用均值不等式、二次函數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性在擬定函數(shù)最值中的作用，還要注意對(duì)應(yīng)法則，特別是定義域的制約作用．3．求函數(shù)解析式根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系，或根據(jù)題中所給條件運(yùn)用待定系數(shù)法解題，或?qū)τ趂[g(x)]＝h(x)求f(x)的問(wèn)題能夠用換元法解題，或若式中含有f(－x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))等，常根據(jù)已知等式再構(gòu)造其它等式構(gòu)成方程組，通過(guò)解方程組求解．4．運(yùn)用函數(shù)的基本性質(zhì)解題時(shí)要充足挖掘函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等，但要注意函數(shù)的基本性質(zhì)只能在函數(shù)的定義域內(nèi)討論．5．在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)要注意結(jié)合圖像，在解方程和不等式時(shí)，有時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合能得到十分快捷的效果．研究函數(shù)與方程的問(wèn)題時(shí)，特別要用好圖像．恒成立問(wèn)題，區(qū)間解問(wèn)題都可得到較好的解決．四、知識(shí)解說(shuō)第一節(jié)函數(shù)及其表達(dá)（一）高考目的考綱解讀1．理解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求某些簡(jiǎn)樸函數(shù)的定義域和值域；理解映射的概念．2．在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)霓k法(如圖像法、列表法、解析法)表達(dá)函數(shù)．3．理解簡(jiǎn)樸的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)樸應(yīng)用．考向預(yù)測(cè)1．函數(shù)概念及其定義域、解析式、函數(shù)值、分段函數(shù)的考察是熱點(diǎn)．2．多以小題的形式出現(xiàn)，屬低、中檔題，常與幾個(gè)基本初等函數(shù)的圖像、性質(zhì)綜合命題．（二）課前自主預(yù)習(xí)知識(shí)梳理1．函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)定義設(shè)A，B是非空的 ，如果按照某種擬定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的 一種數(shù)x，在集合B中都有 的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一種函數(shù)，記作 (2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范疇A叫做函數(shù)的 ；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的 顯然，值域是集合B的子集．(3)函數(shù)的三要素： 、 和 (4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的 和 完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的根據(jù)．2．函數(shù)的表達(dá)法表達(dá)函數(shù)的慣用辦法有： 3．映射的概念兩個(gè)集合A與B間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系f，并且對(duì)于A中的每一種元素x，B中總有 的一種元素y與它對(duì)應(yīng)，就稱這種對(duì)應(yīng)為從A到B的 ，記作f：A→B.4．映射與函數(shù)的關(guān)系由映射的定義能夠看出，映射是 概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射，要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合A，B必須是 5．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因 不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表達(dá)，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分構(gòu)成，但它表達(dá)的是 函數(shù)。（三）基礎(chǔ)自測(cè)1．(教材改編題)下列是映射的是 ()A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(5)C．(1)(3)(5) D．(1)(2)(3)(5)[答案]A[解析](4)中元素c沒(méi)有象與之對(duì)應(yīng)；(5)中元素a有兩個(gè)象與之對(duì)應(yīng)；(1)(2)(3)都是映射．2．下列函數(shù)中與函數(shù)y＝x(x≥0)是同一種函數(shù)的是()A．y＝(eq\r(x))2 B．y＝eq\f(x2,x)C．y＝eq\r(3,x3) D．y＝eq\r(x2)[答案]A[解析]當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的解析式和定義域完全相似時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)．同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的只有A，B中x≠0，C中x∈R，D中x∈R.3.已知f(x)的圖像恒過(guò)點(diǎn)(1,1)，則f(x－4)的圖像恒過(guò)()A．(－3,1) B．(5,1)C．(1，－3) D．(1,5)[答案]B[解析]辦法一：由f(x)的圖像恒過(guò)點(diǎn)(1,1)知f(1)＝1，即f(5－4)＝1，故f(x－4)的圖像恒過(guò)點(diǎn)(5,1)．辦法二：f(x－4)的圖像可由f(x)的圖像向右平移4個(gè)單位而得到，(1,1)向右平移4個(gè)單位后變?yōu)?5,1)．4.若函數(shù)f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定義域?yàn)镽，則a的取值范疇為_(kāi)_______．[答案][－1,0][解析]由題意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.5．在下圖像中，表達(dá)y是x的函數(shù)圖像的是________．[答案]①②[解析]由函數(shù)定義可知，自變量x對(duì)應(yīng)唯一的y值，因此③、④錯(cuò)誤，①、②對(duì)的．（四）典型例題1.命題方向：對(duì)映射的理解[例1](文)設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，則在映射f下，象3的原象是 ()A．1 B．3C．9 D．11[解析]在這個(gè)映射中，B中的元素2n＋n是A中的元素n的象．∴2n＋n＝3.∵n∈N，∴f(n)＝2n＋n單調(diào)遞增，∴2n＋n＝3只有惟一解n＝1.故答案為A.[答案]A(理)設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{－2，－1,0,1,2}，如果從M到N的映射f滿足條件：對(duì)M中的每個(gè)元素x與它在N中的象f(x)的和都為奇數(shù)，則映射f的個(gè)數(shù)是 ()A．8個(gè) B．12個(gè)C．16個(gè) D．18個(gè)[解析]∵x＋f(x)為奇數(shù)，∴當(dāng)x為奇數(shù)－1,1時(shí)，它們?cè)贜的象只能為偶數(shù)－2、0或2，由分步計(jì)數(shù)原理和對(duì)應(yīng)辦法有32＝9種；而當(dāng)x＝0時(shí)，它在N中的象為奇數(shù)－1或1，共2種對(duì)應(yīng)辦法，故答案為D.[答案]D[點(diǎn)評(píng)]有關(guān)“映射”的內(nèi)容，只需要精確理解映射的概念，一種映射f：A→B是由集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f共同擬定的，且A中的每個(gè)元素(通過(guò)f)在B中都有唯一的象跟蹤練習(xí)1：(文)在給定的映射f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)作用下，點(diǎn)(eq\f(1,6)，－eq\f(1,6))的原象是 ()A．(eq\f(1,6)，－eq\f(1,36))B．(eq\f(1,3)，－eq\f(1,2))或(－eq\f(1,4)，eq\f(2,3))C．(eq\f(1,36)，－eq\f(1,6))D．(eq\f(1,2)，－eq\f(1,3))或(－eq\f(2,3)，eq\f(1,4))[答案]B[解析]由已知得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝\f(1,6),xy＝－\f(1,6)))解方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3),y＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,4),y＝\f(2,3)))故選B.(理)(·浙江)函數(shù)f：{1,2,3}→{1,2,3}滿足f(f(x))＝f(x)，則這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)共有 ()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．10個(gè)[答案]D[解析]當(dāng)f(x)＝1，f(x)＝2，f(x)＝3，f(x)＝x時(shí)，滿足條件f(f(x))＝f(x)，這樣的函數(shù)有4個(gè)．當(dāng)f(1)＝1，f(2)＝1時(shí)，必有f(3)＝3，假若f(3)＝2，則f(f(3))＝f(2)＝1≠3，這樣的狀況共有＝6種．∴共有10種，故選D.2.命題方向：判斷兩個(gè)函數(shù)與否相似[例2]試判斷下列各組函數(shù)與否表達(dá)同一函數(shù)？(1)f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝eq\r(3,x3)；(2)f(x)＝eq\f(|x|,x)，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0；))(3)f(x)＝eq\r(2n＋1,x2n＋1)，g(x)＝(eq\r(2n－1,x))2n－1(n∈N*)；(4)f(x)＝eq\r(x)eq\r(x＋1)，g(x)＝eq\r(x2＋x).[分析]根據(jù)定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系與否相似來(lái)判斷．[解析](1)由于f(x)＝eq\r(x2)＝|x|，g(x)＝eq\r(3,x3)＝x，故它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相似，因此它們不是同一函數(shù)；(2)由于函數(shù)f(x)＝eq\f(|x|,x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))的定義域?yàn)镽，因此它們不是同一函數(shù)；(3)由于當(dāng)n∈N*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，∴f(x)＝eq\r(2n＋1,x2n＋1)＝x，g(x)＝(eq\r(2n－1,x))2n－1＝x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)關(guān)系都相似，因此它們是同一函數(shù)；(4)由于函數(shù)f(x)＝eq\r(x)eq\r(x＋1)的定義域?yàn)閧x|x≥0}，而g(x)＝eq\r(x2＋x)的定義域?yàn)閧x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，因此它們不是同一函數(shù)．跟蹤練習(xí)2：下列四組函數(shù)，表達(dá)同一函數(shù)的是 ()A．f(x)＝logaax，g(x)＝alogax(a>0，a≠1)B．f(x)＝(eq\r(x))2，g(x)＝eq\r(3,x3)C．f(x)＝2x－1(x∈R)，g(x)＝2x＋1(x∈Z)D．f(x)＝eq\f(x2－4,x－2)，g(t)＝eq\f(t2－4,t－2)[答案]D[解析]選項(xiàng)A、B、C中函數(shù)的定義域不同3.命題方向：求函數(shù)的定義域[例3](1)求函數(shù)f(x)＝eq\f(lgx2－2x,\r(9－x2))的定義域．(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，求下列函數(shù)的定義域：①f(x2)；②f(eq\r(x)－1)．(3)已知函數(shù)f[lg(x＋1)]的定義域是[0,9]，求函數(shù)f(2x)的定義域．[解析](1)要使函數(shù)故意義，則只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x>0，,9－x2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2或x<0，,－3<x<3，))解得－3<x<0或2<x<3.故函數(shù)的定義域是(－3,0)∪(2,3)．(2)①∵f(x)的定義域是[0,1]，∴要使f(x2)故意義，則必有0≤x2≤1，解得－1≤x≤1.∴f(x2)的定義域?yàn)閇－1,1]．②由0≤eq\r(x)－1≤1，得1≤eq\r(x)≤2.∴1≤x≤4.(x≥0時(shí)，eq\r(x)才故意義)∴函數(shù)f(eq\r(x)－1)的定義域?yàn)閇1,4]．(3)∵f[lg(x＋1)]的定義域?yàn)閇0,9]，∴0≤x≤9,1≤x＋1≤10，∴0≤lg(x＋1)≤1，∴f(x)的定義域?yàn)閇0,1]．由0≤2x≤1，得x≤0.∴f(2x)的定義域?yàn)?－∞，0]．跟蹤練習(xí)3：求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝eq\f(1,2－|x|)＋eq\r(x2－1)；(2)y＝eq\f(x2,lg4x＋3)＋(5x－4)0；(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)，求函數(shù)g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))的定義域．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－|x|≠0，,x2－1≥0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠±2，,x≤－1或x≥1.))∴函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3>0，,4x＋3≠1，,5x－4≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(3,4)，且x≠－\f(1,2)，,x≠\f(4,5).))∴函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(4,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，＋∞)).(3)由eq\f(1＋x,1－x)>0知－1<x<1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<\f(x,2)<11,－1<\f(1,x)<12))，由(1)得－2<x<2，由(2)得x>1或x<－1，因此－2<x<－1或1<x<2.因此函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?－2，－1)∪(1,2).4.命題方向：求函數(shù)的解析式[例4](1)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x3＋eq\f(1,x3)，求f(x)；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，求f(x)；(3)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；(4)已知f(x)滿足2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)．[解析](1)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))3－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))，∴f(x)＝x3－3x，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令eq\f(2,x)＋1＝t，則x＝eq\f(2,t－1)，∴f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，∴f(x)＝lgeq\f(2,x－1)，x∈(1，＋∞)．(3)設(shè)f(x)＝ax＋b，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.(4)2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①把①中的x換成eq\f(1,x)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x)，②①×2－②得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq\f(1,x).[點(diǎn)評(píng)]求函數(shù)解析式的慣用辦法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x，即得到f[g(x)]的解析式；(2)拼湊法，對(duì)f[g(x)]的解析式進(jìn)行拼湊變形，使它能用g(x)表達(dá)出來(lái)，再用x替代兩邊的全部“g(x)”即可；(3)換元法，設(shè)t＝g(x)，解出x，代入f[g(x)]，得f(t)的解析式即可；(4)待定系數(shù)法，若已知f(x)的解析式的類(lèi)型，設(shè)出它的普通形式，根據(jù)特殊值，擬定有關(guān)的系數(shù)即可；(5)賦值法，給變量賦予某些特殊值，從而求出其解析式．跟蹤練習(xí)4：給出下列兩個(gè)條件：(1)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)；(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.試分別求出f(x)的解析式．[分析](1)對(duì)eq\r(x)＋1換元．(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c.[解析](1)令t＝eq\r(x)＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，則f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝4,4a＋2b＝2))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1))，又f(0)＝3?c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3.5.命題方向：分段函數(shù)[例5]甲同窗家到乙同窗家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家．如圖所示，表達(dá)甲從家出發(fā)達(dá)成乙家為止通過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x(分)的關(guān)系．試寫(xiě)出y＝f(x)的函數(shù)解析式．[解析]根據(jù)圖像，判斷每段上函數(shù)的解析式的構(gòu)造，然后用待定系數(shù)法分段求出，最后整合．當(dāng)x∈[0,30]時(shí)，設(shè)y＝k1x＋b1，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝0,30k1＋b1＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝\f(1,15),b1＝0))，∴y＝eq\f(1,15)x.當(dāng)x∈(30,40)時(shí)，y＝2；當(dāng)x∈[40,60]時(shí)，設(shè)y＝k2x＋b2，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40k2＋b2＝2,60k2＋b2＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝\f(1,10),b2＝－2))，∴y＝eq\f(1,10)x－2.綜上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)xx∈[0，30],2x∈(30，40).,\f(1,10)x－2x∈[40，60]))[點(diǎn)評(píng)]1.解決分段函數(shù)的基本原則是分段進(jìn)行．2．對(duì)于實(shí)際應(yīng)用題應(yīng)根據(jù)題意擬定好分段點(diǎn)，在每一段上分別求出其解析式．3．對(duì)于分段函數(shù)的最值問(wèn)題，普通是將每一段上的最值分別求出，其中的最大者就是整個(gè)函數(shù)的最大值，其中的最小者就是整個(gè)函數(shù)的最小值．跟蹤練習(xí)5：設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((x＋1)2，x<1,4－\r(x－1)，x≥1))，則使得f(x)≥1的自變量x的取值范疇為 ()A．(－∞，－2]∪[0,10]B．(－∞，－2]∪[0,1]C．(－∞，－2]∪[1,10]D．[－2,0]∪[1,10][答案]A[解析]當(dāng)x<1時(shí)，f(x)≥1?(x＋1)2≥1?x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x<1.當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥1?4－eq\r(x－1)≥1?eq\r(x－1)≤3?x≤10，∴1≤x≤10.總而言之，可得x≤－2或0≤x≤10.故選A.（五）思想辦法點(diǎn)撥：1．函數(shù)與映射的概念從A到B的映射與從B到A的映射含有不同的規(guī)定，就是說(shuō)映射含有方向性．函數(shù)是一種特殊的映射，是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射，其中集合A是定義域，值域集合C＝{f(a)|a∈A}B.函數(shù)的定義中最重要的是定義域和對(duì)應(yīng)法則，值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則擬定的．在求f[f(x)]類(lèi)型的值時(shí)，應(yīng)遵照先內(nèi)后外的原則．判斷兩個(gè)函數(shù)與否為相似的函數(shù)，抓住兩點(diǎn)：①定義域與否相似；②對(duì)應(yīng)法則即解析式與否相似．注意：解析式能夠化簡(jiǎn)．判斷對(duì)應(yīng)與否為映射，即看A中元素與否滿足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：①A中不同元素可有相似的象，即允許多對(duì)一，但不允許一對(duì)多，②B中元素可無(wú)原象，即B中元素可有剩余．2．函數(shù)的定義域及其求法(1)函數(shù)的定義域是指使函數(shù)故意義的自變量的取值范疇．(2)根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)定義域的根據(jù)有：①分式的分母不得為0；②偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不得不大于0；③對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須不不大于0；④指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須不不大于0且不等于1；⑤三角函數(shù)中的正切函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，余切函數(shù)y＝cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等．(3)已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域，是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范疇；已知f[g(x)]的定義域是[a，b]指的是x∈[a，b]．求f(x)的定義域，是指在x∈[a，b]的條件下，求g(x)的值域．(4)實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題給出的函數(shù)的定義域：這類(lèi)問(wèn)題除要考慮函數(shù)解析式故意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題故意義．(5)如果函數(shù)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都故意義的實(shí)數(shù)集合(6)求定義域的普通環(huán)節(jié)：①寫(xiě)出函數(shù)式故意義的不等式(組)；②解不等式(組)；③寫(xiě)出函數(shù)的定義域．3．函數(shù)的表達(dá)辦法(1)解析法：用數(shù)學(xué)體現(xiàn)式表達(dá)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是簡(jiǎn)要、全方面地概括了變量間的關(guān)系；二是能夠通過(guò)解析式直接求出任意一種自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值狀況．(2)圖像法：用圖像表達(dá)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖像法的優(yōu)點(diǎn)是：直觀、形象地表達(dá)函數(shù)的變化．(3)列表法：列出表格來(lái)表達(dá)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．列表法的優(yōu)點(diǎn)是：不需要計(jì)算就能夠直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，這種表格常慣用到實(shí)際生產(chǎn)和生活中去．多個(gè)辦法均存在優(yōu)缺點(diǎn)，但無(wú)論是用哪種辦法，都必須體現(xiàn)出函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(4)函數(shù)的解析式①函數(shù)解析式的定義．把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一種等式來(lái)表達(dá)，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析體現(xiàn)式，簡(jiǎn)稱解析式．②求函數(shù)解析式的重要辦法．求函數(shù)解析式的重要辦法有配湊法、換元法和待定系數(shù)法．如果已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的解析式時(shí)，慣用換元法；當(dāng)已知函數(shù)解析式較為簡(jiǎn)樸時(shí)，可直接用配湊法；如果已知函數(shù)解析式的類(lèi)型時(shí)，慣用待定系數(shù)法．③擬定函數(shù)的解析式時(shí)，除了函數(shù)的解析式外，還要標(biāo)注函數(shù)的定義域．建立簡(jiǎn)樸實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)式，首先要選定變量，而后尋找等量關(guān)系，求得函數(shù)解析式，但要注意定義域．4．分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量x在不同取值范疇內(nèi)，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù)．解決與分段函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，最重要的就是邏輯劃分思想，即將問(wèn)題分段解決，還要純熟掌握研究分段函數(shù)性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性等)的普通辦法．5．抽象函數(shù)抽象函數(shù)由于只給出函數(shù)的某些性質(zhì)，卻不懂得具體函數(shù)的解析式，因而成為函數(shù)問(wèn)題中的一種難點(diǎn)．解決抽象函數(shù)問(wèn)題，要全方面應(yīng)用其所含有的性質(zhì)展開(kāi)解題思路，普通的辦法是賦值法，并善于根據(jù)題目條件尋找該函數(shù)的一種原型，協(xié)助探求結(jié)論，找到解題的思路和辦法，即抽象問(wèn)題具體化、直觀化．掌握常見(jiàn)的抽象函數(shù)與基本初等函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：(1)正比例函數(shù)f(x)＝kx滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；(2)指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)；eq\f(fx,fy)＝f(x－y)；(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)＝logax滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝f(x)－f(y)．（六）課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1．(·湖北文)函數(shù)y＝eq\f(1,\r(log0.54x－3))的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)[答案]A[解析]本題重要考察函數(shù)的定義域，解不等式等知識(shí)．log0.5(4x－3)>0＝log0.51，∴0<4x－3<1，∴eq\f(3,4)<x<1.2．(·廣東茂名一模)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex－1，x<2，,log3x2－1，x≥2，))則f[f(2)]的值為()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]∵f(2)＝log3(22－1)＝1，又f(1)＝2·e0＝2，∴f[f(2)]＝2.3．函數(shù)y＝eq\r(xx－1)＋eq\r(x)的定義域?yàn)?)A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}[答案]C[解析]由y＝eq\r(xx－1)＋eq\r(x)得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－1≥0,x≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1或x≤0,x≥0))，∴x≥1或x＝0，∴{x|x≥1}∪{0}．4．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定義域是()A．[0,1] B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)[答案]B[解析]要使g(x)故意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2,x－1≠0))，解得0≤x<1，故定義域?yàn)閇0,1)，選B.5．(·陜西理)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2＋ax，x≥1，))若f(f(0))＝4a，則實(shí)數(shù)a等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(4,5)C．2 D．9[答案]C[解析]f(0)＝20＋1＝2，f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.6．下列各對(duì)函數(shù)中，相似的一組是()A．f(x)＝x，g(x)＝(xeq\f(1,2))2B．f(x)＝eq\r(1－x2)，g(x)＝1－|x|，x∈[－1,1]C．y＝f(x)，g(x)＝f(x＋1)，x∈RD．f(x)＝|lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x|，g(x)＝|x|lg2[答案]D[解析]A中，f(x)的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閤≥0，由于定義域不同，故排除A；B中，即使定義域、值域均相似，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，例feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，故B也排除；C中定義域、值域相似，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，g(x)的圖像可由f(x)的圖像向左平移一種單位得到，因此f(x)與g(x)的圖像不重疊，故C也被排除；D中將f(x)恒等變形后恰為g(x)，且定義域也相似.7．(文)若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋3x<6,log2xx≥6))，則f(－1)的值為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]f(－1)＝f(2)＝f(5)＝f(8)＝log28＝3，選C.(理)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤1,log\f(1,2)xx>1))，則函數(shù)y＝f(2－x)的圖像能夠是()[答案]A[解析]由函數(shù)y＝f(x)的圖像有關(guān)y軸對(duì)稱得到y(tǒng)＝f(－x)的圖像，再把y＝f(－x)的圖像向右平移2個(gè)單位得到y(tǒng)＝f(2－x)的圖像，故選A.8．如圖所示，單位圓中弧eq\x\to(AB)的長(zhǎng)為x，f(x)表達(dá)弧eq\x\to(AB)與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖像是()[答案]D[解析]如圖所示，設(shè)∠AOB＝θ，則x＝θ.則弓形面積＝S扇形－S△AOB＝eq\f(1,2)x×1－2×eq\f(1,2)sineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,2)(x－sinθ)＝eq\f(1,2)(x－sinx)．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，sinx≥0，則x－sinx≤x，其圖像位于y＝x下方．當(dāng)x∈(π，2π]時(shí)，sinx≤0，則x－sinx≥x，其圖像位于y＝x上方．因此只有D項(xiàng)符合題意．二、填空題9．已知函數(shù)f(x)、g(x)分別由下表給出x123f(x)132x123g(x)321則f[g(1)]的值為_(kāi)_______；滿足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．[答案]2；2[解析]f[g(1)]＝f(3)＝2.x123f[g(x)]231g[f(x)]312故f[g(x)]>g[f(x)]的解為x＝2.10．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))),21－x，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))))，定義fn(x)＝f(fn－1(x))，其中f1(x)＝f(x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝________.[答案]eq\f(3,5)[解析]依次計(jì)算：f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(7,10)，f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(3,5)，f3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(4,5)，f4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(2,5)，f5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(9,10)，f6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(1,5)，f7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(7,10)，可知fneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))的最小正周期為6，即得fn＋6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝fneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))，因此feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(3,5).[點(diǎn)評(píng)]該題考察分段函數(shù)的知識(shí)，解題的核心是發(fā)現(xiàn)函數(shù)含有周期性，再將feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))轉(zhuǎn)化為f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))即可．11．已知f(0)＝1，f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，則f(x)＝________.[答案]x2＋x＋1[解析]令a＝0，則f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1再令－b＝x，即得：f(x)＝x2＋x＋1.[點(diǎn)評(píng)]賦值法的核心環(huán)節(jié)是“賦值”，賦值的辦法靈活多樣，既要照顧到已知條件的運(yùn)用和待求結(jié)論的產(chǎn)生，又要考慮所給關(guān)系式的構(gòu)造特點(diǎn)．如本題另解：令b＝a，則1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)＝f(a)－a(a＋1)＝f(a)－a2－a，∴f(a)＝a2＋a＋1，∴f(x)＝x2＋x＋1.第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值（一）高考目的考綱解讀1．理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義．2．會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的單調(diào)性、最值．考向預(yù)測(cè)1．函數(shù)的單調(diào)性與最值是函數(shù)最重要的兩個(gè)性質(zhì)，在每年高考中都有重要體現(xiàn)．2．求單調(diào)區(qū)間、判斷單調(diào)性、求最值及運(yùn)用它們求參數(shù)的取值范疇是熱點(diǎn)．（二）課前自主預(yù)習(xí)知識(shí)梳理1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，①若 ，則f(x)在 上是增函數(shù)；②若 ，則f(x)在 上是減函數(shù)．(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是 或 ，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上含有(嚴(yán)格的)單調(diào)性， 叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值(1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M，滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得 .則稱M是f(x)的最大值．(2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M，滿足：①對(duì)于任意的x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得 .則稱M是f(x)的最小值．3．判斷函數(shù)單調(diào)性的辦法(1)定義法：運(yùn)用定義嚴(yán)格判斷．(2)運(yùn)用函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如若f(x)、g(x)為增函數(shù)，則①f(x)＋g(x)為增函數(shù)；②eq\f(1,fx)為減函數(shù)(f(x)>0)；③eq\r(fx)為增函數(shù)(f(x)≥0)；④f(x)·g(x)為增函數(shù)(f(x)>0，g(x)>0)；⑤－f(x)為減函數(shù)．(3)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性．法則是“ ”，即兩個(gè)簡(jiǎn)樸函數(shù)的單調(diào)性相似，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為 ，若兩個(gè)簡(jiǎn)樸函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為 (4)圖像法．(5)奇函數(shù)在兩個(gè)有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上含有 的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上含有 的單調(diào)性．(6)導(dǎo)數(shù)法①若f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)f′(x)>0時(shí)，f(x)為 函數(shù)；當(dāng)f′(x)<0時(shí)，f(x)為 函數(shù)；②若f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)f(x)在該區(qū)間上遞增時(shí)，則f′(x) 0；當(dāng)f(x)在該區(qū)間上遞減時(shí)，則f′(x) 0.4．基本初等函數(shù)的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域?yàn)镽.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))；當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).（三）基礎(chǔ)自測(cè)1．(教材改編題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是()A．y＝－x＋1B．y＝eq\r(x)C．y＝x2－4x＋5 D．y＝eq\f(2,x)[答案]B[解析]結(jié)合函數(shù)的圖像可知只有選項(xiàng)B對(duì)應(yīng)的函數(shù)滿足題意．2．(·遼寧朝陽(yáng)模擬)f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)為增函數(shù)，f(1)的取值范疇是()A．(－∞，25] B．(25，＋∞)C．[25，＋∞) D．(－∞，25)[答案]C[解析]由題意知對(duì)稱軸eq\f(m,8)≤－2，即m≤－16，因此f(1)＝9－m≥25.3．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1,logax，x≥1))是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范疇是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，1))[答案]C[解析]根據(jù)題意要使原函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)，只需滿足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,0<a<1，,3a－1×1＋4a≥loga1))?eq\f(1,7)≤a<eq\f(1,3).4．(·山東文)函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域?yàn)?)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[答案]A[解析]本題考察了指、對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題．3x>0?3x＋1>1?log2(3x＋1)>log21＝0，選A.5．函數(shù)y＝eq\f(1－x2,1＋x2)的值域?yàn)開(kāi)_______．[答案](－1,1][解析]由y＝eq\f(1－x2,1＋x2)，得x2＝eq\f(1－y,1＋y)≥0，解得－1<y≤1.6．設(shè)a，b∈R，定義max{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥b,ba<b))，函數(shù)f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)，則f(x)的最小值是______．[答案]eq\f(3,2)[解析]令y1＝|x＋1|，y2＝|x－2|，在同一坐標(biāo)系中分別作出其圖像，如圖所示，根據(jù)條件知函數(shù)f(x)的圖像為圖中的射線PA，PB構(gòu)成，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋2,y＝x＋1))，解得y＝eq\f(3,2).即為函數(shù)f(x)的最小值．7．證明：f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)．[證明]設(shè)x1，x2是(－∞，－1)內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則Δx＝x2－x1>0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2－x1x1x2－1,x1x2)，∵x1<x2<－1，∴x1x2>1>0.∴x1x2－1>0，∴Δy＝f(x2)－f(x1)>0.因此f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(－∞，－1)上是增函數(shù)．（四）典型例題1.命題方向：求函數(shù)的值域[例1]求下列函數(shù)的值域(1)y＝2x2＋x(2)y＝|x－1|＋|x＋4|(3)y＝eq\f(2x＋1,x－1)(4)y＝2x＋4eq\r(1－x)(5)y＝x－eq\r(1－x2)(6)y＝x5－5x4＋5x3＋2，x∈[－1,2][分析]上述各題在求解之前，先應(yīng)觀察其構(gòu)造特點(diǎn)選擇最優(yōu)的辦法，然后再解．[解析](1)采用配辦法∵y＝2x2＋x＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))2－eq\f(1,8)≥－eq\f(1,8)∴函數(shù)y＝2x2＋x的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，＋∞))(2)解法1：(圖像法)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－3x≤－4,5－4<x<1,2x＋3x≥1))畫(huà)圖像以下從圖像可知：y≥5，即值域?yàn)閇5，＋∞)．解法2：(單調(diào)性法)當(dāng)x≤－4時(shí)，y＝－2x－3為減函數(shù)，∴y≥－2×(－4)－3＝5，當(dāng)－4<x<1時(shí)，y＝5，當(dāng)x≥1時(shí)，y＝2x＋3為增函數(shù)，∴y≥2×1＋3＝5.綜上可知，函數(shù)值域?yàn)閧y|y≥5}．(3)解法1：(反函數(shù)法)∵y＝eq\f(2x＋1,x－3)的反函數(shù)為y＝eq\f(3x＋1,x－2)，其定義域?yàn)閧x|x≠2}，∴原函數(shù)的值域是{y|y∈R且y≠2}．解法2：(分離常數(shù)法)∵y＝eq\f(2x＋1,x－3)＝eq\f(2x－3＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3)，其中eq\f(7,x－3)≠0，∴y＝eq\f(2x＋1,x－3)的值域是(－∞，2)∪(2，＋∞)．(4)采用換元法．設(shè)t＝eq\r(1－x)≥0，則x＝1－t2，于是y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，故可知y∈(－∞，4]．(5)運(yùn)用三角代換法．由于|x|≤1，因此設(shè)x＝cosθ，θ∈[0，π]，則y＝cosθ－sinθ＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))).∵θ∈[0，π]，∴eq\f(π,4)≤θ＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，于是－1≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤eq\f(\r(2),2)，即得知－eq\r(2)≤y≤1.∴函數(shù)的值域?yàn)閇－eq\r(2)，1]．(6)導(dǎo)數(shù)法．y′＝5x4－20x3＋15x2，令y′＝0，得5x4－20x3＋15x2＝0，即5x2(x－3)(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1，x3＝3.由于x3?[－1,2]，因此只要比較f(0)，f(1)，f(－1)，f(2)．由解析式可知：f(x)最大值為3，最小值為－9.故值域?yàn)閇－9,3]．[點(diǎn)評(píng)](1)對(duì)于二次函數(shù)型的一類(lèi)問(wèn)題常采用配辦法求值域．(2)換元法是解決無(wú)理函數(shù)值域的最有效手段．跟蹤練習(xí)1：求下列函數(shù)的值域．(1)y＝4－eq\r(3＋2x－x2)；(2)y＝2x＋eq\r(1－2x)；(3)y＝x＋eq\r(1－x2)；(4)y＝eq\f(1－2x,1＋2x)；(5)y＝eq\f(x2－x＋3,x2－x＋1)；(6)y＝eq\f(2－sinx,2＋sinx).[解析](1)(配辦法)：由3＋2x－x2≥0，得－1≤x≤3.∵y＝4－eq\r(－x－12＋4)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝2.當(dāng)x＝－1或3時(shí)，ymax＝4.∴函數(shù)值域?yàn)閇2,4](2)(換元法)：令t＝eq\r(1－2x)(t≥0)，則x＝eq\f(1－t2,2)∴y＝－t2＋t＋1＝－(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(5,4)，∵當(dāng)t＝eq\f(1,2)即x＝eq\f(3,8)時(shí)，ymax＝eq\f(5,4)，無(wú)最小值．∴函數(shù)值域?yàn)?－∞，eq\f(5,4)](3)(三角代換法)函數(shù)的定義域是{x|－1≤x≤1}．設(shè)x＝sint，－eq\f(π,2)≤t≤eq\f(π,2)，則y＝x＋eq\r(1－x2)化為y＝sint＋cost＝eq\r(2)sin(t＋eq\f(π,4))．∵－eq\f(π,2)≤t≤eq\f(π,2)∴－eq\f(π,4)≤t＋eq\f(π,4)≤eq\f(3π,4)，∴－eq\f(\r(2),2)≤sin(t＋eq\f(π,4))≤1，∴－1≤y≤eq\r(2)∴函數(shù)的值域是[－1，eq\r(2)]．(4)分離常數(shù)法f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝eq\f(2,1＋2x)－1，由于1＋2x＞1,0＜eq\f(2,1＋2x)＜2，因此－1＜eq\f(2,1＋2x)－1＜1，故所求值域?yàn)?－1,1)．(5)(鑒別式法)由y＝eq\f(x2－x＋3,x2－x＋1)變形得(y－1)x2－(y－1)x＋y－3＝0當(dāng)y＝1時(shí)，此方程無(wú)解；當(dāng)y≠1時(shí)，∵x∈R∴Δ＝(y－1)2－4(y－1)(y－3)≥0解得1≤y≤eq\f(11,3)，又∵y≠1∴1＜y≤eq\f(11,3).故函數(shù)的值域?yàn)閧y|1＜y≤eq\f(11,3)}．(6)(運(yùn)用三角函數(shù)有界性)由y＝eq\f(2－sinx,2＋sinx)，解得sinx＝eq\f(－2y＋2,y＋1)，∵－1≤sinx≤1，∴－1≤eq\f(－2y＋2,y＋1)≤1.由eq\f(－2y＋2,y＋1)≤1得y<－1或y≥eq\f(1,3)，由eq\f(－2y＋2,y＋1)≥－1得，－1<y≤3，∴所求函數(shù)值域?yàn)閇eq\f(1,3),3]．(你會(huì)用分離常數(shù)求解嗎？)[點(diǎn)評(píng)]對(duì)于形如y＝ax＋b＋eq\r(cx＋d)的函數(shù)，令t＝eq\r(cx＋d)，使之變形為二次函數(shù)，對(duì)于含eq\r(a2－x2)構(gòu)造的函數(shù)，可運(yùn)用三角代換，令x＝acosθ，θ∈[0，π]，或令x＝asinθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))轉(zhuǎn)化為三角函數(shù).2.命題方向：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間[例2]求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性．(1)y＝a1－x2(a>0，且a≠1)；(2)y＝logeq\f(1,2)(4x－x2)．[分析]運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的鑒別辦法判斷該類(lèi)題目．(1)的復(fù)合關(guān)系為y＝at，t＝1－x2；(2)的復(fù)合關(guān)系為y＝logeq\f(1,2)t，t＝4x－x2.[解析](1)令t＝1－x2，則t＝1－x2的遞減區(qū)間是[0，＋∞)，遞增區(qū)間是(－∞，0]．又當(dāng)a>1時(shí)，y＝at在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝at在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．∴當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[0，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0]；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，0]，單調(diào)增區(qū)間是[0，＋∞)．(2)由4x－x2>0，得函數(shù)的定義域是(0,4)．令t＝4x－x2，∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，∴t＝4x－x2的遞減區(qū)間是[2,4)，遞增區(qū)間是(0,2]．又y＝logeq\f(1,2)t在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(0,2]，單調(diào)增區(qū)間是[2,4)[點(diǎn)評(píng)](1)復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)規(guī)律是“同則增，異則減”，即f(u)與u＝g(x)若含有相似的單調(diào)性，則f[g(x)]為增函數(shù)，若含有不同的單調(diào)性，則f[g(x)]必為減函數(shù)．討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的環(huán)節(jié)是：①求出復(fù)合函數(shù)的定義域；②把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)，并鑒定其單調(diào)性；③把中間變量的變化范疇轉(zhuǎn)化成自變量的變化范疇；④根據(jù)上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律鑒定其單調(diào)性(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(即判斷函數(shù)的單調(diào)性)，普通有下列幾個(gè)辦法：①圖像法．②定義法．③運(yùn)用已知函數(shù)的單調(diào)性，如函數(shù)y＝x與y＝eq\f(1,x)的單調(diào)性(一增一減)等．④運(yùn)用導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)．⑤如果函數(shù)的解析式中含有參數(shù)(字母)，往往需要考慮分類(lèi)討論的思想辦法．跟蹤練習(xí)2：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(2)f(x)＝log2(6＋x－2x2)；(3)f(x)＝x＋eq\f(9,x).[分析](1)去絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解或畫(huà)出函數(shù)圖像求解；(2)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性鑒定法則“同增異減”求解；(3)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求解．[解析](1)辦法一：∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0，))∴由二次函數(shù)性質(zhì)知f(x)的增區(qū)間是(－∞，－1]和[0,1]；減區(qū)間是[－1,0]和[1，＋∞)．辦法二：∵f(x)為偶函數(shù)，∴其圖像為由圖像知f(x)的增區(qū)間為(－∞，－1]和[0,1]；減區(qū)間為[－1,0]和[1，＋∞)．(2)由6＋x－2x2>0，得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2)).令u＝6＋x－2x2，則函數(shù)u在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,4)))上為增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))上為減函數(shù)．又∵y＝log2u在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,4)))，減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2)).(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}．f′(x)＝1－eq\f(9,x2)＝eq\f(x2－9,x2).令f′(x)>0，得x<－3或x>3；令f′(x)<0，得－3<x<0或0<x<3.∴f(x)的增區(qū)間是(－∞，－3]和[3，＋∞)，減區(qū)間是(－3,0)和(0,3)．[點(diǎn)評(píng)]欲求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，需先求函數(shù)定義域，然后根據(jù)解析式的特性選擇合理的辦法．另外，注旨在解答題中判斷函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間時(shí)普通用導(dǎo)數(shù)法或定義法.3.命題方向：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明[例3]討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a>0)的單調(diào)性．[分析]先將函數(shù)解析式的構(gòu)造特性分析、轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)解析式特性選擇合理的辦法求解．[解析]∵f(x)＝eq\f(ax,x－1)＝eq\f(ax－a＋a,x－1)＝a＋eq\f(a,x－1)，∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}．辦法一：(定義法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不為1，x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(a,x1－1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(a,x2－1)))＝eq\f(ax2－a－ax1＋a,x1－1x2－1)＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1).①當(dāng)x1<x2<1時(shí)，x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．②當(dāng)1<x1<x2時(shí)，x2－1>0，x1－1>0，x2－x1>0，a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函數(shù)f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均為減函數(shù)．辦法二：(導(dǎo)數(shù)法)∵f′(x)＝eq\f(－a,x－12)，又∵a>0，∴f′(x)<0在(－∞，1)∪(1，＋∞)上恒成立，即函數(shù)f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均為減函數(shù)．辦法三：(圖像法)由f(x)＝a＋eq\f(a,x－1)可知其圖像對(duì)稱中心是(1，a)，x＝1，y＝a是它的兩條漸近線，由圖可知∴f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均為減函數(shù)．[點(diǎn)評(píng)]在研究單調(diào)性的眾多辦法中，定義法和導(dǎo)數(shù)法是通法，但定義法運(yùn)算量較大．而其它辦法則比較靈活，需要充足分析函數(shù)解析式的特性，這些辦法在選擇、填空題中應(yīng)用較廣泛．另外，本題的結(jié)論容易寫(xiě)成“f(x)在(－∞，1)∪(1，＋∞)上是減函數(shù)”這一錯(cuò)誤形式．跟蹤練習(xí)3用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．[分析]由單調(diào)性定義直接證明．[證明]任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則f(x2)－f(x1)＝(ax2＋a－x2)－(ax1＋a－x1)＝(ax2－ax1)＋(a－x2－a－x1)＝ax2－ax1＋＝，∵0<x1<x2，∴x1＋x2>0，∴ax1＋x2>0，(1)當(dāng)a>1時(shí)，ax2>ax1，ax2－ax1>0，ax1＋x2＞a0＝1，ax1＋x2－1>0，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，ax2<ax1，ax2－ax1<0，0<ax1＋x2<a0＝1，ax1＋x2－1<0，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．總而言之，對(duì)于任何a>0且a≠1，都有f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．[點(diǎn)評(píng)]證明函數(shù)的單調(diào)性，基本上都是運(yùn)用定義，以同一種格式來(lái)進(jìn)行，應(yīng)避免過(guò)程中的似是而非，含糊不清．在判斷f(x2)－f(x1)與0的大小時(shí)，盡量將其化為積或商或完全平方的形式，從而明確f(x2)－f(x1)與0的大小關(guān)系，研究三次函數(shù)或其它較復(fù)雜的函數(shù)的單調(diào)性與最值問(wèn)題時(shí)，普通是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具來(lái)解決問(wèn)題.4.命題方向：抽象函數(shù)的單調(diào)性[例4]定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，且對(duì)任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)證明：f(0)＝1；(2)證明：對(duì)任意的x∈R，恒有f(x)>0；(3)證明：f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x)·f(2x－x2)>1，求x的取值范疇[解析](1)證明：令a＝b＝0，則f(0)＝f2(0)．又f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)證明：當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)＝1.∴f(－x)＝eq\f(1,fx)>0.又x≥0時(shí)f(x)≥1>0，∴x∈R時(shí)，恒有f(x)>0.(3)證明：設(shè)x1<x2，則x2－x1>0.∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.又f(x1)>0，∴f(x2－x1)·f(x1)>f(x1)．∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)是R上的增函數(shù)．(4)解：由f(x)·f(2x－x2)>1，f(0)＝1得f(3x－x2)>f(0)．又f(x)是R上的增函數(shù)，∴3x－x2>0.∴0<x<3.[點(diǎn)評(píng)]解本題的核心是靈活應(yīng)用題目條件，特別是(3)中“f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]”是證明單調(diào)性的核心，這里體現(xiàn)了向條件化歸的方略．(3)也能夠設(shè)x2＝x1＋t(t>0)，f(x2)＝f(x1＋t)＝f(x1)·f(t)>f(x1)；或者設(shè)x1<x2，則eq\f(fx2,fx1)＝eq\f(fx2·f－x1,fx1·f－x1)＝eq\f(fx2－x1,f0)>1，又f(x1)、f(x2)>0.故f(x2)>f(x1)．跟蹤練習(xí)4：已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.[分析]當(dāng)x1＝x2時(shí)，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))可產(chǎn)生f(1)；欲討論f(x)單調(diào)性，須比較f(x1)－f(x2)與0的大小，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))與0的大小，為此須運(yùn)用條件x>1時(shí)，f(x)<0，即eq\f(x1,x2)>1時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))<0；欲解不等式f(|x|)<－2，須考慮應(yīng)用單調(diào)性脫去“f”，故須把－2化為函數(shù)值，這須由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)，賦值產(chǎn)生f(x0)＝－2.[解析](1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x1)))＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則eq\f(x1,x2)>1，由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，因此feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．(3)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,3)))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，因此f(9)＝－2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，因此當(dāng)x>0時(shí)，由f(|x|)<－2得f(x)<f(9)，因此x>9；當(dāng)x<0時(shí)，由f(|x|)<－2得f(－x)<f(9)，因此－x>9，故x<－9.因此不等式的解集為{x|x>9或x<－9}.5.命題方向：?jiǎn)握{(diào)性與最值[例5]函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(a,x)的定義域?yàn)?0,1](a為實(shí)數(shù))．(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)的值域；(2)若函數(shù)y＝f(x)在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范疇；(3)函數(shù)y＝f(x)在x∈(0,1]上的最大值及最小值，并求出函數(shù)取最值時(shí)x的值．[解析](1)顯然函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇2eq\r(2)，＋∞)；(2)若函數(shù)y＝f(x)在定義域上是減函數(shù)，則任取x1，x2∈(0,1]且x1<x2都有f(x1)>f(x2)成立，即(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,x1x2)))>0，只要a<－2x1x2即可，由x1，x2∈(0,1]，故－2x1x2∈(－2,0)，因此a≤－2，故a的取值范疇是(－∞，－2]；或用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷．(3)當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，當(dāng)x＝1時(shí)獲得最大值2－a；由(2)得當(dāng)a≤－2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，無(wú)最大值，當(dāng)x＝1時(shí)獲得最小值2－a；當(dāng)－2<a<0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(－2a),2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(－2a),2)，1))上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，當(dāng)x＝eq\f(\r(－2a),2)時(shí)獲得最小值2eq\r(－2a).跟蹤練習(xí)5已知函數(shù)f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.(1)求f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值h(t)；(2)與否存在實(shí)數(shù)m，使得y＝f(x)的圖像與y＝g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范疇；若不存在，闡明理由．[解析](1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，當(dāng)t＋1<4，即t<3時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；當(dāng)t≤4≤t＋1，即3≤t≤4時(shí)，h(t)＝f(4)＝16；當(dāng)t>4時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減，h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.綜上，h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋6t＋7，t<3,163≤t≤4,－t2＋8t，t>4))(2)函數(shù)y＝f(x)的圖像與y＝g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)φ(x)＝g(x)－f(x)的圖像與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)．∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，∴φ′(x)＝2x－8＋eq\f(6,x)＝eq\f(2x2－8x＋6,x)＝eq\f(2x－1x－3,x)(x>0)．當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，φ′(x)<0，φ(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，φ′(x)>0，φ(x)是增函數(shù)；當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，φ′(x)＝0.∴φ(x)極大值＝φ(1)＝m－7，φ(x)極小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.∵當(dāng)x充足靠近0時(shí)，φ(x)<0；當(dāng)x充足大時(shí)，φ(x)>0.∴要使φ(x)的圖像與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(φx極大值＝m－7>0,φx極小值＝m＋6ln3－15<0))，即7<m<15－6ln3.因此存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范疇為(7,15－6ln3)．（五）思想辦法點(diǎn)撥1．求函數(shù)值域的辦法求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，它沒(méi)有固定的辦法和模式．慣用的辦法有：(1)直接法——從自變量x的范疇出發(fā)，通過(guò)觀察和代數(shù)運(yùn)算推出y＝f(x)的取值范疇；(2)配辦法——配辦法是求“二次型函數(shù)”值域的基本辦法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可使用配辦法．(3)反函數(shù)法——運(yùn)用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域．形如y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(a≠0)的函數(shù)的值域，均可使用反函數(shù)法．另外，這種類(lèi)型的函數(shù)值域也可使用“分離常數(shù)法”求解．(4)鑒別式法——把函數(shù)轉(zhuǎn)化成有關(guān)x的二次方程F(x，y)＝0，通過(guò)方程有實(shí)根，鑒別式Δ≥0，從而求得原函數(shù)的值域．形如y＝eq\f(a1x2＋b1x＋c1,a2x2＋b2x＋c2)(a1，a2不同時(shí)為零)的函數(shù)的值域慣用此法求解．前提條件：①函數(shù)的定義域應(yīng)為R；②分子、分母沒(méi)有公因式．(5)換元法——運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易擬定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．例如：形如y＝ax＋b±eq\r(cx＋d)(a、b、c、d均為常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)慣用此法求解．(6)不等式法——運(yùn)用基本不等式：a＋b≥2eq\r(ab)(a、b∈R＋)求函數(shù)的值域．用不等式法求值域時(shí)，要注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”．(7)單調(diào)性法——根據(jù)函數(shù)在定義域(或定義域的某個(gè)子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域．(8)求導(dǎo)法——當(dāng)一種函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值；(9)數(shù)形結(jié)正當(dāng)——當(dāng)一種函數(shù)圖像可作時(shí)，通過(guò)圖像可求其值域和最值；或運(yùn)用函數(shù)所示的幾何意義，借助于幾何辦法求出函數(shù)的值域．2．對(duì)于函數(shù)單調(diào)性定義的理解，要注意下列三點(diǎn)(1)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某一種區(qū)間而言的．例如，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是減函數(shù)，但在(－1,0)∪(0,1)上卻不一定是減函數(shù)．如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x).(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的性質(zhì)，因此定義中的x1，x2在這一區(qū)間上含有任意性，不能用特殊值替代．(3)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且f(x1)<f(x2)?x1<x2(或x1>x2)，這闡明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系能夠互推．如：y＝f(x)是定義在[－1,1]上的增函數(shù)，你會(huì)解不等式f(1－x)<f(1－x2)嗎？3．在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)先擬定函數(shù)的定義域如求函數(shù)y＝lg(x2－2x－3)的增區(qū)間時(shí)，易認(rèn)為[1，＋∞)是它的增區(qū)間，而事實(shí)上它的增區(qū)間為(3，＋∞)．4．給出抽象函數(shù)關(guān)系式，討論其性質(zhì)的題目，基本辦法是賦值用定義討論．如判斷單調(diào)性，須發(fā)明條件，判斷f(x1)－f(x2)的符號(hào)或eq\f(fx1,fx2)與1的大小．5．純熟掌握增、減函數(shù)的定義，注意定義的以下兩種等價(jià)形式：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么：(1)eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)．eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．6．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)＞0，則f(x)為增函數(shù)；如果f′(x)＜0，則f(x)為減函數(shù)．（六）課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1．(·重慶文)函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域是()A．[0，＋∞) B．[0,4]C．[0,4) D．(0,4)[答案]C[解析]本題考察函數(shù)的值域的求法以及換元的辦法．令u＝16－4x，則y＝eq\r(u)，u≥0，由于4x>0，－4x<0，因此0≤16－4x<16∴y＝eq\r(u)∈[0,4)，故選C.2．(·福建理)下列函數(shù)f(x)中，滿足“對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex