2022年湖北省恩施市州高級中學高三數(shù)學文期末試卷含解析

2022年湖北省恩施市州高級中學高三數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.一個幾何體的三視圖如下圖所示，其中正視圖是正三角形，則幾何體的外接球的表面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知全集，，，則集合A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.樣本中共有5個個體，其中四個值分別為0，1，2，3，第五個值丟失，但該樣本的平均值為1，則樣本方差為＝（）A、B、C、D、2參考答案：D4.已知△ABC的面積為l，內(nèi)切圓半徑也為l，若△ABC的三邊長分別為a，b，c，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．參考答案：D【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；%H：三角形的面積公式．【分析】先根據(jù)三角形的面積和內(nèi)切圓半徑也為l，得到a+b+c=2，則根據(jù)導數(shù)的和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出最值．【解答】解：∵△ABC的面積為l，內(nèi)切圓半徑也為l，△ABC的三邊長分別為a，b，c，∴（a+b+c）×1=1，即a+b+c=2，即a+b=2﹣c，∴0＜c＜2∴=+=+﹣1，設(shè)f（x）=+﹣1，0＜x＜2，∴f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=﹣2+2，當x∈（0，﹣2+2）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當x∈（﹣2+2，2）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（﹣2+2）=2+2，故的最小值為2+2，故選：D．5.下列命題：①“”是“存在n∈N*，使得成立”的充分條件；②“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要條件；③“”是“不等式對一切n∈N*恒成立”的充要條件．其中所以真命題的序號是（）A．③B．②③C．①②D．①③參考答案：考點：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：計算題．分析：選項①“”應(yīng)是“存在n∈N*，使得成立”的充要條件；選項②當存在n∈N*，使得成立時，a只需大于當n∈N*，時的最小取值即可，可得a＞0；選項③由充要條件的證明方法可得．解答：解：選項①當時，必存在n∈N*，使得成立，故前者是后者的充分條件，但存在n∈N*，使得成立時，a即為當n∈N*，時的取值范圍，即，故“”應(yīng)是“存在n∈N*，使得成立”的充要條件，故①錯誤；選項②當存在n∈N*，使得成立時，a只需大于當n∈N*，時的最小取值即可，故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要條件，故②正確；選項③由①知，當n∈N*時的取值范圍為，故當時，必有“不等式對一切n∈N*恒成立”，而要使不等式對一切n∈N*恒成立”，只需a大于的最大值即可，即a故“”是“不等式對一切n∈N*恒成立”的充要條件．故選B點評：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及指數(shù)函數(shù)和恒成立問題，屬基礎(chǔ)題．6.若變量x、y滿足約束條件，則z=x-2y的最大值為

A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：B略7.已知拋物線的焦點為F，點A在C上，AF的中點坐標為(2,2)，則C的方程為（

）A． B．C． D．

參考答案：B由拋物線，可得焦點為，點A在曲線C上，AF的中點坐標為，由中點公式可得，可得，代入拋物線的方程可得，解得，所以拋物線的方程為，故選B.

8.已知f（x）=x2﹣3，g（x）=mex，若方程f（x）=g（x）有三個不同的實根，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．（0，2e）參考答案：A【考點】54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】設(shè)f（x）與g（x）的共同切線的切點為（x0，y0），根據(jù)導數(shù)求出切點，即可求出m的值，結(jié)合圖象可知m的取值范圍．【解答】解：設(shè)f（x）與g（x）的共同切線的切點為（x0，y0），∵f（x）=x2﹣3，g（x）=mex，∴f′（x）=2x，g（x）=mex，∴f′（x0）=g′（x0），f（x0）=g（x0），∴2x0=，x02﹣3=，∴x0=x02﹣3，解得x0=3，或x0=﹣1（舍去）當x0=3，∴6=me3，即m=，∵方程f（x）=g（x）有三個不同的實根，由圖象可知，∴0＜m＜，故選：A．9.若在區(qū)間上有極值點,則實數(shù)的取值范圍是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．B12【答案解析】C

解析：∵函數(shù)f（x）=﹣x2+x+1，∴f′（x）=x2﹣ax+1，若函數(shù)f（x）=﹣x2+x+1在區(qū)間（，3）上有極值點，則f′（x）=x2﹣ax+1在區(qū)間（，3）內(nèi)有零點，即f′（）?f′（3）＜0即（﹣a+1）?（9﹣3a+1）＜0，解得2＜a＜．故選C．【思路點撥】由函數(shù)f（x）=﹣x2+x+1在區(qū)間（，3）上有極值點，我們易得函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間（，3）內(nèi)有零點，結(jié)合零點存在定理，我們易構(gòu)造出一個關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．10.已知則等于A

B

C

D參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系中，為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線的最小值為_______參考答案：12.已知點P，A，B，C在同一球面上，PA⊥平面ABC，AP=2AB=2，AB=BC，且?=0，則該球的表面積是．參考答案：6π【考點】LG：球的體積和表面積；LR：球內(nèi)接多面體．【分析】利用PA⊥平面ABC，AP=2AB=2，AB=BC，且?=0，可擴充為長方體，長寬高分別為1，1，2，其對角線長度為=，可得球的半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：∵?=0，∴AB⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴可擴充為長方體，長寬高分別為1，1，2，其對角線長度為=，∴球的半徑為，∴球的表面積是4πR2=4=6π．故答案為：6π．13.若直線平分圓，則的最小值是

.參考答案：3+

14.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),在上，則在上的解析式為

參考答案：略15.代號為“狂飆”的臺風于某日晚點在距港口的碼頭南偏東的千米的海面上形成，預計臺風中心將以千米/時的速度向正北方向移動，距臺風中心千米的范圍都會受到臺風影響，則碼頭從受到臺風影響到影響結(jié)束，將持續(xù)

小時.參考答案：考點：1、數(shù)學建模能力及閱讀能力；2、圓的性質(zhì)及勾股定理.16.在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則的值等于

.

參考答案：略17.在矩形ABCD中，，，點F在邊CD上．若，則的值是______．參考答案：【分析】由平面向量數(shù)量積的運算得：||||cos∠FAB＝||||＝3，即||，即||，即||，得解．【詳解】因為，所以||||cos∠FAB＝||||＝3，所以||，所以||，所以||，故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.等差數(shù)列的前項和為，已知.（1）求，并求的最小值；（2）若從中抽取一個公比為的等比數(shù)列，其中，且，，當取最小值時，求的通項公式.參考答案：(1)；(2).（2）因為數(shù)列是正項遞增等差數(shù)列，所以數(shù)列的公比，若，則由，得，此時，由，解得，所以，同理；若，則由，得，此時，另一方面，，所以，即，所以對任何正整數(shù)，是數(shù)列的第項，所以最小的公比.所以.考點：等差數(shù)列的通項及前項和不等式等有關(guān)知識的綜合運用．19.已知數(shù)列為數(shù)列的前項和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的通項公式參考答案：（1）當時，，當時，由，得：，則當時，適合上式綜上，是公比為，首項為的等比數(shù)列，；（2），，，累加得.20.已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），圓C的極坐標方程為p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．（Ⅰ）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；（Ⅱ）若圓C上的點到直線l的最大距離為3，求r值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】坐標系和參數(shù)方程．【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)互化公式消去相應(yīng)的參數(shù)即可；（Ⅱ）結(jié)合點到直線的距離公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去參數(shù)，得x+y﹣=0，直線l的直角坐標方程為x+y﹣=0，∵圓C的極坐標方程為p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．∴（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．∴圓C的直角坐標方程為（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．（Ⅱ）∵圓心C（﹣，﹣），半徑為r，…（5分）圓心C到直線x+y﹣=0的距離為d==2，又∵圓C上的點到直線l的最大距離為3，即d+r=3，∴r=3﹣2=1．【點評】本題重點考查了曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標方程和直角坐標方程的互化等知識．21.已知橢圓C的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于,它的一個頂點恰好是拋物線的焦點．（1）求橢圓C的方程；（2）、是橢圓上兩點，A、B是橢圓位于直線PQ兩側(cè)的兩動點，①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；②當A、B運動時，滿足，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．參考答案：（1）設(shè)C方程為（a＞b＞0），則．由，，得a=4∴橢圓C的方程為．（4分）（2）①設(shè)，，直線AB的方程為，代入，得，由＞0，解得＜＜4．（6分）由韋達定理得，．四邊形APBQ的面積，∴當時．（8分）②當，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為，則PB的斜率為，PA的直線方程為，由．將（1）代入（2）整理得，有．（10分）同理PB的直線方程為，可得，∴，．（12分）從而====，所以的斜率為定值．（13分）22.如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F(xiàn)為線段DE上的動點．（Ⅰ）若F為DE的中點，求證：BE∥平面ACF；（Ⅱ）若二面角E﹣BC﹣F與二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF長．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系；二面角的平面角及求法．【分析】（I）連接AC，BD交于O，連OF，利用三角形的中位線平行于底邊得到OF∥BE，利用直線與平面平行的判定定理得證．（II）法一：利用二面角的平面角的定義，通過作輔助線，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)找出二面角E﹣BC﹣D的平面角與二面角F﹣BC﹣D的平面角，利用已知條件得到線段的長度關(guān)系．法二：通過建立空間直角坐標系，求出兩個面的法向量，利用向量的數(shù)量積公式求出二面角E﹣BC﹣F的余弦值，同理求出二面角D﹣BC﹣F的余弦值，根據(jù)已知它們的絕對值相等，列出方程求出DF的長度．【解答】證明：（Ⅰ）連接AC，BD交于O，連OF，如圖1∵F為DE中點，O為BD中點，∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，∴BE∥平面ACF．…（Ⅱ）如圖2，過E作EH⊥AD于H，過H作MH⊥BC于M，連接ME，同理過F作FG⊥AD于G，過G作NG⊥BC于N，連接NF，∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，∴HE⊥BC，∴BC⊥平面MHE，∴∠HME為二面角E﹣BC﹣D的平面角，同理，∠GNF