《概率論與數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)》總結(jié)復(fù)習(xí)

第一章隨機(jī)大事與概率1.貫穿本章的基本概念可總結(jié)為三個(gè)方面：１）隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)大事及基本領(lǐng)件,樣本空間及樣本點(diǎn)；２）大事關(guān)系及其運(yùn)算，對偶法則與互不相容分解();３)概率的概念及性質(zhì),古典概型。2．關(guān)于概率計(jì)算，首先要嫻熟運(yùn)用古典概率計(jì)算公式及排列組合公式直接解題，其次要緊扣題設(shè)條件、選擇適當(dāng)公式、正確完成計(jì)算.計(jì)算公式匯合如下:１）逆大事概率公式：。注1：當(dāng)直接計(jì)算A時(shí)問題較為簡潔,難以計(jì)算，可考慮用逆大事概率公式進(jìn)行簡化。注2：題目中消滅“至少",首先考慮是否可用逆大事概率進(jìn)行計(jì)算；如果不行行，再利用加法公式。２）加法公式：.若A1，A2，…,An是相互獨(dú)立大事,則.3)減法公式:。強(qiáng)調(diào):利用概率的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí),首先畫出大事的文氏圖，把概率的計(jì)算當(dāng)做是圖形面積的計(jì)算，可以得到正確的結(jié)果.其次章條件概率與獨(dú)立性1.貫穿本章的基本概念可總結(jié)為兩個(gè)方面:1）條件概率及其三個(gè)應(yīng)用;2）大事的獨(dú)立性。２.關(guān)于條件概率，首先要嫻熟掌握定義：。注:題目消滅條件概率，首先考慮依據(jù)定義展開。3．對于條件概率，用三個(gè)重要的應(yīng)用：1）乘法公式:；一般情形:.注:應(yīng)用場合:n個(gè)大事的發(fā)生有著明顯的先后挨次,考慮ｎ個(gè)大事同時(shí)發(fā)生的概率時(shí)可使用乘法公式。但一般情形的乘法公式不是常常用到。2）全概率公式:設(shè)Ｂ１,Ｂ2,…，Bｎ為樣本空間Ω的一個(gè)劃分，如果P(Ｂi）〉0，i=1,2,…，ｎ,則對Ω中的任一大事A，有。注：應(yīng)用場合：問題有明顯的時(shí)間先后挨次，考慮后一步發(fā)生的概率，應(yīng)考慮使用全概率公式,劃分的選取由前一步?jīng)Q定。3)貝葉斯公式：。注:應(yīng)用場合：貝葉斯公式是全概率公式的后續(xù)問題，它求解的是已知結(jié)果消滅，考慮緣由的條件概率,做題時(shí)應(yīng)注意。強(qiáng)調(diào):這些公式有特定的應(yīng)用場合，做題時(shí)先分析清楚是否需要使用，應(yīng)該如何使用!4．關(guān)于大事的獨(dú)立性，掌握兩個(gè)大事和三個(gè)大事獨(dú)立性的定義。注1：大事的獨(dú)立性與大事的互不相容是兩個(gè)完全不同的概念，要注意區(qū)分。注２：做題時(shí)肯定要看清楚A和B是否相互獨(dú)立。第三章一維隨機(jī)變量及其分布1。本章概念多，抽象性強(qiáng)．從應(yīng)用需要看，要理解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量、分布列、分布密度、分布函數(shù)、隨機(jī)變量函數(shù)的概念，格外要掌握描述隨機(jī)變量取值概率規(guī)律的分布．２.關(guān)于分布函數(shù)：1）定義：.注：分布函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。２）性質(zhì)：單調(diào)不減；；右連續(xù)性。3)利用分布函數(shù)計(jì)算大事的概率:。4)特殊情形下的分布函數(shù)：若X為離散型隨機(jī)變量，則X的分布函數(shù)Ｆ（x）是分段階梯函數(shù)，在X的可能取值ｘk處發(fā)生間斷,間斷點(diǎn)為第一類跳動(dòng)間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度ｐk；若X為連續(xù)型隨機(jī)變量,則,要能正確地確定積分上下限進(jìn)行計(jì)算.3．關(guān)于離散型隨機(jī)變量，一切問題的處理都依靠于分布律,內(nèi)容相對簡潔。4．關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量,一切問題的處理都依靠于概率密度ｆ(x）。注:重要的計(jì)算公式：（用于求未知參數(shù)的值);。5．嫻熟掌握常用的三種離散型隨機(jī)變量和三種連續(xù)型隨機(jī)變量：Ｘ０1P1－ｐp1）兩點(diǎn)分布：２)二項(xiàng)分布:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,X表示n次試驗(yàn)中大事A發(fā)生的次數(shù)，,（k＝0，1，２,…，ｎ），記為B（n，p）．注:要注意二項(xiàng)分布的應(yīng)用背景，題目中消滅“發(fā)生的次數(shù)"，應(yīng)聯(lián)想到二項(xiàng)分布.3）泊松分布:，（k＝1，2,…），簡記為P（λ）。注：題目中消滅“k！”，應(yīng)聯(lián)想到泊松分布.4）均勻分布:在區(qū)間[a，b]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),X表示數(shù)的坐標(biāo),則X的概率密度為簡記為U［ａ，b］．5)指數(shù)分布：簡記為EP(λ)。注:題目中消滅“e—λx”，應(yīng)聯(lián)想到指數(shù)分布。６）正態(tài)分布：，簡記為.格外地,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(０，1），密度函數(shù)用φ（ｘ）表示，分布函數(shù)用Φ(x）表示。注1：題目中消滅“e—aｘ2+bx+c”，應(yīng)聯(lián)想到正態(tài)分布。注2:正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于“x＝μ”對稱，有些題目可以依據(jù)對稱性求解。注3:正態(tài)分布相關(guān)大事概率的計(jì)算：“標(biāo)準(zhǔn)化”.注4：重要結(jié)論:。6.關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)的分布，方法比較固定,大家可以看課件或者作業(yè)題，這里不再詳述。第四章多維隨機(jī)變量及其分布1.多維隨機(jī)變量是由兩個(gè)以上隨機(jī)變量構(gòu)成,其概率特性不僅決定于各個(gè)重量,同時(shí)也與這些隨機(jī)變量的聯(lián)合特征有關(guān),這是處理多維隨機(jī)變量在方法上要更為簡潔的緣由。2．本章很多定義是一維情形的推廣，所以在這一章的學(xué)習(xí)中,要掌握相應(yīng)的計(jì)算公式并能正確地進(jìn)行計(jì)算。重要計(jì)算公式總結(jié)如下:3。關(guān)于離散型隨機(jī)變量，掌握住聯(lián)合分布律的表格：注：推斷離散型隨機(jī)變量X和Y的獨(dú)立性，即驗(yàn)證聯(lián)合分布律是否為邊緣分布律的乘積。4。關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量，重要計(jì)算公式:(用于求未知參數(shù)的值）；，（肯定要能正確確定積分上下限）；（是否成立用于推斷Ｘ和Y是否相互獨(dú)立）。5．兩個(gè)常見分布：二維均勻分布：二維正態(tài)分布的常見性質(zhì)：1）,；２）Ｘ與Y的相關(guān)系數(shù)為ρ,且X與Y獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)不相關(guān)。6．關(guān)于離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布，方法比較固定，大家可以看課件,這里不再詳述.關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布，要掌握X+Ｙ,mａx(X，Y)和mｉn(X，Y）的相關(guān)計(jì)算.第五章隨機(jī)變量的數(shù)字特征１.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù)，它形式上是以概率為權(quán)的加權(quán)平均，實(shí)質(zhì)上它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的集中位置或平均水平。嫻熟掌握其計(jì)算公式：1）離散型,，;2)連續(xù)型,，。2。嫻熟掌握數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):1）；2）;3）若X和Y相互獨(dú)立，則。3.方差是衡量隨機(jī)變量取值集中（分散）程度的重要數(shù)字指標(biāo).嫻熟掌握方差的計(jì)算公式：。4.嫻熟掌握方差的性質(zhì):1）;2）；3）若X１，…，Xｎ相互獨(dú)立,則；注：肯定要注意系數(shù)的平方！注：若Ｘ１,…,Ｘn相互獨(dú)立且滿意Ｘi聽從N(μi，σi２),則.５．嫻熟掌握常見分布的期望和方差結(jié)果。６.協(xié)方差可理解為協(xié)助計(jì)算隨機(jī)變量和的方差，嫻熟掌握協(xié)方差的計(jì)算公式:。7．相關(guān)系數(shù)用于刻畫隨機(jī)變量之間的線性關(guān)系,嫻熟掌握相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式：.注：如果你在做題時(shí)求出的相關(guān)系數(shù)為0，記得檢查一下你的計(jì)算是否正確，你是否把X和Ｙ錯(cuò)誤的認(rèn)為是相互獨(dú)立的。８．嫻熟掌握相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：１)|ρ｜=1的充要條件是P（Y=aＸ＋b）=1；2）Ｘ和Y不相關(guān)等價(jià)于ρ=０;等價(jià)于cov（X，Y)＝0;等價(jià)于E（XY）＝ＥＸEY;等價(jià)于D(X±Y)＝ＤX+ＤY。第六章大數(shù)定律和中心極限定理1．掌握切比雪夫不等式的結(jié)論：.２．簡潔了解一下大數(shù)定律的結(jié)論：.3。掌握中心極限定理的結(jié)論：.會(huì)利用中心極限定理做近似計(jì)算。第七章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些基本概念1.涉及本章的概念,除樣本觀測值以及與此有關(guān)的概念外,都要充分揭示它們的隨機(jī)性內(nèi)涵．否則，概念的實(shí)質(zhì)無法理解，思想方法更難把握.總體Ｘ——體現(xiàn)某種特征的數(shù)量指標(biāo)—-隨機(jī)變量。簡潔隨機(jī)樣本(X1，X2，…,Ｘn）—－獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量．統(tǒng)計(jì)量g(X1,X2，…，Xｎ）且不含任何未知參數(shù)－-隨機(jī)變量。樣本矩－—樣本均值、樣本方差、樣本修正方差—－隨機(jī)變量。2.常用統(tǒng)計(jì)量有：—-樣本均值．－-樣本方差。－—樣本修正方差.－-樣本r階原點(diǎn)矩。重要結(jié)論:,,，。3.掌握三大抽樣分布：分布、t分布、Ｆ分布的構(gòu)造性定義,對于給定的問題,要能夠推斷出其所屬的類型,參考課件上的相關(guān)例題。４.掌握上α分位點(diǎn)的定義，會(huì)畫圖表示。5.掌握正態(tài)總體下統(tǒng)計(jì)量的重要結(jié)論:;；與相互獨(dú)立。這是利用頻率很高的三個(gè)結(jié)論。第八章參數(shù)估量和假設(shè)檢驗(yàn)1。嫻熟掌握兩種點(diǎn)估量方法:矩估量法和最大似然估量法的計(jì)算步驟。矩估量法的步驟:第一步：分析總體中含有未知參數(shù)的個(gè)數(shù)（至多兩個(gè),大多數(shù)題目只有一個(gè)參數(shù)）；其次步：計(jì)算總體X的矩（若一個(gè)參數(shù)只需計(jì)算EX,若有兩個(gè)參數(shù)則需計(jì)算EX和EＸ2）;第三步：令樣本矩等于總體矩（這時(shí)矩估量方法的核心），建立關(guān)于參數(shù)的方程或方程組;第四步：解方程，得到參數(shù)的矩估量。最大似然估量的步驟：第一步：計(jì)算似然函數(shù);(對于離散型隨機(jī)變量計(jì)算分布律