湖北省襄陽市第四中學2023-2024學年高一上學期9月月考數(shù)學試題

試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁湖北省襄陽市第四中學2023-2024學年高一上學期9月月考數(shù)學試題一、單選題1．設全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．下列表示正確的個數(shù)是（

）（１）；（４）若則A．０ B．１ C．２ D．３3．某校為拓展學生在音樂?體育?美術方面的能力，開設了相應的興趣班.某班共有34名學生參加了興趣班，有17人參加音樂班，有20人參加體育班，有12人參加美術班，同時參加音樂班與體育班的有6人，同時參加音樂班與美術班的有4人.已知沒有人同時參加三個班，則僅參加一個興趣班的人數(shù)為（

）A．19 B．20 C．21 D．224．集合，，將集合A，B分別用如圖中的兩個圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個數(shù)恰好為4的是（

）A． B． C． D．5．已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．甲乙丙丁四位同學在玩一個猜數(shù)字游戲，甲乙丙共同寫出三個集合：，，然后他們?nèi)烁饔靡痪湓拋碚_的描述“”中的數(shù)字，讓丁同學找出該數(shù)字，以下是甲?乙?丙三位同學的描述，甲：此數(shù)為小于5的正整數(shù)；乙：B是A成立的必要不充分條件；丙：C是A成立的充分不必要條件.則“”中的數(shù)字可以是（

）A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或37．下列函數(shù)中最小值為的是（

）A． B．當時，C．當時， D．8．函數(shù)在數(shù)學上稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，其中表示不大于的最大整數(shù)，如．那么不等式成立的充分不必要條件是（

）A． B． C． D．二、多選題9．如果，則下列選項不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．下列命題為假命題的是（

）A．命題“”的否定是“”B．“”是“”的充分必要條件C．二次函數(shù)的零點為和D．“”是“”的必要不充分條件11．已知正實數(shù)x，y滿足，且恒成立，則t的取值可能是（

）A． B． C．1 D．12．對于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集”，則下列說法正確的是（

）A．不是“可分集”B．集合中元素個數(shù)最少為7個C．若集合是“可分集”，則集合中元素全為奇數(shù)D．若集合是“可分集”，則集合中元素個數(shù)為奇數(shù)三、填空題13．不等式的解集是．14．若命題“，”為假命題，則實數(shù)a的最小值為．15．已知關于的一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立，且，則的最小值為四、雙空題16．已知集合，對于集合的兩個非空子集，若，則稱為集合的一組“互斥子集”.記集合的所有“互斥子集”的組數(shù)為（當且僅當時，與為同一組“互斥子集”），則，.五、解答題17．設集合.(1)求集合；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.18．已知：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足（其中）.(1)若，且和至少有一個為真，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.19．（1）求關于x的方程的實數(shù)根中有且只有一個負實數(shù)根的充要條件；（2）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足．證明：．20．設.(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知解關于的不等式21．某學校要建造一個長方體形的體育館，其地面面積為，體育館高，如果甲工程隊報價為：館頂每平方米的造價為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價為每平方米250元，設體育館前墻長為米．(1)當前墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與該校的體育館建造競標，其給出的整體報價為元，若無論前墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求的取值范圍．22．對在直角坐標系的第一象限內(nèi)的任意兩點作如下定義：若，那么稱點是點的“上位點”．同時點是點的“下位點”；(1)試寫出點的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標；(2)已知點是點的“上位點”，判斷點是否是點的“下位點”，證明你的結(jié)論；(3)設正整數(shù)滿足以下條件：對集合內(nèi)的任意元素，總存在正整數(shù)，使得點既是點的“下位點”，又是點的“上位點”，求滿足要求的一個正整數(shù)的值，并說明理由．答案第=page22頁，共=sectionpages44頁參考答案：1．C【分析】先求出集合和集合的補集，再求其交集即可【詳解】由，得，因為，所以，因為，，所以，所以，故選：C2．D【詳解】選項（1）中元素與空集的關系是不屬于，正確；（2）空集是非空集的子集正確；（3）集合前后不相等，一個是方程的根構(gòu)成的集合，有一個元素，一個是兩個實數(shù)構(gòu)成的集合，故不正確；（4）根據(jù)集合子集的意義知若則正確.3．A【分析】設同時參加體育和美術小組的有人,由題意作出Venn圖，結(jié)合Venn圖能求出同時參加體育和美術小組的人數(shù)，進而得解.．【詳解】設同時參加體育和美術小組的有人，由題意作出Venn圖如圖所示，結(jié)合Venn圖得：，解得．同時參加體育和美術小組的有5人．僅參加一個興趣班的人數(shù)為故選：A.4．C【分析】記，然后分析每個選項對應的集合的運算并求解出結(jié)果進行判斷即可.【詳解】因為，，所以，記，對于A選項，其表示，不滿足；對于B選項，其表示，不滿足；對于C選項，其表示，滿足；對于D選項，其表示，不滿足；故選：C.5．B【分析】用含的代數(shù)式表示，結(jié)合已知利用不等式的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】設，所以，解得，所以，又，所以，故A，C，D錯誤，故選：B.6．C【分析】根據(jù)此數(shù)為小于5的正整數(shù)得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，從而得到不等式，求出，得到答案.【詳解】因為此數(shù)為小于5的正整數(shù)，故，因為B是A成立的必要不充分條件，C是A成立的充分不必要條件，所以C是A的真子集，A是B的真子集，故且，解得，故“”中的數(shù)字可以是1或2.故選：C7．B【分析】對于，如果時，，故不符合題意；對于，利用基本不等式得到函數(shù)的最小值為4，故正確；對于，利用基本不等式得到最小值為，故錯誤；對于，利用基本不等式得最小值取不到，故錯誤．【詳解】對于，，如果時，，故不符合題意；對于，因為，當且僅當，即時取等號，故正確；對于，因為，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，故錯誤；對于，，當且僅當即此時無解，這表明最小值取不到，故錯誤．故選：．8．B【分析】先解不等式，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】因為，則，則，又因為表示不大于的最大整數(shù)，所以不等式的解集為：，因為所求的時不等式成立的充分不必要條件，所以只要求出不等式解集的一個非空真子集即可，選項中只有?.故選：B.9．ABD【分析】根據(jù)特殊值以及不等式的性質(zhì)對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，若，如，則，所以A選項不正確.B選項，若，如，則，所以B選項不正確.C選項，若，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，所以C選項正確.D選項，若，如，此時，所以D選項不正確.故選：ABD10．ABC【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷A，根據(jù)充分性和必要性的概念判斷BD，根據(jù)函數(shù)零點的定義解方程判斷C即可.【詳解】選項A：命題“”的否定是“”，A為假命題；選項B：由基本不等式可知當時，，當且僅當時等號成立，故充分性成立，當時，滿足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，B為假命題；選項C：由解得或，所以二次函數(shù)的零點為和，C為假命題；選項D：若，則或，充分性不成立，若，則，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，D為真命題，故選：ABC11．BCD【分析】對式子變形，構(gòu)造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解決恒成立問題.【詳解】由，得，因為，所以，所以，則，當且僅當時，等號成立，故，因為恒成立，所以，解得.故A錯.故選：BCD.12．ABD【分析】選項A根據(jù)“可分集”性質(zhì)進行判斷即可.選項C，D，根據(jù)“可分集”性質(zhì)可知“可分集”元素之和減去任意一個元素一定為偶數(shù)，根據(jù)此特性分類討論集合中元素為奇數(shù)和為偶數(shù)時的情況即可.根據(jù)選項C，D結(jié)論，分類討論中元素個數(shù)分別為3，5，7時是否可以為“可分集”即可.【詳解】根據(jù)“可分集”性質(zhì)可知，當集合為時：去掉元素3，則不可拆分成符合題意的可分集，故A錯誤.設集合所有元素之和為M.由題意可知，均為偶數(shù)，因此同為奇數(shù)或同為偶數(shù).(Ⅰ)當M為奇數(shù)時，則也均為奇數(shù)，由于，所以n為奇數(shù).(Ⅱ)當M為偶數(shù)時，則也均為偶數(shù)，此時可設，因為為“可分集”，所以也為“可分集”.重復上述有限次操作后，便可得到一個各元素均為奇數(shù)的“可分集”，且對應新集合之和也為奇數(shù)，由(Ⅰ)可知此時n也為奇數(shù).綜上所述，集合A中元素個數(shù)為奇數(shù).故C錯D對.由上述分析可知集合中元素個數(shù)為奇數(shù)，不妨假設：當時，顯然任意集合都不是“可分集”;當時，設集合，其中，將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，則有或;將集合分成兩個交集為空集的子集，且兩個子集元素之和相等，則有或由①，③可得，矛盾；由①，④可得，矛盾；由②，③可得，矛盾；由②，④可得，矛盾.因此當時，不存在“可分集”；當時，設集合，去掉元素1，；去掉元素3，去掉元素5，；去掉元素7，去掉元素9，；去掉元素11，去掉元素13，，所以集合是“可分集”.因此集合A中元素個數(shù)n的最小值是7，故B正確.故選：ABD【點睛】1.本題“新定義”題，主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題.2.本題考查了考生分類討論的能力，考生需要做到討論情況涵蓋所有情況，還需要能將討論思路轉(zhuǎn)換為數(shù)學語言的能力.3.對于全稱命題型的選項考生可考慮通過舉反例的方式排除.13．【分析】移項通分化簡，等價轉(zhuǎn)化為，進一步等價轉(zhuǎn)化為二次不等式(組),注意分母不能為零，然后求解即得.【詳解】原不等式等價于，化簡得，又等價于，解得：，故答案為：.14．2【分析】把原命題轉(zhuǎn)化為“，”為真命題，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題即可得到結(jié)論．【詳解】因為命題“，”為假命題，故“，”為真命題，即在恒成立，須；故實數(shù)a的最小值為2；故答案為：2．15．3【分析】由題干條件得到，對變形，利用基本不等式進行求解.【詳解】一元二次不等式對一切實數(shù)都成立，當時，不能保證恒成立，不符合題意；當時，要滿足，由此，，，得：，則，即時，取等號，故答案為：3．16．50【分析】令，推出均為非空子集的種數(shù)為，從而得到，并計算出的值.【詳解】令，如圖，全集被劃分成三個部分，中的任意一個元素只能在集合之一中，有3種方法，則這個元素在集合中，每個元素均有3種選擇，故共有種選擇方法，其中為空集的種數(shù)為為空集的種數(shù)為，均為空集的種數(shù)為1種，則均為非空子集的種數(shù)為，因當且僅當時，與為同一組“互斥子集”，而，滿足的與不是同一組“互斥子集”，于是得集合的所有“互斥子集”的組數(shù)為，其中.故答案為：，17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義解方程即可求解；（2）根據(jù)交集運算性質(zhì)得，然后根據(jù)判別式分類討論求解即可.【詳解】（1）因為，所以，解得或，所以集合（2）由，得.當，即時，，符合題意；當，即時，，符合題意；當，即時，要使，則，即，即，所以，該方程組無解.綜上：實數(shù)的取值范圍是.18．(1)(2)【分析】（1）解不等式后取并集即可，（2）由充分不必要條件得推出關系后列式求解．【詳解】（1）：實數(shù)滿足，解得，當時，：，解得，∵p和q至少有一個為真，∴或，∴，∴實數(shù)的取值范圍為；（2）∵，由，解得，即：，∵是的充分不必要條件，∴（等號不同時取），∴，19．（1）;（2）證明見詳解【分析】（1）首先分類討論方式是一次方程和一元二次方程兩種情況，當方程為一元二次方程時再討論方程有一個根的情況和兩個根的情況，兩根情況用韋達定理解出.（2）活用化簡，用作差法比較代數(shù)式大小.【詳解】（1）當時，方程為，解得，符合題意；當時，方程，若，即時，此時方程的根為，符合題意；若，方程實數(shù)根中有且只有一個負實數(shù)根，需滿足條件，即解得故是方程的實數(shù)根中有且只有一個負實數(shù)根的充要條件.（2）,故20．(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為對一切實數(shù)恒成立，分和，兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得的兩個根為，分類討論，即可求解.【詳解】（1）解：由對一切實數(shù)恒成立，即對一切實數(shù)恒成立，當時，，不滿足題意；當時，則滿足，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.（2）解：由不等式，即，方程的兩個根為，①當時，不等式的解集為②當時，不等式的解集為③當時，不等式的解集為.綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，解集為.21．(1)當前墻的長度為20米時，甲工程隊報價最低為84000元(2)當時，無論前墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功【分析】（1）根據(jù)題意求出報價的表達式，再根據(jù)基本不等式即可得解；（2）根據(jù)題意可知對任意的恒成立，分離參數(shù)可得對任意的恒成立，分類常數(shù)結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】（1）因為體育館前墻長為米，地面面積為，所以體育館的左右兩側(cè)墻的長度均為米，設甲工程隊報價