2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第4章三角函數(shù)第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 學(xué)案

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式考試要求：1．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosαta2．借助單位圓的對稱性推導(dǎo)出π2±α，π±α一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：sinαcosα=tan(3)常見變形：sinα＝±1-cosα＝±1-(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可以實現(xiàn)正弦、余弦、正切值的轉(zhuǎn)化，但一定要注意確定角的終邊所在的象限．“同角”有兩層含義：一是角相同，二是任意一個角(在有意義的前提下)．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角απ＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限誘導(dǎo)公式的記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限．”其含義理解為：(1)所有誘導(dǎo)公式均可看作k·π2±α(k∈Z)和α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，口訣中的奇、偶指的是此處的k(2)結(jié)果的符號與把α當(dāng)成銳角時角k·π2±α(k∈Z二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)對任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (√)(2)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，則cosθ＝13. ((3)已知sinθ＝m-3m+5，cosθ＝4-2mm+5，其中θ∈π22．若α是第四象限角，tanα＝－512，則sinαA．15B．－14C．5D解析：因為tanα＝sinαcosα＝－512，sin2α＋cos2α＝1，所以sin因為α是第四象限角，所以sinα＝－5133．已知sinx-π3＝3A．35 C．－35 D．－C解析：因為sinx-π3所以cosx+π6＝cosπ2+x-故選C.4．若α是第三象限角且cosα＝－33，則sinα＝_______，tanα－632解析：因為α是第三象限角且cosα＝－33，所以sinα＝－所以tanα＝sinαcosα5．已知sinα＝12，則cosα-π2－14解析：原式＝cosπ2-αsin2π+π＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α考點1同角三角函數(shù)關(guān)系的基本應(yīng)用——應(yīng)用性考向1知弦求弦、切或知切求弦(1)(2022·濟(jì)南一模)已知α∈(0，π)，若cosα＝－12，則tanα的值為()A．33B．－33C．3D解析：因為α∈(0，π)，cosα＝－12，所以sinα＝32，則tanα＝－(2)已知3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，則sinA．－31010C．31010A解析：由3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，可得3cosθ＝sinθ，可得tan而θ∈(－π，0)，可得sinθ＝－332+本例(2)條件不變，求cosθ的值．解：由3sinθ+π2＋sin(θ＋π)＝0，可得3cosθ＝sinθ，可得tanθ＝3.而θ∈(－π，0)，可得sinθ<0.又tanθ＝3>0，所以cosθ<0，所以cosθ＝－131．利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)正弦、余弦的互化，利用tanα＝sinα2．由一個角的任意一個三角函數(shù)值可以求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，求值時要注意角所在的象限，以免出現(xiàn)符號錯誤．考向2弦切互化求值(1)已知cosθ＝13，則sinθ·tanθA．13 B．－C．3 D．－3C解析：原式＝sinθsinθcosθ+cos(2)(2021·新高考全國Ⅰ卷)若tanθ＝－2，則sinθA．－65 B．－C．25 C解析：將式子進(jìn)行齊次化處理，得sinθ1+sin2θsinθ+cosθ＝sinθsin2θ+cos本例(2)條件不變，求cos2θ－sin2θ的值．解：cos2θ－sin2θ＝cos2θ-1．弦化切的常見結(jié)構(gòu)(1)形如“asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α”的二次式，分母看作1，利用1＝sin2α＋cos2α將原式轉(zhuǎn)化為齊次式求值．(2)形如“asin2．切化弦當(dāng)要化簡的式子中同時出現(xiàn)正弦、余弦、正切時，一般利用公式tanα＝sinα考向3sinα±cosα，sinαcosα之間的關(guān)系(1)已知sinα＋cosα＝15，且α∈(0，π)，則sinα－cosα＝()A．±75 B．－C．75 C解析：把sinα＋cosα＝15，兩邊平方得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1即2sinαcosα＝－2425<0.因為0<α<π，故sinα>0，cosα所以sinα－cosα＝sinα-cosα2＝1(2)已知sinx＋cosx＝3-12，xA．－33 C．3 D．－3D解析：由題意可知sinx＋cosx＝3-12，x∈(0，π)，則(sinx＋cosx)2因為sin2x＋cos2x＝1，所以2sinxcosx＝－32，即2sinxcosxsin2x+cos2x＝當(dāng)tanx＝－33時，sinx＋cosx<0，不合題意，舍去．所以tanx＝－3注意方程思想的應(yīng)用：對于sinα＋cosα，sinα·cosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．1．已知tanθ＋1tanθ＝4，則sin4θ＋cos4A．38 C．34 D解析：由tanθ＋1tanθ＝sinθ得sinθcosθ＝14，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×116＝2．若sinα＋cosα＝13，α∈(0，π)，則1+A．1717 B．－C．1515 D．－B解析：因為sinα＋cosα＝13，α∈所以兩邊平方，可得1＋2sinαcosα＝19可得2sinαcosα＝－89所以sinα＞0，cosα＜0，可得cosα－sinα＝－sinα-cosα2＝1所以1+tanα1-tanα＝考點2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——綜合性(1)sin4π3·cos5π6－334解析：原式＝sinπ+π3·cosπ-π6＝-32×-3(2)(2021·北京卷)若P(cosθ，sinθ)與Qcosθ+π6，sin5π12(答案不唯一)解析：因為P(cosθ，sinθ)與Qcosθ+故其橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)相等，即sinθ＝sinθ+π6且cosθ＝－cos由誘導(dǎo)公式sinθ＝sin(π－θ)，cosθ＝－cos(π－θ)，所以θ＋π6＝π－θ，解得θ＝5則符合題意的θ值可以為5π1．誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用口訣(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角就終了．(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少目的到．2．角的變化的通式特殊角±已知角＝所求角．1．下列各選項中與sin2022°最接近的是()A．12 C．－12 D．－D解析：sin2022°＝sin(1800°＋222°)＝sin222°＝sin(180°＋42°)＝－sin42°≈－222．已知sinπ6+α＝－35A．45 C．－45 D．－B解析：cos4π3-α＝cos3π2-已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．[四字程序]讀想算思求tanx的值1．同角的正弦、余弦和正切有什么關(guān)系？2．3cosx＋4sinx的最大值是多少？3．由已知條件聯(lián)想點A(cosx，sinx)在哪條直線上1．求sinx和cosx．2．輔助角公式1．方程思想．2．?dāng)?shù)形結(jié)合．3．轉(zhuǎn)化與化歸3cosx＋4sinx＝51．sin2x＋cos2x＝1，tanx＝sinx2．3cosx＋4sinx的最大值為5.3．點A(cosx，sinx)在直線3x＋4y＝5上1．聯(lián)立3cosx＋4sinx＝5與sin2x＋cos2x＝1.2．3cosx＋4sinx＝5sin(x＋φ)1．tanx可看作直線的斜率．2．將已知條件變?yōu)?5cosx＋45sin思路參考：解方程組3解：由sin2x+整理得(5sinx－4)2＝0，解得sinx＝45，cosx＝3故tanx＝sinxcosx思路參考：注意到3cosx＋4sinx的最大值為5，利用輔助角公式推出x與輔助角的關(guān)系．解：3cosx＋4sinx＝545sinx+35cosx＝5sin(x＋φ)＝5，其中cos所以tanφ＝34所以x＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z于是tanx＝tan2kπ+π2-思路參考：令tanx＝t，借助已知條件用t表示sinx和cosx.解：令tanx＝t，即tcosx＝sinx，代入3cosx＋4sinx＝5，得3cosx＋4tcosx＝5，所以cosx＝54t+3，sinx＝5t再代入sin2x＋cos2x＝1，得54t+32＋5t4t+32＝1，解得t＝43思路參考：設(shè)P(m，n)為角x終邊上任意一點，r＝m2解：設(shè)P(m，n)為角x終邊上任意一點，點P到原點O的距離為r，則r＝m2把sinx＝nr，cosx＝mr代入已知等式得3·mr即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)，整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.顯然m≠0，故tanx＝nm＝4思路參考：設(shè)點A(cosx，sinx)是直線3x＋4y＝5與單位圓x2＋y2＝1的切點，而tanx＝kOA.解：由3cosx＋4sinx＝5可知點A(cosx，sinx)在直線3x＋4y＝5上，同時也在單位圓x2＋y2＝1上，所以點A為直線3x＋4y＝5與單位圓的切點．由于直線3x＋4y＝5的斜率為－34，所以O(shè)A的斜率為43，即tanx＝思路參考：m＝(cosx，sinx)，n＝35，45，證明解：因為35cosx＋45sinx＝1，不妨令m＝(cosx，sinx)，n＝35，4所以m，n均為單位向量，且m·n＝1.由|m||n|≥|m·n|，等號成立的條件為m∥n，則有45cosx＝35sinx，即tanx＝1．本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，基本解題方法是構(gòu)建方程(組)、數(shù)形結(jié)合等．在求解過程中，應(yīng)注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要有良好的運算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸的能力．本題的解答體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3．基于高考數(shù)學(xué)評價體系，本題的多種解法中涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、方程、輔助角公式、直線與圓、向量等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等思想方法，對提升思維的靈活性起到了積極的作用．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－25，求sinθ＋cosθ解：因為sinθ－2cosθ＝－25所以sinθ＝2cosθ－25所以2cosθ-2所以5cos2θ－85cosθ－21即cosθ又因為θ為第一象限角，所以cosθ＝35所以sinθ＝45，所以sinθ＋cosθ＝7課時質(zhì)量評價(二十二)A組全考點鞏固練1．已知sinα＝23，α∈π2，A．52 B．－C．255D解析：因為sinα＝23，α∈π2，π，所以cosα＝－1-sin2α＝－2．已知α是第二象限角，sin(π－α)＝513，則cos(π＋αA．－1213 B．－C．513 D解析：因為α是第二象限角，sin(π－α)＝513，可得sinα＝513，所以cosα＝－1-sin2α＝－12133．已知tanα＝3，則sin2A．－719 C．±719 D解析：因為tanα＝3，所以sin2α-2cos2α4．(2022·安徽模擬)已知cos3π2-α＋cos(π＋α)＝2，則tanA．2 B．－2C．13A解析：因為cos3π2-α＋cos(π＋所以－sinα－cosα＝2，即sinα＋cosα＝－2，兩邊平方，可得1＋2sinαcosα＝2，所以sinαcosα＝12，所以tanα＋1tanα＝sin5．已知cosπ6-α＝13，則cos－1313解析：cos5π6+αsin2π3-α＝sinπ26．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2021)＝_________．－3解析：因為f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，所以f(2021)＝asin(2021π＋α)＋bcos(2021π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝－3.B組新高考培優(yōu)練7．(多選題)已知α是三角形內(nèi)角，若sinα＋cosα＝1713，則sinα－cosαA．－1713 B．－C．713 BC解析：因為α是三角形內(nèi)角，所以α∈(0，π)，又因為(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2sinαcosα＝1713解得2sinαcosα＝120169因為sinαcosα>0且α∈(0，π)，所以sinα>0，cosα>0，所以sinα－cosα符號不確定，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－120169＝49所以sinα－cosα＝±7138．(2022·聊城模擬)已知α，β∈0，π2，且滿足sinαcosβ－2cosαsinβ＝0，則tan(2π＋αA．2 B．2C．1 D．22D解析：因為sinαcosβ－2cosαsinβ＝0，α，β∈0，π2，所以tanα>0，tanβ>0，tanα＝2tanβ，所以tan(2π＋α)＋tanπ2-β＝tanα＋1tanβ＝2tanβ＋9．(2022·承德二模)若α∈π2，π，2sinα＋cosα＝3A．－2 B．2C．211 D．－A解析：由2sinα＋cosα＝35兩邊平方，可得(2sinα＋cosα)2＝95即4sin2α＋4sinαcosα＋cos2α＝95所以4sin所以4tan2α+4tanα+1tan2解得tanα＝－2或tanα＝211因為α∈π2，π10．(2022·浙江卷)若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，則sinα＝________，cos2β3101045解析：因為3sinα－sinβ＝10，α所以3sinα－cosα＝10，所以cosα＝3sinα－10.因為sin2