2021年6月上海市數(shù)學高考真題卷 帶詳解

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

上海數(shù)學試卷

(考試時間120分鐘，滿分150分)

2021.6

一、填空題(本大題共有12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，滿分54分)

1.已知Z1=1+i,z,=2+3i,Z)+z2=.

2.已知A={X|2XW1},8={-1,0,1},則408=.

3.若x?+V-2x-4y=0,則圓心坐標為.。(

4如圖，正方形ABC。的邊長為3,求福.祕=.

5.已知/。)=5+2,則.1/

6.若代數(shù)式(x+a)s的展開式中，犬的系數(shù)為80,則。=A1

x<3

7.已知<2x-y-2N0,z-x-y，貝!|z的最大值為.

3x+y-8>0

8.已知等比數(shù)歹U4=3,b?=a2?,a”的各項和為9,則數(shù)列出}的各項和為.

9.在圓柱中，底面圓半徑為1,高為2,上底面圓的直徑為AB,C是底面圓弧上的一個動點,

繞著底面圓周轉，則AABC的面積的范圍________.

10.已知花博會有四個不同場館A、B、C、D,甲、乙兩人每人選2個去參觀，問兩人他們

恰有一個館相同的概率為.

11.已知拋物線：y2=2px(p>0),焦點為尸,若A、8在拋物線上且在第一象限，

|AF|=2,\BF\=4,\AB\=3,求直線AB的斜率為.

12.已知%wN*(i=1,2,…9),對任意的keN'(2<k<8),ak=a1+1或《=%-1中有

且僅有一個成立，且4=6,%=9,貝(|可+…+為的最小值為.

二、選擇題（本大題共有4題，每題5分，滿分20分）

13.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是（）

x

Ay=-3xB.y-^C.y-3D.y-log3x

3

x=3f-4/r,

14.已知參數(shù)方程,_-,/e[-l,l],則下列曲線方程符合該方程的是（）

y=2/-廠

A.B.C.D.

JTTT

15.已知〃x）=3sinx+2,對于任意的O,,，都存在，使得

/（%）+2/（々+。）=2成立，則下列選項可行。的是（）

A34044「6兀八7萬

A.—D.—C.—L）.—

5555

16.已知兩兩不同的4加孫%，不，%滿足占+,=彳2+%=入+%，且

玉＜乂,々＜%，不＜%，若可X+七%=29%＞。，則下列不等式中恒成立的是（）

D.x；>中3

A.2X2<%+毛B.2X2>%+￡

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)【解答下列各題必須寫出必要的步驟】

17.如圖，在長方體ABC。一44GA中，AB=BC=2,AAt=3

(1)若P是A9上一點，求三棱錐P-ADC的體積；

(2)求直線Ag與平面ACGA的夾角大小.(結果用反三角函數(shù)值表示)

18.在中，內(nèi)角A、B、。所對邊分別為a、b、c,已知a=3,b=2c

(1)若人=q-,求△ABC的面積；

(2)若2sin5—sinC=l,求AA3C的周長.

19.“十四五”期間，上海市將全力推進“五個新城建設“，更好服務長三角一體化發(fā)展國家戰(zhàn)

略.已知某建設投資企業(yè)2021年第一季度(一年共4個季度)的營業(yè)額為1.1億元，預計以

后每個季度的營業(yè)額比前一個季度增加().05億元，已知該企業(yè)2021年第一季度的毛利潤為

016億元，預計以后每個季度的毛利潤比前T度增長4%.

(1)求該企業(yè)自2021年起的前20個季度的總營業(yè)額；

(2)請問該企業(yè)自2021年起哪一年哪一季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

20.已知橢圓r4+y2=i,4,巴是其左右交點，直線/過點交「于

A8兩點，且A在線段BP上,且AB都在軸上方

(1)若B為橢圓「的上頂點，且阿卜閥|,求〃,的值；

——?——?14、后

(2)若64KA=耳,且原點。到直線/的距離為,求直線/的方程；

(3)對任意點，是否存在唯一直線，使得巾//物成立？若存在，求出直線的斜率；若

不存在，請說明理由.

21.已知函數(shù)/(x)的定義域為A,若對任意的王,々wA,滿足々-XeS時總有

)-/(X)eS成立，則稱函數(shù)f(x)是S關聯(lián).

(1)判斷函數(shù)=是否在［0,+8)關聯(lián)？是［0,1］關聯(lián)嘛？若是，請證明；若不是,

請說明嗎理由；

(2)若函數(shù)/(x)是｛3｝關關聯(lián)，當/(x)在xe［0,3)時，/(x)=f一2x,求解不等式組：

2</(X)<3；

(3)證明：/(x)是｛1｝關聯(lián)的，且是在［0,+向關聯(lián)的,當且僅當“/(X)在［L2］是關聯(lián)“

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

上海數(shù)學試卷

(考試時間120分鐘，滿分150分)

2021.6

一、填空題(本大題共有12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，滿分54分)

1.已矢口Z1=1+i,z,=2+3i,4+z,=.

【答案】3+4i

由題易得，Z]+z2=3+4i

2.已知A={X|2X<1},6={—1,0,1},則AD5=.

【答案】{-1,0}

由已知得，AAfi={-l,0}

3.若x?+y1-2x-4y=0,則圓心坐標為.

【答案】(1,2)

圓的方程為：(x—iy+(y—2)2=5

所以圓心坐標為(1,2)

4如圖，正方形ABCD的邊長為3,求福./=

【答案】9

由已知得，

AB

=A8（AB+BC）=|AB|2=9

3

5.已知/。）=巳+2，貝!.

x

【答案】-3

3

令/（尤）=一+2=],解得x=-l

x

所以尸⑴=-3

6.若代數(shù)式（x+a）’的展開式中，一的系數(shù)為80,則。=

【答案】2

通項公式為：Tr+i=黑（工廣優(yōu)

因為/的系數(shù)為80,所以令5—r=2,即r=3

所有C；/=8（），解得。=2

【答案】y

因為凡的各項和為9,4=3

所以詈一=9，解得q=;，所以々=a,“=2?

l-q3

仁b、_2J8

即數(shù)列的各項和為"PV"4一二

~9

9.在圓柱中，底面圓半徑為1,高為2，上底面圓的直徑為AB,C是底面圓弧上的一個動點,

繞著底面圓周轉，則AABC的面積的范圍________.

【答案】[2,75]

當點。在E點影時，面積最小S=L-AJB?=2；

2

當點C在底面圓弧EF的中點時，面積最大S=1-AB/=小，

2

由于變化的連續(xù)性及任意性，因此△ABC面積的取值范圍為[2,75]

10.已知花博會有四個不同場館48、C。，甲、乙兩人每人選2個去參觀，問兩人他們

恰有一個館相同的概率為.

【答案】42

3

【法一：直接法】甲、乙各選2個去參觀：仁?戲種，

其中兩人恰有一個館相同：C：?C；?C；種，

仁?”_2

所以P=

~3

【法二：間接法】總共情況為：c：?廢種；都不相同的情況為：c：種；

兩個館相同的情況為c；種;

C2C：2

所以P=1一-9

3

11.已知拋物線：y2=2px(">0),焦點為尸，若A、8在拋物線上且在第一象限,

|AF|=2,|BF|=4,|AB|=3,求直線鉆的斜率為

【答案】9

2

【法一】由已知得，4=2-=4一4,

22

由弦長公式得：\AB\=71+F上一叫=3

因為A、8在拋物線上且在第一象限

且僅有一個成立，且4=6,%=9,則％+…+佝的最小值為

【答案】31

+1+1+1+1

【法一】①生=4+1—>“Ifa2,a3—>a4,a5Ta6,a7Tas,ag

此時最小值為6+7+1+2+1+2+1+2+9=31

+i+i+i+i

?a,=a,+1,at,a2—>a3,a4—>a5,a6—>a7,a8—>a9

止匕時最小值為6+1+2+1+2+1+2+8+9=32

則卬+…+4的最小值為31

【法二】因為%=4句—1%=%-+1有且僅有f成立,

所以數(shù)列中的項兩兩一組互相關聯(lián)

①卬=6+1=7,々3=%—1，％=4—1，％=%—1,

1.6+%+…+丹=25+2(%+/+%)/

當°3=。5=。7=1時，a\+a2+..?+4最小31

②％=q-1,%=%-1，4=%-1,4=09-1=8

/.%+%+…+%=26+2(%+。4+%),

當%=%=%=1時，，+。2+…+為最小32，貝！1%+…+。9的最小值為31

二、選擇題(本大題共有4題，每題5分，滿分20分)

13.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是()

3

A.y=-3xB.y=xC.y=YD.y=log3x

【答案】A

由題易知，只有y=-3x既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故選A

x=3r-4?r、

14.已知參數(shù)方程,_-1,1,則下列曲線方程符合該方程的是()

A.B.C.D.

【答案】B

令y=0=f=-[,0,l,

易得函數(shù)恒過定點(0,0),(1,0),(7,0),結合選項易得8

___.TT-JT

15.已知/(x)=3sinx+2,對于任意的0;，都存在入小。,,，使得

)+2/(/+e)=2成立，則下列選項可行。的是()

434D4466兀1兀

A—D.—C.—D.—

5555

【答案】D

【法一】因為〃西)42,5],所以[―2,1]=2〃9+8),

即-1,1

JI1

令，二馬+日金丸耳+8，則/Q)=3sinE+2,即一L]q3sin，+2

171

即一1,一二qsin/"的區(qū)間長度為一，故選。

_2J2

【法二】將選項代入，按計算器易得

16.已知兩兩不同的看,如孫％/3，％滿足百+3=巧+%=七+%，且

當<苗,々<%,￡<%，若無出+七%=2々%>0，則下列不等式中恒成立的是()

D.2XyXy

A.2X2<%+七B.2X2>XJ+%3X2>

【法一】設玉=$-"，X=s+a,a>0，類似定義

=s-b,y2=s+b,x3=s-c,y3=s+c,b,c>Q,則已知條件可以按以下方式寫出：

22222222

a+C=2b,s-b>0,^>a+c<2b<^xi+x3>2x,,^a+c)~<2(a+c^=4b,

剩下的選項找反例即可，故選A.

【法二】設％=6—。，yi=s+a,a>Q，類似定義馬=S一"%=$+"￡=s-c,%=s+c,

b,c>0,則已知條件可以按以下方式寫出：a2+c2=2b2,s2-b2>0,

=>a+c<2Z?<x>xl+x3>2jc2,(a+c)~<2(屋+/)=4序。

玉=2;y=6

令[=4+#，對“分三種不同情況依次討論

毛=3;%=5n2x,=8—2>/6<3+2=5,排除B;

=占2=22-8"<2x3=6,HE除。;

七=1；%=7=￡2=22一8卡>1X2=2,排除C；故選A

【法三：群友清序老師提供】不妨設玉+y=%+%=W+%=2,

所以xj+毛為=2工2%化為N（2—石）+工（2—七）=2々（2—々）,

設〃=x（2-x）,又因為王<苗,*2<%，不<%，所以玉,々，工3<1?

【法四：群友歐陽老師提供】設玉=s-a,X=$+。,。>0,

類似定義x2=s-b,y2=s+b,b>0,xi=s-c,y3=s+c,c>0,

那么條件就可以寫為a2+c2=2b\s2-b2>0,我們有不等式

(a+c)2=2(/+c2)-(?-c)2<2("+C-2)=4/72

由于4〃,c>0,開方得到=>Q+c<2〃=>%+%>2X2

所以A恒成立，8恒錯誤，選A.

C選項是x；>N芻,。選項是x；<x,%3,

實際上我們?nèi)∮?4,y=5,々=2,%=7,七=1,%=8

就只=x,x3,C,D同時排除了.事實上C,D選項中的大于或小于或等于都是會發(fā)生的.

【法五：特殊值法】取4.5/2.7/1.8即可

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)【解答下列各題必須寫出必要的步驟】

17.如圖，在長方體ABC。一ABCA中，AB=BC=2,AAt=3

(1)若P是A9上一點，求三棱錐P-ADC的體積；

(2)求直線與平面ACG4的夾角大小.(結果用反三角函數(shù)值表示)

(1)因為點P是4。上一點，且平面A2A。，平面鉆8,

所以長方體的高，即為三棱柱P-AOC的高。=3,

又由于底面是直角三角形AADC，所以底面面積為a=gx2x2=2,[

所以%.AOC=—x2x3x2x—=2

(2)以為建立空間直角坐標系易得，

A(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,3),8(2,2,3)

所以福=(0,0,3),*=(-2,2,0)，甌=(0,2,3)

AA〃=0/Z=0

設平面4。。14的法向量后=(工//),貝!|22:一="

?〃=0一2x+2y=0

7T

令x=l,則而=(1,1,0)，設AB與平面ACC/所成角為仇0,-

所以A片與平面ACGA的夾角大小6=arcsin.

18.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對邊分別為久b、c,已知a=3,b=2c

(1)若A=^27r,求/VSC的面積；

(2)若2sin3-sinC=l,求zMBC的周長.

.、+二5/曰4b-+c-a~_[(2C)2+C2-9_1

(1)由已知得，cos>1=---------------

2hc22x+cxc2

=。2號=*e*乎=等

(2)/?=2c=>sinB=2sinC=>4sinC-sinC=1

..「_2叵._2R-亞

..sinC——,cosC=------,sinBp——,cos3=±—

3333

所以sinA=sin(B+C)=班；亞

因為」=」，所以=生&乎

sinAsinCsinA3

.,.Q40c=a+b+c=a+3c=3+4\/2±x/5

19.“十四五”期間，上海市將全力推進“五個新城建設“，更好服務長三角一體化發(fā)展國家戰(zhàn)

略.已知某建設投資企業(yè)2021年第一季度(一年共4個季度)的營業(yè)額為L1億元，預計以

后每個季度的營業(yè)額比前一個季度增加().05億元，已知該企業(yè)2021年第一季度的毛利潤為

0.16億元，預計以后每個季度的毛利潤比前一季度增長4%.

(1)求該企業(yè)自2021年起的前20個季度的總營業(yè)額；

(2)請問該企業(yè)自2021年起哪一年哪一季度利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

(1)設%為第〃季度的營業(yè)額，么為利潤，

由題意得，%的首項為L1億元，公差為0.05億元

所以2021到2025年，20季度營業(yè)收入總額為：邑。=20a,+—y—xd=31.5(億元)

(2)由已知得，—1)4=1.1+0.55—1)

由已知的，么的首項為0.16億元，公比為1.04

n

即2=bi-q-'=0.16x1.04"-'

所以?18%<年，利用計算器991可得，nmin=26

所以2027年第二季度該公司的利潤首次超過該季度營業(yè)收入的18%

20.已知橢圓「:與+產(chǎn)=1,片心是其左右交點，直線/過點P(肛0)(/W<-應)交「于

A8兩點,且A在線段B0上，且A8都在軸上方

(1)若3為橢圓「的上頂點，且|甌|=|西|，求〃?的值；

(2)若喬?豆=g,且原點。到直線/的距離為,求直線/的方程；

(3)對任意點,是否存在唯一直線，使得用//用成立？若存在，求出直線的斜率；若

不存在，請說明理由.

(1)因為3是上頂點，則|麗|=。=q，則|西|=一1一〃2=0，故m=

..，，?..，??2■*2

(2)FtAF2A=(AO+OFt)(AO-OF^=AO-OF,

=4+靖一1=爐+1一￥-1=￥=：，得一=一手,%邛

設幾=y_亭=Mx+半)，則/3+，解得k=3

33Ji+k215

.Mu；：y=3x+g指

(3)設4%,兇),5(>2，%)，直線/：x=〃y+〃?

+llrinily->］一mlTl—\m—\

右耳A〃匿8,則*=—；-----=-------,y2=——7yl

y1-\-mm+1m+l

x=hy+m

2

聯(lián)立直線與橢圓得X221n(〃?+2)y?+2mhy+m—2=0.

—+y=1

I2

2mhm2-2

即%+為=一^7?

,77?

m-l2mhm-12_-2

所以1+y2y2

m+1'~~h+2'm+i'~h+2

、—/i(2〃+1)m—1〃2(機+1)~m~—2

代入乂二下丁’h正廠￥77

所以(根2=(〃f-2)(〃?+2),m2/z2-h1=n^h1—2h2+2m2—4

?.,//>0

h2=2m2_4n//=Y2m2-4nk=/即證

42加2-4'

即對于任意m〈-拉，使得用//用的直線有且僅有一條

21.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,若對任意的冷電€尺,滿足々-不€5時總有

)-〃xjeS成立，則稱函數(shù)/(%)是S關聯(lián).

(1)判斷函數(shù)/(x)=2x-1是否在［0,+3)關聯(lián)？是［0,1］關聯(lián)嘛？若是，請證明；若不是，

請說明嗎理由；

(2)若函數(shù)/(x)是｛3｝關關聯(lián)，當/(x)在xe［0,3)時，f(x)=x2-2x，求解不等式組:

2</(x)<3;

(3)證明:/(x)是｛1｝關聯(lián)的，且是在［0,+8)關聯(lián)的,當且僅當，"(x)在［1,2］是關聯(lián)”

【法一】(1)［0,+8)是，［0/不是

(2)/(x)—x=/—3x是以3為周期的函數(shù)，

然后就是要在［2-x,3-幻里面，可以看出只有

[0,3),[3,6)兩個周期中可以找到解。\\

答案是"如\八人太

(3)充分性：W-z\

/(x+1)=/(%)+1,且/(幻遞增，所以對

于x+14yV