2021屆人教a版（文科數學） 空間向量與 立體幾何 單元測試

2021屆人教A版（文科數學）空間向量與立體幾何單元測試

—>—>

1、已知。=(2,-3,1),則下列向量中與a平行的是()

A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)

2、直三棱柱ABC—4B|G中，若場=久函=上工'=c,則“=()

A.a+b-cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c

3、若白，就｝是空間的一個基底，則下列各組中不能構成空間一個基底的是（）

A.a,2b,3cB.a+b,b+c,c+a

C.a+b+c,b+c,cD.a+2b,2b+3c,3a—9c

4、已知點A點,-2,11）,B（4,2,3）,C（6,-1,4）則三角形ABC的形狀是（）

（A）直角三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）斜三角形

5、如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2,

/ACB=90°,F、G分別是線段AE、BC的中點，則AD與GF所成的角的余弦值為（）

送6B-46C*3D—喙3

6、如果平面的一條斜線和它在這個平面上的射影的方向向量分別是

2=（1,01）,萬=（0,1,1）那么這條斜線與平面所成的角是（）

A、90°B、60°C、45°D、30°

8

7、若向量a=。，2，2）3=（2,7,2）,且］與后的夾角余弦為5,則N等于（）

A.2B.-2

2_2_

C.一2或55?D.2或55

8、已知平面a過點4(3,0,0),8(0,3,0),C(0,0,3),則原點。到平面a的距離為

()

A.3B.6C.也D.2百

9、已知￡=(4+1,0,24),B=(6,2"—1,2),￡〃反則尢〃的值分別為()

A.一,-B.5,2C.—,D.-5,-2

5252

10、已知向量。=(1』，°),則與［共線的單位向量3=()

(一也一也0)

A.2'2')B.(°，L°)

J272

C.(彳亍。)D(1,1,1)

11、下列命題中不正確的命題個數是()

①.如果。，反守共面，瓦如［也共面，則第瓦共面;

②.已知直線a的方向向量G與平面a,若汗〃a,則直線a〃a；

③若尸、M、A、8共面，則存在唯一實數使礪=為的+)，礪，反之也成立；

④.對空間任意點0與不共線的三點A、B、C,若加=x^+y礪+z玩

(其中x、y、zeR),貝l］P、A、B、C四點共面

A.3B.2C.1D.0

12、已知A(l,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,則點B的坐標為()

A.(-7,10,24)B.(7,-10-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)

13>已知a=3m—2n—4p,b=(x+l)m+8n+2yp,其中bWO且m,n,p兩兩不共

線，若2〃匕則實數x,y的值分別為.

14、若3=(0,1,—1)石=(1,1,0)且［+忘)，3,則實數幾的值是.

15、已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),點P(x,0,z),若PA_L平面ABC,則點P的

坐標為.

16、已知向量Q=(0,-1,1),ft=(4,1,0),|而+耳=而且4>0,則

A—.

17、如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以長方體的八個頂點中的

兩點為起點和終點的向量中.

(1)單位向量共有多少個？

(2)試寫出模為小的所有向量.

(3)試寫出與加相等的所有向量.

->

(4)試寫出AA1的相反向量.

18、已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)求以AB和后為鄰邊的平行四邊形的面積；

⑵若|a|=4,且a分別與京,AC垂直,求向量a的坐標.

19、如圖，46(力是塊矩形硬紙板，其中4斤2/慶2&,￡為火中點，將它沿4￡折

成直二面角D-AE-B.

(I)求證：平面BDE；

(II)求二面角6-力。-￡的余弦值.

20、如圖，在三棱錐戶一/a'中，ABVBC,AB=BC=

kPA,點、0、〃分別是%的中點，底面力6C.

(I)求證：0〃〃平面為8；

(II)當左=工時，求直線均與平面府所成角的大小；

2

(III)當在取何值時，。在平面胸內的射影恰好為的重心？

21、如圖建立空間直角坐標系，已知正方體的棱長為乙

(1)求正方體各頂點的坐標;

(2)求A'的長度.

22、如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為菱形，NBA。=60°,Q是AD的中

點.

(I)若PA=PD,求證：平面PQBJ_平面PAD；

(11)若平面APD,平面ABCD,且B4=PD=A￡>=2,點M在線段PC上，試確定

點M的位置，使二面角M-8Q—C的大小為60°,并求出名的值.

參考答案

1、答案B

利用向量共線定理即可得出.

詳解

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解：若方=(-4,6,-2),則b=-2(2,-3,1)=-2%所以a〃瓦

故選：B.

名師點評

本題考查空間向量共線的充要條件，熟練掌握向量共線定理是解題的關鍵.

2、答案D

要表示向量福，只需要用給出的基底ab,C表示出來即可，要充分利用圖形的直觀

性，熟練利用向量加法的三角形法則進行運算.

解答：解:4月_AjA+AB=—OCj+CB—CA

=-a+b-c

故選D

3、答案D

根據空間向量的共面定理，一組不共面的向量構成空間的一個基底，對選項中的向量進

行判斷即可。

詳解

對于4:2,2瓦32,B:R+Mb+/+2,C:怎+5+2石+工￡,每組都是不共面的向量，能構成空

間的一個基底，

對于0：a+232日+3c,3a-9c滿足：

3a-9c=3[(^+2b)-(2b+3^],是共面向量，不能構成空間的一個基底，

故選D

名師點評

本題主要考查了向量的相關知識，考查了空間向量共面的判斷與應用問題，熟練掌握向

量基底的定義以及判斷條件是解題的關鍵，屬于基礎題。

4、答案A

5、答案A

6、答案B

7、答案C?

1=(1以2)萬二(2,7,2)

8、答案C

9、答案A

由題意得，a//b,所以Z=即(/1+1,0,2/1)=X(6,2M—1,2),解得a=；,“=(,

故選A.

考查目的：空間向量的運算.

10、答案AC

根據向量數乘的概念，可知單位向量的求法，網，即可求出.

詳解

設與z共線的單位向量為工,所以力工,因而卜卜㈤=兇，得到'=±忖.

e=±TTn"<.____—^25/2—^2-

\a\a=Vi+T=V2e=(-^-,~y,O)、e=(--—,---,0)

故??,而"，所以22或22

故選：AC.

名師點評

本題主要考查單位向量的求法以及共線向量定理的應用.

11、答案D

不妨令5與e共線，a與5不共線，4與2不共線，滿足反反c共面，瓦機I也共

面，但。，瓦口，不一定共面，故①不正確；已知直線。的方向向量a與平面a,若G//2,

則直線a//a或aua,故②不正確；不妨令M,A,3三點共線，點尸史AB,則不存在

實數使旃=》詞+>碗成立，故③不正確，由共面向量基本定理的推論，可得

對空間任意點。與不共線的三點A8,C，若。戶=xC4+y麗+zOC(其中

x+y+z=l),則P,A,8,C四點共面，由于缺少條件+x+y+z=\,故④不正確，正

確的命題個數是0,故選D.

12、答案D

根據1=(-3,4,12),且AB=2「，可得&的值，同時已知A(l,-2,0),可得B的坐標.

詳解

解：???a=(-3,4,12),且AB=2a,AB=(-6,8,24),

???A(l,-2,0),???B=(-6+l,8-2,24+0)=(-5,6,24),

故選D.

名師點評

本題考查空間向量的數乘運算，是一個基礎題，解題的關鍵是牢記公式，在數字運算的

時候要細心.

13、答案一138

因為a〃b,

所以3m—2n—4p=X[(x+l)m+8n+2yp]

所以x(x+1)=3,8入=—2,2y入=-4,

所以x=-13,y—8.

14、答案一2

15、答案(T,0,2)

根據題意算出反，的，前的坐標，由PA,平面ABC得

P^1京且反1■京，建立關于x、y的方程組，解之即可得出點P的坐標.

詳解

由題意得加(-x,1,-z),AB=(-1,-1,-i),AC=(2,0,1),由PX1京，得PX-ALXT+Z=0,

由PAlAb,得pX-Ab=_2x-z=0,解得iz=2.故點P的坐標為(T,0,2).

名師點評

本題給出點A、B、C的坐標，在PA_L平面ABC的情況下求點P的坐標.著重考查了空間

向量的坐標運算、向量語言表述線面的垂直與平行的關系等知識，屬于基礎題.

16、答案3

(龍+B)2=29,化簡得：^a2+2Aab+b2=29,代入坐標運算，

22(O2+(-1)2+12)+2/1(0X4-1X1+1X0)+42+12+O2=29,22-A-6=0,(2>0),

解得：4=3.

考查目的：1.空間向量的坐標運算；2.模的運算

17、答案:：(1)根據定義模為1的向量即為單位向量(2)在長方體中求出對角線長為

由，即可寫出所求向量(3)根據大小相等，方向相同即為相等向量可寫出(4)大小相

等，方向相反的向量即為相反向量.

詳解

(1)模為1的向量有A1A，AA1，B1B,BB],C￡CC1，D1D,DD1,共8個單位向量.

(2)由于這個長方體的左右兩側的對角線長均為小,因此模為小的向量為AD1，D1A,A1U

DA],BC],C]B,B]C,CB]

->->->

(3)與向量6B相等的向量(除它自身之外)為A[B],DC及D]C].

(4)向量AA1的相反向量為AIA,BIB,C]C,D]D

名師點評

本題主要考查了向量的模，相等向量，相反向量，及向量的相等，屬于中檔題.

18、答案⑴7&(2)a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

試題分析：(1)先寫出兩邊表示向量坐標，再由向量夾角公式求角A的余弦值，由同角

關系求角A的正弦值，再由面積公式可求解。(2)設；=(x,y,z),由向量垂直則數量積為

0,待定系數法求得向量a坐標。

詳解

(1)由題中條件可知,艙=(-2,-1,3),人工(1,-3,2),

ABAC-2+3+61

所以cos〈融辰>=|AB||扇麻用2

于是sin<AB,AC>=2.

故以血和后為鄰邊的平行四邊形的面積為

S=|AB||AC|sin<AB,AC>=i4X2=7亞

,222c

x+y+z=3,

-2x-y+3z=0,

(2)設a=(x,y,z),由題意得x-3y+2z=0,

(X=1,rX=-1,

y=1,或卜=-1,

解得|z=l(z=-1.

故a=(l,1,1)或a=(-l,T,T).

名師點評

-?T

-?->a?b-?-?

COS<a,b>=-------—<a,b>6[0,n]

求平面向量夾角公式：Ia「|b|，若,二名必七沈二與叢馬)，則

「xz+yM+zR-

cos<a,b>=,——,：,<a,b>e[0,n]

x2+2+z2x2+2+z2

JiyiiJ2v22o

19、答案(I)證明：由題設可知AD,DE,取AE中點0,

連結0D、BE,VAD=DE=V2,A0D1AE,

又?.?二面角D—AE—B為直二面角，

.?.0口_1_平面ABCE,AODIBE,AE=BE=2,AB=2a,

.*.AB2=AE2+BE2,AE±BE,0DnAE=0,，BE，平面ADE,

.'.BELAD,BECDE=E,，AD_L平面BDE.

(II)取AB中點F,連結OF,則OF〃EB,...OF_1_平面ADE,

以0為原點，0A,OF,0D為x、y、z軸建立直角坐標系(如圖)，

z

貝0,0),D(0,0,1),B(—1,2,0),AD=(-1,0,1),BO=(l,-2,1),

設m-(x,y,z)是平面ABD的一個法向量，則/n?BD=0,

m-AD=0,<X2)+z。取x=i,則y=l,z=1,則加=(1,1,1),平面ADE的法向

-x+z=0

量而=(0,1,0),cosd=藐?而_]_V|

'|m||OF|1-V33

(I)V0>D分別為AC、PC的中點：，0D〃PA,又PAB平面PAB,

，0D〃平面PAB.

(II)VABlBC,OA=OC,.*.OA=OC=OB,又?.?OP_L平面ABC,，PA=PB=PC.

取BC中點E,連結PE,則BC_L平面POE,作0F1PE于F,連結DF,則()FJ_平面PBC

ZODF是0D與平面PBC所成的角.

又0D/7PA,APA與平面PBC所成角的大小等于NODF.

在RtaODF中，sinN0DF=427r

.?.PA與平面PBC所成角為arcsin

(III)由(II)知,0FL平面PBC,...F是0在平面PBC內的射影.

YD是PC的中點，若F是APBC的重心，則B、F、D三點共線,直線0B在平面PBC內的射

影為直線BD,VOB±PC.APC1BD,/.PB=BC,即k=l..反之,，當k=l時,三棱錐O-PBC為正

三棱錐，二。在平面PBC內的射影為APBC的重心.

解法二：

：(^，平面ABC,OA=OC,AB=BC,AOAIOB,OA±OP,OB1OP.

以0為原點,射線OP為非負x軸,建立空間坐標系0-xyz如圖），設AB=a,則A（。a,0,0）.

B(0,0a,0)，(-0a,0,0).設OP=h,則P(0,0,h).

I)D為PC的中點

PA=(—a,0,-//),OD=一一所,而〃PW,...OD〃平面PAB.

22

(H)：k=g,則PA=2a,.?.h=0,.?.閃=(等可求得平面PBC的法向量

-(\1-、PA-nJ210

n=(1,-1,-,口/-)、,..cos(PA,n)=——=-----.

V|PA||n|30

—■-J210

設PA與平面PBC所成角為9,剛sin0=|cos(PA,n)=-----.

30

PA與平面PBC所成的角為arcsin由3.

30

(HI)APBC的重心G(--a,—：.OG=(-

663663

?.?0GL平面PBC,.?.說_L而,又而=(0,也兄一力)，；.OCPB=-a2--h2=0,

263

：.h=—a,：.PK=y]o^+lr,即k=l,反之，當k=l時,三棱錐O-PBC為正三棱錐.

2

AO為平面PBC內的射影為APBC的重心.

21、答案(1)詳見；(2)2根

試題分析：(1)根據空間坐標系的定義，易得各點的坐標；(2)要求空間中兩點的距離,

可直接利用空間兩點的距離公式=+(丫1一丫29.七一Z2產求解出來.

試題(1)正方體各頂點的坐標如下：

A](0,0,0),Bi(0,2,0),Ci(2,2,0),D](2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,2),C(222),D(2,0,2)

⑵解法-：子|=閃？77=2也

解法二：=2向