中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之考點(diǎn)題型全歸納與分層精練（全國(guó)通用）：專(zhuān)題30 與圓有關(guān)的位置關(guān)系(解析版)

專(zhuān)題30與圓有關(guān)的位置關(guān)系【專(zhuān)題目錄】技巧1：有關(guān)圓的位置關(guān)系的四種判斷方法技巧2：切線(xiàn)的判定和性質(zhì)的四種應(yīng)用類(lèi)型技巧3：圓中常用的作輔助線(xiàn)的八種方法【題型】一、判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【題型】二、三角形外接圓的相關(guān)計(jì)算【題型】三、確定圓的條件【題型】四、判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系【題型】五、利用切線(xiàn)的性質(zhì)定理進(jìn)行計(jì)算【題型】六、切線(xiàn)性質(zhì)與判定的綜合【題型】七、利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理進(jìn)行計(jì)算【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計(jì)算【題型】九、圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計(jì)算【題型】十、判斷圓與圓的位置關(guān)系【考綱要求】1.了解直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，并會(huì)判斷直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系．2.了解點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，并會(huì)判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．3.了解切線(xiàn)的概念，并掌握切線(xiàn)的判定和性質(zhì)．4.掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì).【考點(diǎn)總結(jié)】一、點(diǎn)、線(xiàn)與圓的位置關(guān)系如果圓的半徑為r,某一點(diǎn)到圓心的距離為d,那么:（1）點(diǎn)在圓外?d>r;（2）點(diǎn)在圓上?d=r;（3）點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r.2.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切和相交位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r3.切線(xiàn)的性質(zhì)與判定（1）切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.（2）切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).

4.*切線(xiàn)長(zhǎng)定理（1）切線(xiàn)長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線(xiàn)段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的切線(xiàn)長(zhǎng).（2）定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線(xiàn),它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角.【技巧歸納】技巧1：有關(guān)圓的位置關(guān)系的四種判斷方法類(lèi)型一：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(方法1)定義法1．如圖，在網(wǎng)格中(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度)選取9個(gè)格點(diǎn)(格線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn))．如果以A為圓心，r為半徑畫(huà)圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，則r的取值范圍為()A．2eq\r(2)<r<eq\r(17)B.eq\r(17)<r<3eq\r(2)C.eq\r(17)<r<5D．5<r<eq\r(29)(第1題)2．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3eq\r(5)，點(diǎn)P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD的長(zhǎng)為半徑的圓，那么下列判斷正確的是()A．點(diǎn)B，C均在圓P外B．點(diǎn)B在圓P外，點(diǎn)C在圓P內(nèi)C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外D．點(diǎn)B，C均在圓P內(nèi)eq\a\vs4\al(方法2)比較法3．⊙O的半徑r＝5cm，圓心O到直線(xiàn)l的距離OD＝3cm，在直線(xiàn)l上有P，Q，R三點(diǎn)，且有PD＝4cm，QD＝5cm，RD＝3cm，那么P，Q，R三點(diǎn)與⊙O的位置關(guān)系各是怎樣的？類(lèi)型二：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系eq\a\vs4\al(方法3)交點(diǎn)個(gè)數(shù)法4．已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)⊙O上的A，B兩點(diǎn)，則直線(xiàn)l與⊙O的位置關(guān)系是()A．相切B．相交C．相離D．無(wú)法確定eq\a\vs4\al(方法4)距離比較法5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，BC＝4cm，以點(diǎn)C為圓心，4cm為半徑畫(huà)⊙C，試判斷直線(xiàn)BD與⊙C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(第5題)6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.若以點(diǎn)C為圓心、R為半徑的圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，求R的取值范圍．(第6題)答案1．B2.C3．解：如圖，連接OR，OP，OQ.∵PD＝4cm，OD＝3cm，且OD⊥l，(第3題)∴OP＝eq\r(PD2＋OD2)＝eq\r(42＋32)＝5(cm)＝r.∴點(diǎn)P在⊙O上．∵QD＝5cm，∴OQ＝eq\r(QD2＋OD2)＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)(cm)>5cm＝r.∴點(diǎn)Q在⊙O外．∵RD＝3cm，∴OR＝eq\r(RD2＋OD2)＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)(cm)<5cm＝r.∴點(diǎn)R在⊙O內(nèi)．4．B5．解：直線(xiàn)BD與⊙C相交．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8cm.∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝4eq\r(3)cm.由三角形的面積公式得eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝2eq\r(3)cm.∵2eq\r(3)cm<4cm，∴直線(xiàn)BD與⊙C相交．6．解：本題應(yīng)分兩種情況討論．一種情況是：如圖①，以C為圓心、R為半徑的圓與斜邊AB相切，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD＝R.由勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5.由三角形的面積公式，得S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，解得R＝CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(3×4,5)＝2.4.另一種情況是：如圖②，點(diǎn)A在圓內(nèi)，以點(diǎn)C為圓心，R為半徑的圓與斜邊AB相交于一點(diǎn)，那么R應(yīng)滿(mǎn)足AC<R≤BC，即3<R≤4.綜上所述，R的取值范圍為R＝2.4或3＜R≤4.(第6題)技巧2：切線(xiàn)的判定和性質(zhì)的四種應(yīng)用類(lèi)型類(lèi)型一：應(yīng)用于求線(xiàn)段的長(zhǎng)1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F.(1)求證：DF是⊙O的切線(xiàn)；(2)若AE＝4，cosA＝eq\f(2,5)，求DF的長(zhǎng)．(第1題)類(lèi)型二：應(yīng)用于求三角函數(shù)值2．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分線(xiàn)交AE于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，交BC于另一點(diǎn)F.(1)求證：CD與⊙O相切；(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．(第2題)類(lèi)型三：應(yīng)用于求圓的半徑3．如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，OC∥AD，BA，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E.(1)求證：DC是⊙O的切線(xiàn)；(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半徑．(第3題)類(lèi)型四：應(yīng)用于求圖形的面積4．如圖，AB為⊙O的直徑，D為eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，連接OD交弦AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；(2)連接CD，若OA＝AE＝4，求四邊形ACDE的面積．(第4題)答案1．(1)證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點(diǎn)G.(第1題)∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°，∴DF是⊙O的切線(xiàn)．(2)解：∵OG⊥AE，∴AG＝eq\f(1,2)AE＝2，∵cosA＝eq\f(AG,OA)，∴OA＝eq\f(AG,cosA)＝eq\f(2,\f(2,5))＝5.∴OG＝eq\r(OA2－AG2)＝eq\r(21).∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°，∴四邊形OGFD為矩形，∴DF＝OG＝eq\r(21).2．(1)證明：過(guò)點(diǎn)O作OG⊥DC，垂足為G，如圖所示．[第2(1)題]∵AD∥BC，AE⊥BC于E，∴OA⊥AD.∴∠OAD＝∠OGD＝90°.在△ADO和△GDO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OAD＝∠OGD，,∠ADO＝∠GDO，,OD＝OD，))∴△ADO≌△GDO.∴OA＝OG.∴CD與⊙O相切．(2)解：如圖，連接OF.[第2(2)題]∵OA⊥BC，∴BE＝EF＝eq\f(1,2)BF＝12.在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12，∴OF＝eq\r(OE2＋EF2)＝13.∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18.∴tan∠ABC＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,2).3．(1)證明：如圖，連接DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.(第3題)又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.∴∠COD＝∠COB.在△COD和△COB中，∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC，∴△COD≌△COB(SAS)．∴∠CDO＝∠CBO.∵BC是⊙O的切線(xiàn)，∴∠CBO＝90°.∴∠CDO＝90°.∴CD是⊙O的切線(xiàn)．(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝r，OE＝r＋1，∵CD是⊙O的切線(xiàn)，∴∠EDO＝90°.∴ED2＋OD2＝OE2.∴32＋r2＝(r＋1)2.解得r＝4.∴⊙O的半徑為4.4．(1)證明：∵D為eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴OD⊥AC.∵AC∥DE，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切線(xiàn)．(2)解：如圖，∵D為eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴AF＝CF，∵AC∥DE，且OA＝AE，(第4題)∴F為OD的中點(diǎn)，即OF＝FD，在△AFO和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝CF，,∠AFO＝∠CFD，,OF＝DF，))∴△AFO≌△CFD(SAS)．∴S△AFO＝S△CFD.∴S四邊形ACDE＝S△ODE.在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝4，∴OE＝8，∴DE＝eq\r(OE2－OD2)＝4eq\r(3)，∴S四邊形ACDE＝S△ODE＝eq\f(1,2)×OD×DE＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)＝8eq\r(3).技巧3：圓中常用的作輔助線(xiàn)的八種方法類(lèi)型一：作半徑，巧用同圓的半徑相等1．如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點(diǎn)A，D在半圓O上，頂點(diǎn)B，C在半圓O的直徑上；小正方形BEFG的頂點(diǎn)F在半圓O上，E點(diǎn)在半圓O的直徑上，點(diǎn)G在大正方形的邊AB上．若小正方形的邊長(zhǎng)為4cm，求該半圓的半徑．(第1題)類(lèi)型二：連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周角相等2．如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角∠ACM的平分線(xiàn)與圓交于D點(diǎn)，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足為H.求證：AP＝BH.(第2題)類(lèi)型三：作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周角是直角3．如圖，⊙O的半徑為R，弦AB，CD互相垂直，連接AD，BC.(1)求證：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的長(zhǎng)是方程x2－6x＋5＝0的兩個(gè)根(AD>BC)，求⊙O的半徑及點(diǎn)O到AD的距離．(第3題)類(lèi)型四：證切線(xiàn)時(shí)輔助線(xiàn)作法的應(yīng)用4．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且與OA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D.判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(第4題)類(lèi)型五：遇弦加弦心距或半徑5．如圖，在半徑為5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，則OP的長(zhǎng)為()A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)(第5題)(第6題)6．如圖，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于點(diǎn)H，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，若AB＝2eq\r(3)，OH＝1，則∠APB＝________.類(lèi)型六：遇直徑巧加直徑所對(duì)的圓周角7．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．(1)求證：△ABC為等邊三角形；(2)求DE的長(zhǎng)．(第7題)類(lèi)型七：遇切線(xiàn)巧作過(guò)切點(diǎn)的半徑8．如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且PA＝PB.(1)求證：PB是⊙O的切線(xiàn)；(2)已知PA＝eq\r(3)，∠ACB＝60°，求⊙O的半徑．(第8題)類(lèi)型八：巧添輔助線(xiàn)計(jì)算陰影部分的面積9．如圖，點(diǎn)B，C，D都在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C作AC∥BD交OB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)A，連接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6eq\r(3)cm.(1)求證：AC是⊙O的切線(xiàn)；(2)求由弦CD，BD與eq\o(BC,\s\up8(︵))所圍成的陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．(第9題)答案1．解：如圖，連接OA，OF.設(shè)OA＝OF＝rcm，AB＝acm.(第1題)在Rt△OAB中，r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋a2，在Rt△OEF中，r2＝42＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(a2,4)＋a2＝16＋16＋4a＋eq\f(a2,4).解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．∴r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq\s\up12(2)＋82＝80.∴r1＝4eq\r(5)，r2＝－4eq\r(5)(舍去)．即該半圓的半徑為4eq\r(5)cm.點(diǎn)撥：在有關(guān)圓的計(jì)算題中，求角度或邊長(zhǎng)時(shí)，常連接半徑構(gòu)造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．2．證明：如圖，連接AD，BD.(第2題)∵∠DAC，∠DBC都是eq\o(DC,\s\up8(︵))所對(duì)的圓周角．∴∠DAC＝∠DBC.∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，∴DP＝DH.在△ADP和△BDH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAP＝∠DBH，,∠DPA＝∠DHB＝90°，,DP＝DH.))∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.點(diǎn)撥：本題通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造圓周角，然后利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件．3．(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的直徑DE，連接AE，EC，AC.(第3題)∵DE是⊙O的直徑，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.又∵CD⊥AB，∴EC∥AB.∴∠BAC＝∠ACE.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(AE,\s\up8(︵)).∴BC＝AE.在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，∴AD2＋BC2＝4R2.(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F.∵弦AD，BC的長(zhǎng)是方程x2－6x＋5＝0的兩個(gè)根(AD>BC)，∴AD＝5，BC＝1.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2.∴R＝eq\f(\r(26),2).∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，∴OF∥EA.又∵O為DE的中點(diǎn)，∴OF＝eq\f(1,2)AE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)，即點(diǎn)O到AD的距離為eq\f(1,2).點(diǎn)撥：本題作出直徑DE，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形，給解題帶來(lái)了方便．4．解：CD與⊙O相切，理由如下：如圖，作⊙O的直徑CE，連接AE.(第4題)∵CE是⊙O的直徑，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又∵OC為⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切．5．C6.60°(第7題)7．(1)證明：如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.∴△ABC為等邊三角形．(2)解：如圖，連接BE.∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC.∵△ABC是等邊三角形，∴AE＝EC，即E為AC的中點(diǎn)．又∵D是BC的中點(diǎn)，故DE為△ABC的中位線(xiàn)．∴DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×2＝1.8．(1)證明：如圖，連接OB，∵OA＝OB，(第8題)∴∠OAB＝∠OBA.∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.又∵PA是⊙O的切線(xiàn)，∴∠PAO＝90°.∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.又∵OB是⊙O的半徑，∴PB是⊙O的切線(xiàn)．(2)解：如圖，連接OP，∵PA＝PB，∴點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上．∵OA＝OB，∴點(diǎn)O在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上．∴OP為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)．又∵BC⊥AB，∴PO∥BC.∴∠AOP＝∠ACB＝60°.由(1)知∠PAO＝90°.∴∠APO＝30°.∴PO＝2AO.∵在Rt△APO中，AO2＋PA2＝PO2，∴AO2＋3＝(2AO)2.又∵AO＞0，∴AO＝1.∴⊙O的半徑為1.(第9題)9．(1)證明：如圖，連接CO，交DB于點(diǎn)E，∴∠O＝2∠CDB＝60°.又∵∠OBE＝30°，∴∠BEO＝180°－60°－30°＝90°.∵AC∥BD，∴∠ACO＝∠BEO＝90°，即OC⊥AC.又∵點(diǎn)C在⊙O上，∴AC是⊙O的切線(xiàn)．(2)解：∵OE⊥DB，∴EB＝eq\f(1,2)DB＝3eq\r(3)cm.在Rt△EOB中，∵∠OBE＝30°，∴OE＝eq\f(1,2)OB.∵EB＝3eq\r(3)cm，∴由勾股定理可求得OB＝6cm.∵∠CDB＝∠DBO，DE＝BE，∠CED＝∠OEB，∴△CDE≌△OBE.∴S△CDE＝S△OBE.∴S陰影＝S扇形COB＝eq\f(60,360)π·62＝6π(cm2)．【題型講解】【題型】一、判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例1、若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，2），那么點(diǎn)P的位置為（）A．在⊙A內(nèi) B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定【答案】A【提示】先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出PA的長(zhǎng)，然后比較PA與半徑的大小，再根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】∵圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，2），∴AP==4＜5，∴點(diǎn)P在⊙A內(nèi)，故選A．例2、已知⊙O的半徑為5，若PO＝4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)P在⊙O上 C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法判斷【答案】A【提示】已知圓O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離是d，①當(dāng)r＞d時(shí)，點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，②當(dāng)r=d時(shí)，點(diǎn)P在⊙O上，③當(dāng)r＜d時(shí)，點(diǎn)P在⊙O外，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【詳解】∵⊙O的半徑為5，若PO＝4，∴4＜5，∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，故選：A．【題型】二、三角形外接圓的相關(guān)計(jì)算例3、有一題目：“已知；點(diǎn)為的外心，，求．”嘉嘉的解答為：畫(huà)以及它的外接圓，連接，，如圖．由，得．而淇淇說(shuō)：“嘉嘉考慮的不周全，還應(yīng)有另一個(gè)不同的值．”，下列判斷正確的是（）A．淇淇說(shuō)的對(duì)，且的另一個(gè)值是115°B．淇淇說(shuō)的不對(duì)，就得65°C．嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，應(yīng)得50°D．兩人都不對(duì)，應(yīng)有3個(gè)不同值【答案】A【提示】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A還應(yīng)有另一個(gè)不同的值∠A′與∠A互補(bǔ)．故∠A′＝180°?65°＝115°．故選：A．例4、過(guò)三點(diǎn)（2，2），（6，2），（4，5）的圓的圓心坐標(biāo)為（）A．（4，） B．（4，3） C．（5，） D．（5，3）【答案】A【提示】根據(jù)題意，可知線(xiàn)段AB的線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)為x=4，然后由C點(diǎn)的坐標(biāo)可求得圓心的橫坐標(biāo)為x=4，然后設(shè)圓的半徑為r，則根據(jù)勾股定理可求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為r，則根據(jù)勾股定理可知：，解得r=，因此圓心的縱坐標(biāo)為，因此圓心的坐標(biāo)為（4，）.故選A【題型】三、確定圓的條件例5、如圖，、為⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線(xiàn)【答案】B【提示】連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據(jù)△BPA為等腰三角形，可判斷D；無(wú)法證明與相互垂直平分，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，∵B，C為切點(diǎn)，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴為等腰三角形，故A正確；∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，∴PM=OM=BM=AM∴點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA為等腰三角形，∴為的邊上的中線(xiàn)，故D正確；無(wú)法證明與相互垂直平分，故選：B．例6、如圖，已知是的兩條切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，線(xiàn)段交于點(diǎn)M．給出下列四種說(shuō)法：①；②；③四邊形有外接圓；④M是外接圓的圓心，其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【提示】由切線(xiàn)長(zhǎng)定理判斷①，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)判斷②，利用切線(xiàn)的性質(zhì)與直角三角形的斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，判斷③，利用反證法判斷④．【詳解】解：如圖，是的兩條切線(xiàn)，故①正確，故②正確，是的兩條切線(xiàn)，取的中點(diǎn)，連接，則所以：以為圓心，為半徑作圓，則共圓，故③正確，M是外接圓的圓心，與題干提供的條件不符，故④錯(cuò)誤，綜上：正確的說(shuō)法是個(gè)，故選C．【題型】四、判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系例7、如圖，中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，當(dāng)時(shí)，與的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】B【提示】根據(jù)中，，，求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出與的位置關(guān)系．【詳解】解：∵中，，，∴cosA=∵，∴AC=4∴BC=當(dāng)時(shí)，與的位置關(guān)系是：相切故選：B【題型】五、利用切線(xiàn)的性質(zhì)定理進(jìn)行計(jì)算例8、如圖，AB是⊙O的弦，AC與⊙O相切于點(diǎn)A，連接OA，OB，若∠O＝130°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【提示】利用切線(xiàn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求出∠OAC及∠OAB即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵AC與⊙O相切于點(diǎn)A，∴AC⊥OA，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．∵∠O＝130°，∴∠OAB＝＝25°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．故選：B．例9、如圖，AB是的切線(xiàn)，A切點(diǎn)，連接OA，OB，若，則的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D【提示】根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出.【詳解】∵AB是的切線(xiàn)∴∵∴故選D.例10、如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，D，P是DF上一點(diǎn)，則∠EPF的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【提示】連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接OE，OF．

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，

∴OE⊥AB，OF⊥BC，

∴∠OEB=∠OFB=90°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∴∠EOF=120°，

∴∠EPF=∠EOF=60°，

故選：B．例11、如圖，△ABC內(nèi)接于圓，，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．則（）A． B． C． D．【答案】B【提示】連接OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠CAB.【詳解】解：連接OC，∵CP與圓O相切，∴OC⊥CP，∵∠ACB=90°，∴AB為直徑，∵∠P=28°，∴∠COP=180°-90°-28°=62°，而OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，即∠CAB=31°，故選B.例12、如圖，分別與⊙O相切于兩點(diǎn)，，則()A． B． C． D．【答案】C【提示】連接OA、OB，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)定理，結(jié)合四邊形AOBP的內(nèi)角和為360°，即可推出∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理，即可推出∠C的度數(shù)．【詳解】解：連接OA、OB，

∵直線(xiàn)PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∵∠P=72°，

∴∠AOB=108°，

∵C是⊙O上一點(diǎn)，

∴∠ACB=54°．

故選：C．【題型】六、切線(xiàn)性質(zhì)與判定的綜合例13、如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥DC，連接AC，BC．（1）求證：AC是∠DAB的角平分線(xiàn)；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【提示】（1）連接OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得∠OCD＝90°，再根據(jù)AD⊥DC，和半徑線(xiàn)段即可證明AC是∠DAB的角平分線(xiàn)；（2）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：連接OC，如圖，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分線(xiàn)；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，∴，∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，∴AC＝例14、如圖，在△ABC中，，以為直徑的⊙O與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙O的切線(xiàn)交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若⊙O的半徑為，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）4.8．【提示】（1）連接OD，由AB=AC，OB=OD，則∠B=∠ODB=∠C，則OD∥AC，由DE為切線(xiàn)，即可得到結(jié)論成立；（2）連接AD，則有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面積公式，即可求出DE的長(zhǎng)度．【詳解】解：連接OD，如圖：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠B=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE是切線(xiàn)，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；（2）連接AD，如（1）圖，∵AB為直徑，AB=AC，∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中線(xiàn)，∴CD=BD=，∠ADC=90°，∵AB=AC=，由勾股定理，得：，∵，∴；【題型】七、利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理進(jìn)行計(jì)算例15、如圖，P為⊙外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙于A、B兩點(diǎn)，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【提示】根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理即可得到答案.【詳解】因?yàn)镻A和PB與⊙相切，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，所以PA＝PB＝3，故選B.例16、如圖，PA、PB為圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，PO交AB于點(diǎn)C，PO的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓O于點(diǎn)D，下列結(jié)論不一定成立的是()A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD【答案】D【提示】先根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OP⊥AB，根據(jù)菱形的性質(zhì)，只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時(shí)，AB平分PD，由此可判斷D不一定成立．【詳解】∵PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時(shí)，AB平分PD，所以D不一定成立，故選D．【題型】八、三角形內(nèi)切圓的相關(guān)計(jì)算例17、如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【提示】先利用勾股定理判斷△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，繼而證明四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，利用面積法求出r的值即可求得答案.【詳解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O為△ABC內(nèi)切圓，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，∴OE=OF=r，∴S四邊形AEOF=r2，連接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴，∴r=2，∴S四邊形AEOF=r2=4，故選A.例18、如圖，內(nèi)心為，連接并延長(zhǎng)交的外接圓于，則線(xiàn)段與的關(guān)系是（）A． B． C． D．不確定【答案】A【提示】連接，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，，再根據(jù)圓周角定理得到，然后利用三角形外角性質(zhì)和角度的代換證明，從而可判斷．【詳解】連接，如圖，內(nèi)心為，，，，，即，．故選A．【題型】九、圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)計(jì)算例19、如圖，四邊形內(nèi)接于，，為中點(diǎn)，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【提示】根據(jù)，為中點(diǎn)求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．【詳解】∵為中點(diǎn)，∴,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四邊形內(nèi)接于，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴=40°，故選：A．例20、如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．110° B．130° C．140° D．160°【答案】B【提示】連接BC，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，則∠B＝50°，然后利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．故選：B．例21、如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．110° C．130° D．140°【答案】B【提示】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)計(jì)算即可．【詳解】∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，故選：B．【題型】十、判斷圓與圓的位置關(guān)系例22、已知⊙A與⊙B外切，⊙C與⊙A、⊙B都內(nèi)切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半徑長(zhǎng)是（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【提示】通過(guò)外切、內(nèi)切的性質(zhì)，列出方程組求解．【詳解】設(shè)⊙A的半徑為X,⊙B的半徑為Y,⊙C的半徑為Z.解得故選C例23、如果兩個(gè)圓的圓心距為3，其中一個(gè)圓的半徑長(zhǎng)為4，另一個(gè)圓的半徑長(zhǎng)大于1，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能是（）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外切 D．相交【答案】C【提示】首先利用一個(gè)圓的半徑為4，另一個(gè)圓的半徑大于1來(lái)求得兩圓的半徑之差的范圍，然后根據(jù)圓心距d與兩半徑的關(guān)系判斷即可．【詳解】解：∵一個(gè)圓的半徑R為4，另一個(gè)圓的半徑r大于1，∴R﹣r＜4﹣1，R+r＞5即：R﹣r＜3，∵圓心距為3，∴兩圓不可能外切，故選：C．與圓有關(guān)的位置關(guān)系（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M（3，5）為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點(diǎn)，則tan∠ACM的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為D，連接MD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MD于點(diǎn)E，可知MD⊥x軸，從而AC∥MD，∠ACM=∠CME，根據(jù)M的坐標(biāo)求出ME的長(zhǎng)，利用正切的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】圖，設(shè)切點(diǎn)為D，連接MD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MD于點(diǎn)E，∵AB為直徑的圓與x軸相切，∴MD⊥x軸，∴AC∥MD，∴∠ACM=∠CME，∵M(jìn)（3，5）即MD=MC=5，OD=CE=3，∴,∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理及解直角三角形，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知⊙O上三點(diǎn)A、B、C，連接AB、AC、OB、OC，切線(xiàn)BD交OC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，∠A=25°，則∠D的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得∠OBD=90°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=50°，然后利用互余計(jì)算出∠D的度數(shù)．【詳解】解：∵BD為切線(xiàn)，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∵∠BOC=2∠A=2×25°=50°，∴∠D=90°-∠BOD=90°-50°=40°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．3．如圖，的內(nèi)接四邊形中，，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E為邊CD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可求出∠C的度數(shù)，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-∠A=120°，∵∠DEB是△DCE的一個(gè)外角，∴∠DEB＞∠C，∴∠DEB的度數(shù)可能是：125°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，的直徑與弦的夾角為25°，過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于P，則的度數(shù)為（

）°．A．25 B．30 C．35 D．40【答案】D【分析】連接OC，證明，利用，求出，即可求出．【詳解】解：連接OC，∵PC切⊙O與點(diǎn)C，∴，∵，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，切線(xiàn)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出，．6．下列說(shuō)法正確的是（）A．為調(diào)查全國(guó)人民對(duì)糧食的關(guān)注度，應(yīng)采用全面調(diào)查B．“三點(diǎn)確定一個(gè)圓”是必然事件C．成語(yǔ)“水中撈月”是隨機(jī)事件D．隨意擲一枚5角錢(qián)幣，落地后每一面向上的機(jī)會(huì)一樣【答案】D【分析】根據(jù)隨機(jī)抽樣分類(lèi)：抽樣調(diào)查及全面調(diào)查及定義，事件分類(lèi)：必然事件、隨機(jī)事件及不可能事件及相關(guān)事件定義，概率定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：A、為調(diào)查全國(guó)人民對(duì)糧食的關(guān)注度，適合使用抽樣調(diào)查，不符合題意；B、只有不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，所以“三點(diǎn)確定一個(gè)圓”是不確定事件，不符合題意；C、成語(yǔ)“水中撈月”是不可能事件，不符合題意；D、隨意擲一枚5角錢(qián)幣，落地后每一面向上的機(jī)會(huì)一樣，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)概念，熟記隨機(jī)抽樣分類(lèi)及定義、事件的分類(lèi)及定義、概率定義等知識(shí)點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題7．如圖，AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于點(diǎn)C．若∠BCD＝50°，則∠ABC的大小為_(kāi)_____°．【答案】40【分析】直接利用切線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：連接CO，∵CD切⊙O于點(diǎn)C，∴CO⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠BCD=50°，∴∠OCB=90°-50°=40°，∵CO=BO，∴∠ABC=∠OCB=40°．故答案為：40．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，正確得出∠OCB的度數(shù)是解題關(guān)鍵．8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是______．【答案】110°##110度【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)計(jì)算∠ADC即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°．∵∠ABC=70°，∴∠ADC=180°-70°=110°．故答案為110°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)，熟練掌握這個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使DC=BD，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：AB=AC；（2）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；（3）若⊙O的半徑為6，∠BAC=60°，則DE=________．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）連接AD，由直徑所對(duì)的圓周角度數(shù)及中點(diǎn)可證AD是BC的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）連接OD，由中位線(xiàn)的性質(zhì)可得OD∥AC，由平行的性質(zhì)與切線(xiàn)的判定可證；（3）易知是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得CB長(zhǎng)及度數(shù)，利用直角三角形30度角的性質(zhì)及勾股定理可得結(jié)果.【詳解】（1）連接AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．又∵DC=BD，AD是BC的垂直平分線(xiàn)∴AB=AC．（2）連接OD．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∵O為AB中點(diǎn)，D為BC中點(diǎn)，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED=90°．∴DE是⊙O的切線(xiàn)．（3）由（1）得是等邊三角形在中，根據(jù)勾股定理得【點(diǎn)睛】本題考查了圓與三角形的綜合，涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有圓的切線(xiàn)的判定、圓周角定理的推論、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等邊三角形與直角三角形的性質(zhì)，靈活的將圖形與已知條件相結(jié)合是解題的關(guān)鍵.10．如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線(xiàn)．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】連接OD，求出∠ODB＝90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可．【詳解】如圖，連接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直線(xiàn)BD與⊙O相切．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線(xiàn)的判定，三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是證明OD⊥BD．與圓有關(guān)的位置關(guān)系（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．如圖，四邊形內(nèi)接于，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，∴∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，，分別與相切于點(diǎn)，，過(guò)圓上點(diǎn)作的切線(xiàn)分別交，于點(diǎn)，，若，則的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，得到：，進(jìn)而推出的周長(zhǎng)等于，即可得解．【詳解】解：∵，分別與相切于點(diǎn)，，∴，∵過(guò)圓上點(diǎn)作的切線(xiàn)分別交，于點(diǎn)，，∴，∴的周長(zhǎng)是：；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)長(zhǎng)定理．熟練掌握切線(xiàn)長(zhǎng)相等，是解題的關(guān)鍵．3．如圖，的內(nèi)切圓與各邊相切于，，，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)已知易得，由切線(xiàn)的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求得，即可判定是等邊三角形．【詳解】解：∵，∴，∵的內(nèi)切圓與各邊相切于，，，∴，，，∴，∵四邊形內(nèi)角和為，∴，∴是等邊三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)定理、等邊三角形的判定和四邊形內(nèi)角和定理，切線(xiàn)的性質(zhì)：過(guò)切點(diǎn)的直徑垂直于切線(xiàn)．4．如圖，已知圓心角，則圓周角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理求出劣弧所對(duì)的圓周角度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵，∴劣弧所對(duì)的圓周角度數(shù)為：，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．下列事件中，不是隨機(jī)事件的是（

）A．函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小B．平分弦的直線(xiàn)垂直于弦C．垂直于圓的半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)D．的半徑為5，若點(diǎn)P在外，則【答案】A【分析】根據(jù)隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，然后依據(jù)定義可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確，從而得出答案．【詳解】解：A.函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小是必然事件，故選項(xiàng)A符合題意；B.因?yàn)槠椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙遥云椒窒业闹本€(xiàn)垂直于弦是隨機(jī)事件，故選