中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之考點(diǎn)題型全歸納與分層精練（全國(guó)通用）：專題08 一元二次方程(原卷版)

專題08一元二次方程【專題目錄】技巧1：一元二次方程的解法歸類技巧2：根的判別式的六種常見(jiàn)應(yīng)用技巧3：根與系數(shù)的關(guān)系的四種應(yīng)用類型【題型】一、一元二次方程的概念【題型】二、解一元二次方程：直接開(kāi)平方法【題型】三、解一元二次方程：配方法【題型】四、解一元二次方程：公式法【題型】五、解一元二次方程：因式分解法【考綱要求】1、理解一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的解法．2、會(huì)判斷一元二次方程根的情況；了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．3、會(huì)列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題.【考點(diǎn)總結(jié)】一、一元二次方程一元二次方程方程一元二次方程概念（1）只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，且系數(shù)不為0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項(xiàng)，bx叫做一次項(xiàng)，c叫做常數(shù)項(xiàng)，a是二次項(xiàng)的系數(shù)，b是一次項(xiàng)的系數(shù)，注意a≠0.解法（降次）①直接開(kāi)平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，用直接開(kāi)平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為因式分解法:將方程右邊化為0，左邊化為兩個(gè)一次因式的積，令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程就得到原方程的解根的判別式（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

（3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.【注意】判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個(gè)未知數(shù)．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步驟一化：化二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；二移：移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；3、三配：①配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程化為的形式；②方程左邊變形為一次二項(xiàng)式的完全平方式，右邊合并為一個(gè)常數(shù)；4、四解：①用直接開(kāi)平方法解變形后的方程，此時(shí)需保證方程右邊是非負(fù)數(shù)。②分別解這兩個(gè)一元二次方程，求出兩根。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法選擇（1）當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開(kāi)平法（2）當(dāng)c=0時(shí)，首選因式分解法或配方法（3）當(dāng)a=1,b≠0,c≠0時(shí)，首選配方法或因式分解法（4）當(dāng)a≠1,b≠0,c≠0時(shí)，首選公式法或因式分解法一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的兩類應(yīng)用（1）求含有兩根的代數(shù)式的值：設(shè)法將所求代數(shù)式通過(guò)因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到的值，求出結(jié)果（2）構(gòu)造以兩數(shù)為根的一元二次方程：:由已知兩數(shù)x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0寫(xiě)出方程【技巧歸納】技巧1：一元二次方程的解法歸類【類型】一、限定方法解一元二次方程題型1：形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接開(kāi)平方法求解1．方程4x2－25＝0的解為()A．x＝eq\f(2,5)B．x＝eq\f(5,2)C．x＝±eq\f(5,2)D．x＝±eq\f(2,5)2．用直接開(kāi)平方法解下列一元二次方程，其中無(wú)解的方程為()A．x2－5＝5B．－3x2＝0C．x2＋4＝0D．(x＋1)2＝0題型2：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程變?yōu)?)A．(x－2)2＝7B．(x＋2)2＝1C．(x－2)2＝1D．(x＋2)2＝24．解方程：x2＋4x－2＝0.5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求eq\f(x,y)的值．題型3：能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是()A．－1B．0C．1和2D．－1和27．解下列一元二次方程：(1)x2－2x＝0；(2)16x2－9＝0；(3)4x2＝4x－1.題型4：如果一個(gè)一元二次方程易于化為它的一般式，則用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－eq\f(1,4)＝2x，方程的解應(yīng)是()A．x＝eq\f(－2±\r(5),2)B．x＝eq\f(2±\r(5),2)C．x＝eq\f(1±\r(5),2)D．x＝eq\f(1±\r(3),2)9．用公式法解下列方程．(1)3(x2＋1)－7x＝0；(2)4x2－3x－5＝x－2.【類型】二、選擇合適的方法解一元二次方程10．方程4x2－49＝0的解為()A．x＝eq\f(2,7)B．x＝eq\f(7,2)C．x1＝eq\f(7,2)，x2＝－eq\f(7,2)D．x1＝eq\f(2,7)，x2＝－eq\f(2,7)11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是()A．x1＝x2＝3B．x1＝x2＝－4C．x1＝3和x2＝－4D．x1＝3和x2＝412．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是()A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－4，x2＝213．解下列方程．(1)3y2－3y－6＝0；(2)2x2－3x＋1＝0.【類型】三、用特殊方法解一元二次方程題型1：構(gòu)造法14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.15．若m，n，p滿足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．題型2：換元法a．整體換元16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.17．x2＋eq\f(1,x2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))－1＝0.b．降次換元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒數(shù)換元19．解方程：eq\f(x－2,x)－eq\f(3x,x－2)＝2.題型3：特殊值法20．解方程：(x－2013)(x－2014)＝2015×2016.技巧2：根的判別式的六種常見(jiàn)應(yīng)用【類型】一、利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況1．已知方程x2－2x－m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，其中m是實(shí)數(shù)，試判斷方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有無(wú)實(shí)數(shù)根．2．已知關(guān)于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判別方程根的情況；(2)若方程有一個(gè)根為3，求m的值．【類型】二、利用根的判別式求字母的值或取值范圍3．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)證明：不論m為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)m為何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．【類型】三、利用根的判別式求代數(shù)式的值4．已知關(guān)于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求eq\f(m－1,（2m－1）2＋2m)的值．【類型】四、利用根的判別式解與函數(shù)綜合問(wèn)題5．y＝eq\r(k－1)x＋1是關(guān)于x的一次函數(shù)，則一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情況為()A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根【類型】五、利用根的判別式確定三角形的形狀6．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，且關(guān)于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋eq\f(a－c,4)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷此三角形的形狀．【類型】六、利用根的判別式探求菱形條件7．已知?ABCD的兩邊AB，AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2－mx＋eq\f(m,2)－eq\f(1,4)＝0的兩個(gè)根．(1)m為何值時(shí)，?ABCD是菱形？并求出菱形的邊長(zhǎng)．(2)若AB的長(zhǎng)為2，求?ABCD的周長(zhǎng)是多少？技巧3：根與系數(shù)的關(guān)系的四種應(yīng)用類型【類型】一、利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值1．設(shè)方程4x2－7x－3＝0的兩根為x1，x2，不解方程求下列各式的值．(1)(x1－3)(x2－3)；(2)eq\f(x2,x1＋1)＋eq\f(x1,x2＋1)；(3)x1－x2.【類型】二、利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程2．構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程5x2＋2x－3＝0各根的負(fù)倒數(shù)．【類型】三、利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值或取值范圍3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且滿足5x1＋2x2＝2，求實(shí)數(shù)m的值．【類型】四、巧用根與系數(shù)的關(guān)系確定字母系數(shù)的存在性4．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq\f(3,2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型講解】【題型】一、一元二次方程的概念例1、若方程是一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．–1【題型】二、解一元二次方程：直接開(kāi)平方法例2、解下列方程：（1）；（2）．【題型】三、解一元二次方程：配方法例3、用配方法解方程．（1）；（2）．【題型】四、解一元二次方程：公式法例4、解方程【題型】五、解一元二次方程：因式分解法例5、用因式分解法解下列方程：（1）；（2）．一元二次方程（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．（2022·四川瀘州·一模）方程x2﹣6x＝0的解是（）A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝02．（2022·福建省福州第十九中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）一元二次方程在用求根公式求解時(shí)，a，b，c的值是（

）A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―13．（2022·浙江溫州·一模）用配方法解方程時(shí)，配方結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）方程的兩個(gè)根為（

）A．＝﹣3，＝3 B．＝﹣9，＝9 C．＝﹣1，＝9 D．＝﹣9，＝15．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程a﹣5ax+4＝0，有一個(gè)根為1．則a的值為（

）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．不能確定二、填空題6．（2022·江蘇·南京市花園中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，，則_____．7．（2022·廣東·樂(lè)昌市新時(shí)代學(xué)校二模）比亞迪汽車銷售公司3月份銷售新上市一種新能源汽車8輛，由于該型汽車既環(huán)保，又經(jīng)濟(jì)，銷量快速上升，5月份該公司銷售該型汽車達(dá)18輛．設(shè)該公司銷售該型汽車4月份和5月份的平均增長(zhǎng)率為x，可列方程為：_________．三、解答題8．（2022·四川南充·一模）已知關(guān)于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求證：無(wú)論m取何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)設(shè)非0實(shí)數(shù)m，n是方程的兩根，試求m﹣n的值．一元二次方程（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．（2022·廣東·深圳市寶安第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校三模）關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則關(guān)于的一元二次方程的根的情況是(

)A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法判定2．（2022·云南·昆明八中模擬預(yù)測(cè)）下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B． C． D．3．（2022·貴州·仁懷市教育研究室三模）若和是關(guān)于x的方程的兩根，且，則b的值是（

）A．－3 B．3 C．－5 D．54．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)解，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k5．（2022·重慶巴蜀中學(xué)一模）對(duì)于二次三項(xiàng)式（m為常數(shù)），下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（

）①當(dāng)時(shí)，若，則②無(wú)論x取任何實(shí)數(shù)，等式都恒成立，則③若，，則