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專題08一元二次方程【專題目錄】技巧1:一元二次方程的解法歸類技巧2:根的判別式的六種常見應用技巧3:根與系數(shù)的關系的四種應用類型【題型】一、一元二次方程的概念【題型】二、解一元二次方程:直接開平方法【題型】三、解一元二次方程:配方法【題型】四、解一元二次方程:公式法【題型】五、解一元二次方程:因式分解法【考綱要求】1、理解一元二次方程的概念,熟練掌握一元二次方程的解法.2、會判斷一元二次方程根的情況;了解一元二次方程根與系數(shù)的關系并能簡單應用.3、會列一元二次方程解決實際問題.【考點總結】一、一元二次方程一元二次方程方程一元二次方程概念(1)只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是二次,且系數(shù)不為0的整式方程,叫做一元二次方程.(2)一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2叫做二次項,bx叫做一次項,c叫做常數(shù)項,a是二次項的系數(shù),b是一次項的系數(shù),注意a≠0.解法(降次)①直接開平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式,當b2-4ac≥0時,用直接開平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為因式分解法:將方程右邊化為0,左邊化為兩個一次因式的積,令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程就得到原方程的解根的判別式(1)當b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;
(3)當b2-4ac<0時,方程無實數(shù)根.【注意】判斷一個方程是否是一元二次方程,必須符合以下三個標準:一元二次方程是整式方程,即方程的兩邊都是關于未知數(shù)的整式.一元二次方程是一元方程,即方程中只含有一個未知數(shù).一元二次方程是二次方程,也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步驟一化:化二次項系數(shù)化為1:方程兩邊都除以二次項系數(shù);二移:移項,使方程左邊為二次項與一次項,右邊為常數(shù)項;3、三配:①配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方,方程化為的形式;②方程左邊變形為一次二項式的完全平方式,右邊合并為一個常數(shù);4、四解:①用直接開平方法解變形后的方程,此時需保證方程右邊是非負數(shù)。②分別解這兩個一元二次方程,求出兩根。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0))的解法選擇(1)當b=0時,首選直接開平法(2)當c=0時,首選因式分解法或配方法(3)當a=1,b≠0,c≠0時,首選配方法或因式分解法(4)當a≠1,b≠0,c≠0時,首選公式法或因式分解法一元二次方程根與系數(shù)關系的兩類應用(1)求含有兩根的代數(shù)式的值:設法將所求代數(shù)式通過因式分解或配方等恒等變形,變形為含有兩根和與兩根積的式子,再代入由一元二次方程根與系數(shù)關系得到的值,求出結果(2)構造以兩數(shù)為根的一元二次方程::由已知兩數(shù)x1+x2和x1x2的值,然后依照所求方程是x2(x1+x2)x+x1x2=0寫出方程【技巧歸納】技巧1:一元二次方程的解法歸類【類型】一、限定方法解一元二次方程題型1:形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接開平方法求解1.方程4x2-25=0的解為()A.x=eq\f(2,5)B.x=eq\f(5,2)C.x=±eq\f(5,2)D.x=±eq\f(2,5)2.用直接開平方法解下列一元二次方程,其中無解的方程為()A.x2-5=5B.-3x2=0C.x2+4=0D.(x+1)2=0題型2:當二次項系數(shù)為1,且一次項系數(shù)為偶數(shù)時,用配方法求解3.用配方法解方程x2+3=4x,配方后的方程變?yōu)?)A.(x-2)2=7B.(x+2)2=1C.(x-2)2=1D.(x+2)2=24.解方程:x2+4x-2=0.5.已知x2-10x+y2-16y+89=0,求eq\f(x,y)的值.題型3:能化成形如(x+a)(x+b)=0的一元二次方程用因式分解法求解6.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和27.解下列一元二次方程:(1)x2-2x=0;(2)16x2-9=0;(3)4x2=4x-1.題型4:如果一個一元二次方程易于化為它的一般式,則用公式法求解8.用公式法解一元二次方程x2-eq\f(1,4)=2x,方程的解應是()A.x=eq\f(-2±\r(5),2)B.x=eq\f(2±\r(5),2)C.x=eq\f(1±\r(5),2)D.x=eq\f(1±\r(3),2)9.用公式法解下列方程.(1)3(x2+1)-7x=0;(2)4x2-3x-5=x-2.【類型】二、選擇合適的方法解一元二次方程10.方程4x2-49=0的解為()A.x=eq\f(2,7)B.x=eq\f(7,2)C.x1=eq\f(7,2),x2=-eq\f(7,2)D.x1=eq\f(2,7),x2=-eq\f(2,7)11.一元二次方程x2-9=3-x的根是()A.x1=x2=3B.x1=x2=-4C.x1=3和x2=-4D.x1=3和x2=412.方程(x+1)(x-3)=5的解是()A.x1=1,x2=-3B.x1=4,x2=-2C.x1=-1,x2=3D.x1=-4,x2=213.解下列方程.(1)3y2-3y-6=0;(2)2x2-3x+1=0.【類型】三、用特殊方法解一元二次方程題型1:構造法14.解方程:6x2+19x+10=0.15.若m,n,p滿足m-n=8,mn+p2+16=0,求m+n+p的值.題型2:換元法a.整體換元16.解方程:(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=48.17.x2+eq\f(1,x2)-2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x)))-1=0.b.降次換元18.解方程:6x4-35x3+62x2-35x+6=0.c.倒數(shù)換元19.解方程:eq\f(x-2,x)-eq\f(3x,x-2)=2.題型3:特殊值法20.解方程:(x-2013)(x-2014)=2015×2016.技巧2:根的判別式的六種常見應用【類型】一、利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況1.已知方程x2-2x-m=0沒有實數(shù)根,其中m是實數(shù),試判斷方程x2+2mx+m(m+1)=0有無實數(shù)根.2.已知關于x的方程x2+2mx+m2-1=0.(1)不解方程,判別方程根的情況;(2)若方程有一個根為3,求m的值.【類型】二、利用根的判別式求字母的值或取值范圍3.已知關于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,(1)證明:不論m為何值,方程總有實數(shù)根;(2)m為何整數(shù)時,方程有兩個不相等的正整數(shù)根.【類型】三、利用根的判別式求代數(shù)式的值4.已知關于x的方程x2+(2m-1)x+4=0有兩個相等的實數(shù)根,求eq\f(m-1,(2m-1)2+2m)的值.【類型】四、利用根的判別式解與函數(shù)綜合問題5.y=eq\r(k-1)x+1是關于x的一次函數(shù),則一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情況為()A.沒有實數(shù)根B.有一個實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根D.有兩個相等的實數(shù)根【類型】五、利用根的判別式確定三角形的形狀6.已知a,b,c是三角形的三邊長,且關于x的一元二次方程(a+c)x2+bx+eq\f(a-c,4)=0有兩個相等的實數(shù)根,試判斷此三角形的形狀.【類型】六、利用根的判別式探求菱形條件7.已知?ABCD的兩邊AB,AD的長是關于x的方程x2-mx+eq\f(m,2)-eq\f(1,4)=0的兩個根.(1)m為何值時,?ABCD是菱形?并求出菱形的邊長.(2)若AB的長為2,求?ABCD的周長是多少?技巧3:根與系數(shù)的關系的四種應用類型【類型】一、利用根與系數(shù)的關系求代數(shù)式的值1.設方程4x2-7x-3=0的兩根為x1,x2,不解方程求下列各式的值.(1)(x1-3)(x2-3);(2)eq\f(x2,x1+1)+eq\f(x1,x2+1);(3)x1-x2.【類型】二、利用根與系數(shù)的關系構造一元二次方程2.構造一個一元二次方程,使它的兩根分別是方程5x2+2x-3=0各根的負倒數(shù).【類型】三、利用根與系數(shù)的關系求字母的值或取值范圍3.已知關于x的一元二次方程x2-4x+m=0.(1)若方程有實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍;(2)若方程兩實數(shù)根分別為x1,x2,且滿足5x1+2x2=2,求實數(shù)m的值.【類型】四、巧用根與系數(shù)的關系確定字母系數(shù)的存在性4.已知x1,x2是關于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的兩個實數(shù)根,是否存在實數(shù)k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-eq\f(3,2)成立?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.【題型講解】【題型】一、一元二次方程的概念例1、若方程是一元二次方程,則m的值為()A.0 B.±1 C.1 D.–1【題型】二、解一元二次方程:直接開平方法例2、解下列方程:(1);(2).【題型】三、解一元二次方程:配方法例3、用配方法解方程.(1);(2).【題型】四、解一元二次方程:公式法例4、解方程【題型】五、解一元二次方程:因式分解法例5、用因式分解法解下列方程:(1);(2).一元二次方程(達標訓練)一、單選題1.(2022·四川瀘州·一模)方程x2﹣6x=0的解是()A.x=6 B.x=0 C.x1=6,x2=0 D.x1=﹣6,x2=02.(2022·福建省福州第十九中學模擬預測)一元二次方程在用求根公式求解時,a,b,c的值是(
)A.3,―1,―2 B.―2,―1,3 C.―2,3,1 D.―2,3,―13.(2022·浙江溫州·一模)用配方法解方程時,配方結果正確的是(
)A. B. C. D.4.(2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測)方程的兩個根為(
)A.=﹣3,=3 B.=﹣9,=9 C.=﹣1,=9 D.=﹣9,=15.(2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測)關于x的一元二次方程a﹣5ax+4=0,有一個根為1.則a的值為(
)A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.不能確定二、填空題6.(2022·江蘇·南京市花園中學模擬預測)設,是關于x的方程的兩個根,,則_____.7.(2022·廣東·樂昌市新時代學校二模)比亞迪汽車銷售公司3月份銷售新上市一種新能源汽車8輛,由于該型汽車既環(huán)保,又經(jīng)濟,銷量快速上升,5月份該公司銷售該型汽車達18輛.設該公司銷售該型汽車4月份和5月份的平均增長率為x,可列方程為:_________.三、解答題8.(2022·四川南充·一模)已知關于x的方程:x2+(m﹣2)x﹣m=0.(1)求證:無論m取何實數(shù),方程總有兩個不相等的實數(shù)根.(2)設非0實數(shù)m,n是方程的兩根,試求m﹣n的值.一元二次方程(提升測評)一、單選題1.(2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學校三模)關于的一元二次方程兩個相等的實數(shù)根,則關于的一元二次方程的根的情況是(
)A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.無法判定2.(2022·云南·昆明八中模擬預測)下列一元二次方程中,沒有實數(shù)根的是(
)A. B. C. D.3.(2022·貴州·仁懷市教育研究室三模)若和是關于x的方程的兩根,且,則b的值是(
)A.-3 B.3 C.-5 D.54.(2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測)關于x的方程有兩個解,則k的取值范圍是()A.k>﹣9 B.k≤3 C.﹣9<k<6 D.k5.(2022·重慶巴蜀中學一模)對于二次三項式(m為常數(shù)),下列結論正確的個數(shù)有(
)①當時,若,則②無論x取任何實數(shù),等式都恒成立,則③若,,則
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