2021江蘇高考數(shù)學壓軸題的分析與解 (一)

江蘇卷

11.若函數(shù)/(x)=2f—+在(0+8)內(nèi)有且只有一個零點，則/(X)在［—1,1］上的最大值與最小值

的和為▲.

解析：-3

函數(shù)/(%)導函數(shù)為

f\x)=6x?-2ax=2x(3x-a),

情況一：。40.此時/(x)在(0,+8)遞增，又f(0)=1,所以/(x)在(0,+8)無零點，舍去.

情況二：“>0.此時/(幻在(0,孑遞減，在(g+8)遞增.

在(0,+oo)上，在x=￥處取得極小值

3

a2a3a327-，

/(-)=———+1=---------=0

327927

a=3

此時

/(X)-2X3-3X2+1,r(x)=6x(x-1),xe［-l,l］

/(x)在［-1,0］遞增，在［0』］遞減，/(-1)=-4,/(1)=0.

可得

/(U(0)=l，/MKT)一

/Wmax+f(X)min=-3

12.在平面直角坐標系xOx中，A為直線/:丫=加上在第一象限內(nèi)的點，5(5,0),以48為直徑的圓C與直

線/交于另一點D.若ABCD^O,則點A的橫坐標為▲

解析：3

方法一：幾何法.

由A8?CZ)=(),AC=DC=BC,可得△AOB為等腰直角三角形.

因為

tanNDOB=2,OB=5

所以

0M=」MB=」08=1,DM=20M=2

45

構(gòu)造如圖所示一線三垂直，有

叢AND義:叢DMB

AN=DM=2

XA=OM+AN=3

方法二：向量法.

+5

設(shè)A(a,2a),a>0,D(b,2b),b豐a,則,a)

2

由AB?CD=0和AO?8。=0,得

旃(5-a)(b--2a(2b-a)=0

[ADBD=(b-a)(b-5)+4b(b-a)=5(.b-l)(b-a)=0

解得

xA=a=3

方法三：解析法.

設(shè)A(a,2a),a>0,則cdtja)

2

圓C方程

〃+522(〃-5)22

(x-)+(y-a)=+a

24

與y=2x聯(lián)立，得

%=1,ZX1,2)

,,。+55(a—3)(a+1)

ABCD=(5-a)(l-----)一2〃(2—。)=-------------=0

22

=4=3

13.在aABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,4c,ZABC=120°,NA8C的平分線交AC與點D,且

BD=1，則4〃+c的最小值為A_.

解析：9

方法一：正余弦定理.

△48。和△CB。中，正弦定理得

A。_cDC_a

sin60°sin。sin60°sin。

所以

AH

—二；C（角平分線分線段成比例）

DCa

△A3。和△。?￡）中，余弦定理得

222

AD=c+l-c9CD=CT+1-a

所以

C2+1-C_C2

a1+\-aa2

即

(Q-c)(a+c)=ac{a-c)

恒成立.

可得

4tz+c=(4?+c)(J_+l.)=5+￡+lfL>5+2口.故=9

acacvc

當且僅當f=絲即c=2a時取等

ac

方法二：面積法.

由△ABC面積可得

Lacsin120°=sin60°+」csin60°

222

a-hc=ac,(a-l)(c-1)=1

4〃+c=4(a-l)+(c-l)+5>4g-l)(c-l)+5=9

c

當且僅當』=蘭4Q即c=2?時取等

方法三：幾何法1.

如圖作垂線，可得

a_1

tanZCDM=----=—_L

出忑＞

T

2a+2c—2

tan(ZCDM+ZCDN)二----W=Ms+c-l)

i4ac—2"2c+l1+。+c—lac

1—

3

a+c=ac

同上可求.

方法四：解析法.

建立如圖所示坐標系，則

吟當孚多加,。）

c-a

于是以B=直線AB的方程為

招(c+a)

y=ca.(X+季a)

2招(c+a)2

又直線AB經(jīng)過點D，有

\-a=c-aJia

24(c+a)2

a+c=ac

同上可求.

方法五：向量法.

由角平分線分線段成比例，得

~cb^-益

a

向量共線定理

而=，.瓦+:說

a+ca+c

對上式進行平方得

(a+

a+c=ac

同上可求.

方法六：幾何法2.

構(gòu)造如圖所示圖形，則

J_c-l

ac

a+c-ac

同上可求.

14.已知集合A={x|x=2"-l,”eN*},={A-|x=2M,neN|.將AUB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)

成一個數(shù)列{??}.記S“為數(shù)列{/}的前n項和，則使得S?>12a,l+l成立的〃的最小值為▲.

解析：27

由S?>12??+,可知,〃>24且a6史B.

當

2"'<2(〃+1-m)-1<2"i(即2-I+m<n<—__zl+m)

22

此時25且

*2*4m+l

an+-2(/?+1-m)-I-2n-m+i,Sm)+2-2

由S.>12a,用得

(n-m)2+2n,+l-2>12(2n+l)

tr-2(m+12)〃+(M+2叱】+24加一14)>0

若機=5,解①和②，得〃>27,成立.

所以〃min=27?

此題亦可先將機=5帶入得

2

%+=2”-9,St-(?-5)+62

從而求出〃min=27.

18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點/；),焦點「(中,0)，4序0),圓。的直徑為FF.

(1)求橢圓C及圓。的方程；

(2)設(shè)直線/與圓。相切于第一象限內(nèi)的點P.

①若直線/與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；

②直線/與橢圓C交于48兩點.若△OAB的面積為這求直線/的方程.

7

(第18題)

解析：

2

(1)橢圓C的方程：—+f1

4'

圓。的方程：x2+y2=3

(2)①

方法一：利用一元二次方程求解.

直線/存在斜率，設(shè)直線/方程為

y-kx+m(k<0,m>0)

與橢圓方程聯(lián)立，相切△=(),有。2%2+6=加2,則

4k2+1=m2

與圓方程聯(lián)立，相切△=(),則

3公+3=療

解得

k—f,m—3

所以直線/方程為

y=-近x+3

與圓方程聯(lián)立得切點P(&1)

方法二：利用切線方程求解.

設(shè)直線/與圓切點尸(與，%)(%)>0，%>0)，則直線/方程為

*0%+>0>=3

設(shè)直線/與橢圓切點Q(X”M),則直線/方程為

x,x+4y,y=4

直線/方程是相同的，所以

包=出三3

4M4

即

41

x=_x，y=_y

,B0-'30

由于點。(匹,口)在橢圓上，有

龍：+432=4

帶入得

4fy2

_sr1-'F]

99

又點「(兩，%)在圓上，有

『+/=3

解得

x（）=d2,y0=1

所以切點P屹1）

②設(shè)直線/方程為

y=kx+m(k<0,m>0)

與橢圓方程聯(lián)立得

(4k2+l)x2+8kmjc+4m2-4=0

設(shè)與橢圓的兩交點

A(x],kx、+ni),A(x2,kx2+m)

由①知與圓相切，與橢圓相交，有

3女2+3=m2

46+1>rrr

解得

k<「〃z=j3(l+i)

A=16(4Z:2+1-77Z2)

方法一：利用三角形底高公式求解.

AnI\l，2.Nk+1-m?W+l

A』對"+1=4〃+]

原點0到直線/距離

,m

a=.

VP+i

工期“病?加?機=2g2羋2+1)

24k+1顯?+i4%+17

解得

k—§,m—3J2

所以直線/方程為

y=-不x+

方法二：利用三角形寬高公式求解.

將x=0帶入直線/方程，得0(0,〃。

S尤-A-OD=I4&2+1-?28-2.很?+1)

△A°B2112廠23+1止+1

解得

k=',m=3,tj2

所以直線/方程為

y=-木x+3^2

19.記/(x),g'(x)分別為函數(shù)/(x),g(x)的導函數(shù).若存在x()wR,滿足/(X())=8?,)且:(々)=8/0),則

稱與為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”.

(1)證明：函數(shù)八萬)=欠與8。)=爐+2*_2不存在“S點”；

(2)若函數(shù)/(幻=以2一1與g(x)=inx存在“S點”,求實數(shù)。的值；

(3)己知函數(shù)/(幻=-彳2+。，g(x)=4-.對任意。>0,判斷是否存在6>0,使函數(shù)/(x)與g(x)在區(qū)

間(0,+8)內(nèi)存在“S點”，并說明理由.

解析：

①對/(x)和g(?求導，得

尸(x)=l,g，(x)=2x+2

因為f(^o)=g(x。)且fr(xo)=g'(Xo)，得

[x=x2+2x-2

JO00

[1=2x0+2

無解，所以f(x)與g(x)不存在“S點”

②對/(x)和g(x)求導，得

/'(九)=2ax,g'(龍)=1

X

因為/(々)=g(x())且((入0)=g'(xo)＞得

ax2-1?=iInx

oo

c1

2ar0=——

xo

解得

e

a三

2

③對/(x)和g(x)求導，得

''bex(x-\)

/(x)=-2x,g(x)=,

XT

因為/(Xo)=g(Xo)且/'Qo)=g'(x。)，(々〉0)，得

①

因為匕>0,由②得0</<1

將①帶入②可得

(Q-.V)(X—1)

-2x0=_□?__Q_

分離變量

-2fx3-八

〃一Uo----Q(3)

ax-^l°X-1

00

構(gòu)造函數(shù)

—3x^x'—3x?—cix+ci

〃(x)=-------a=-------------(o<x<l,4Z>0)

x-\X~1

構(gòu)造函數(shù)

m(x)=d-3d-奴+a(a>0)

由于

m(0)=>0,m(l)=-2<0

所以機(x)在(0,1)上有零點

所以人。)在(0,1)上有零點

即對于任意。＞0,總存在0＜曲＜1和6＞0,使得①②③成立，函數(shù)/(尤)與g(x)在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)存在“S

點”.

20.設(shè)｛為｝是首項為q,公差為d的等差數(shù)列，出“｝是首項為仇，公比為q的等比數(shù)歹人

(1)設(shè)4=0,仇=1聞=2,若|4,-2區(qū)仇對〃=1,234均成立，求d的取值范圍:

⑵若才0,，”eN*,ge(l,Q＜l，證明：存在"eR,使得|丁〃后分對〃=2,3,…，燒+1均成立，并

求d的取值范圍(用表示).

解析:

⑴將〃=1,2,3,4分別帶入|a“-aJW瓦

p-ll<1

\d-\<\75

,L,,，解得

\2d-^<132

3J-8|<1

(2)由a=〃>0,，"€N*,qe(l/2］可得

a=b+Qt-l)d,b=bcf'

n1n1

帶入瓦,有

卜+(n-1)J-b/b

即

b(/-2)bZ

-J--------<d<^—

n-1n-1

對”=2,3,…,m+1均成立

比較「2)與運二大小

n-1n-\

乎i-2)”2^-2)，》,i

-1--------<—1----------<0v」<-^--------

n-1n-1n-1n-1

所以存在JeR,使得|