2022年山東省臨沂市羅莊區(qū)實驗中學高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析

2022年山東省臨沂市羅莊區(qū)實驗中學高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下表顯示出函數(shù)值隨自變量值變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是

(

)4567891015171921232527A．一次函數(shù)模型

B．二次函數(shù)模型

C．指數(shù)函數(shù)模型

D．對數(shù)函數(shù)模型參考答案：A2.如果橢圓的焦點為和，離心率為，過點做直線交橢圓于A、B兩點，那么的周長是（

）A、3

B、6

C、12

D、24參考答案：B3.設z1＝2＋bi，z2＝a＋i，當z1＋z2＝0時，復數(shù)a＋bi為()A．1＋iB．2＋iC．3

D．－2－i參考答案：D略4.設函數(shù)

，若，則當時，有（

）A

BC

D與的大小不確定參考答案：A5.已知a，b，c∈R，則下列推證中正確的是（）A．a(chǎn)＞b?am2＞bm2 B．C． D．參考答案：C【考點】不等關系與不等式．【分析】根據(jù)不等式兩邊同乘以0、負數(shù)判斷出A、B不對，再由不等式兩邊同乘以正數(shù)不等號方向不變判斷C對、D不對．【解答】解：A、當m=0時，有am2=bm2，故A不對；B、當c＜0時，有a＜b，故B不對；C、∵a3＞b3，ab＞0，∴不等式兩邊同乘以（ab）3的倒數(shù)，得到，故C正確；D、∵a2＞b2，ab＞0，∴不等式兩邊同乘以（ab）2的倒數(shù)，得到，故D不對．故選C．6.若為全體正實數(shù)集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．

B． C．

D．參考答案：D7.下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝sin2x

B．y＝x3－xC．y＝xex

D．y＝－x＋ln(1＋x)參考答案：C對于C，有y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0.8.已知函數(shù).將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則單調(diào)遞增區(qū)間為A．

B．C．

D．參考答案：C略9.已知平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點P在△COD的內(nèi)部（不含邊界）．若=x+y，則實數(shù)對（x，y）可以是（）A．（，） B．（，﹣） C．（，） D．（，）參考答案：D【分析】結(jié)合圖形，得出P點在OD上時，x+y取得最小值，P點在點C處時，x+y取得最大值．即可選取答案【解答】解：如圖所示，平行四邊形ABCD中，點P在△COD的內(nèi)部（不含邊界），當P點在OD上時，x+y=1，是最小值；當P點在點C處時，x+y=2，是最大值；∴x+y的取值范圍是（1，2）．故選：D．10.在中，已知，，則的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x，y滿足，則的最大值為

．參考答案：5【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識，先畫出約束條件，的可行域，然后分析的幾何意義，結(jié)合圖象，用數(shù)形結(jié)合的思想，即可求解．【解答】解：滿足約束條件的可行域：如下圖所示：又∵的表示的是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率當x=1，y=5時，有最大值5．給答案為：5．12.設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=；類比這個結(jié)論可知：四面體P﹣ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P﹣ABC的體積為V，則r=

．參考答案：

【考點】類比推理．【分析】根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．【解答】解：設四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為（S1+S2+S3+S4）r∴r=．故答案為：．13.展開式中，的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）參考答案：90【分析】寫出二項展開式的通項公式，令的指數(shù)為2，可求得項是第幾項，從而求得系數(shù)．【詳解】展開式通項為，令，則，∴的系數(shù)為．故答案為90．【點睛】本題考查二項式定理，考查二項展開式通項公式．解題時二項展開式的通項公式，然后令x的指數(shù)為所求項的指數(shù)，從而可求得，得出結(jié)論．14.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是_________.參考答案：略15.已知變量滿足關系式，，則的最大值是

.參考答案：2516.在等差數(shù)列中，已知則

.參考答案：17.等比數(shù)列中，，，且、、成等差數(shù)列，則=__________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為側(cè)棱PA的中點．（1）求證：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD=AD，求證：平面BDE⊥平面PAB．參考答案：解答：證明：（1）連結(jié)AC，交BD于O，連結(jié)OE．因為ABCD是平行四邊形，所以OA=OC．…（2分）因為E為側(cè)棱PA的中點，所以OE∥PC．…（4分）因為PC?平面BDE，OE?平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（2）因為E為PA中點，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）因為PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．（9分）因為OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE．…（10分）因為PA?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（12分）19.已知函數(shù)f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，求實數(shù)a的值；（2）設h（x）=f（x）+g（x），若對任意兩個不等的正數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若在上存在一點x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；6K：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）求出函數(shù)y的導數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得a的方程，解得a即可；（2）由題意可得即為＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，求出導數(shù)，令導數(shù)大于等于0，分離參數(shù)a，由二次函數(shù)的最值，即可得到a的范圍；（3）原不等式等價于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，設m（x）=x﹣alnx+，求得它的導數(shù)m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三種情況加以討論，分別解關于a的不等式得到a的取值，最后綜上所述可得實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的導數(shù)為x﹣，曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線斜率為k=1﹣a，由切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，對任意兩個不等的正數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，即為＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，則a≥1，即a的取值范圍是上存在一點x0，使得m（x0）＜0．對m（x）求導數(shù)，得m′（x）=1﹣﹣==，因為x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0時，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1時，m（x）在1+a處取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因為1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③當1+a＞e，即a＞e﹣1時，m（x）在上單調(diào)遞減，只需m（e）＜0，得a＞，又因為e﹣1﹣=＜0，則a＞．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【點評】本題給出二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，求切線的方程和函數(shù)的單調(diào)性的運用，著重考查了導數(shù)的公式和運算法則、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)在最大最小值問題中的應用等知識，屬于中檔題．20.以下莖葉圖記錄了甲組3名同學寒假假期中去圖書館學習的次數(shù)和乙組4名同學寒假假期中去圖書館學習的次數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以表示.（Ⅰ）如果，求乙組同學去圖書館學習次數(shù)的平均數(shù)和方差；（Ⅱ）如果，從學習次數(shù)大于8的學生中選兩名同學，求選出的兩名同學恰好分別在兩個圖書館學習且學習的次數(shù)和大于20的概率．參考答案：解：（Ⅰ）當x=7時，由莖葉圖可知，乙組同學去圖書館學習次數(shù)是：7，8，9，12，所以平均數(shù)為

……………3分方差為

……………6分（Ⅱ）記甲組3名同學為A1，A2，A3，他們?nèi)D書館學習次數(shù)依次為9，12，11；乙組4名同學為B1，B2，B3，B4，他們?nèi)D書館學習次數(shù)依次為9，8，9，12；從學習次數(shù)大于8的學生中人選兩名學生，所有可能的結(jié)果有15個，它們是：A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B3，A2B4，A3B1，A3B3，A3B4，B1B3，B1B4，B3B4.

……………9分用C表示：“選出的兩名同學恰好在兩個圖書館學習且學習的次數(shù)和大于20”這一事件，則C中的結(jié)果有5個，它們是：A1B4，A2B4，A2B3，A2B1，A3B4，

……………11分選出的兩名同學恰好分別在兩個圖書館學習且學習的次數(shù)和大于20概率為

……………12分略21.（1）已知：，求證：；（2）已知：，求證：.參考答案：（1）不妨令，則，設，則故在上是單調(diào)增加的，因此，，故.即：.

……………………6分

（2）【方法一】由（1）知，即，

令，并相加得

即得：

…………12分【方法二——數(shù)學歸納法】證明：①當時，，即左邊右邊，命題成立；

②假設當（）時，命題成立，

即成立，

當時

右邊=

由（1）知：令，有，即

因此有：左邊=

故，左邊右邊，

即，當時，命題成立.

綜上①②，當，成立.22.已知z∈C，z+2i和都是實數(shù)．（1）求復數(shù)z；（2）若復數(shù)（z+ai）2在復平面上對應的點在第四象限，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】A4：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；A2：復數(shù)的基本概念．【分析】（1）化簡等式，利用復數(shù)為實數(shù)的條件求出a，b的值，即得復數(shù)z．（2）化簡式子，利用復數(shù)與復平面內(nèi)對應點之