2022年上海交大附中高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2022年上海交大附中高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是()A．120

B．720C．1440

D．5040參考答案：B2.數(shù)列滿足,當(dāng)時(shí),,則方程的根的個(gè)數(shù)為 （）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C3.復(fù)數(shù)的虛部是

（

）參考答案：B略4.已知M,N是離心率為2的雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線，的斜率分別為，，，則的取值范圍為（

）A.[6,+∞) B.(－∞,－6]∪[6,+∞)C. D.參考答案：B【分析】因?yàn)镸,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以設(shè)其坐標(biāo)，然后再設(shè)P坐標(biāo)，將表示出來(lái).做差得，即有，最后得到關(guān)于的函數(shù)，求得值域.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率，所以有，故雙曲線方程即為.設(shè)M,N,P的坐標(biāo)分別是,則，并且做差得，即有，于是有因?yàn)榈娜≈捣秶侨w實(shí)數(shù)集，所以或，即的取值范圍是，故選B.5.過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線，則的范圍為（

）A.或

B.C.或

D.或參考答案：C

6.若函數(shù)的遞減區(qū)間為（，），則的取值范圍是（）A．B．

C．D．參考答案：D7.P是橢圓+=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=，則△F1PF2的面積為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)橢圓的方程求得c，進(jìn)而求得|F1F2|，設(shè)出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2的值，最后利用三角形面積公式求解．【解答】解：∵a=4，b=3∴c=．設(shè)|PF1|=t1，|PF2|=t2，則由橢圓的定義可得：t1+t2=8①在△F1PF2中∠F1PF2=60°，所以t12+t22﹣2t1t2?cos60°=28②，由①2﹣②得t1t2=12，所以S△F1PF2=t1t2?sin60°=×12×=3，故選：B．8.直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA=90°，點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BD1與AF1所成角的余弦值．【解答】解：∵直三棱柱A1B1C1﹣ABC，∠BCA=90°，∴以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，∴設(shè)BC=CA=CC1=2，則B（0，20），D1（1，1，2），A（2，0，0），F(xiàn)1（1，0，2），=（1，﹣1，2），=（﹣1，0，2），設(shè)BD1與AF1所成角為θ，則cosθ===．∴BD1與AF1所成角的余弦值為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．9.下列命題錯(cuò)誤的是A．已知直線，且，則B．已知直線平面，且直線平面，則C．已知直線平面，過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作，則D．過(guò)平面外一點(diǎn)可以做無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行，并且這些直線都在同一平面內(nèi)參考答案：B10.已知向量，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值是（）A．1

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：由向量，，得，；由互相垂直，得，解得．故選D．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，則a的值為．參考答案：2考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：計(jì)算題．分析：切點(diǎn)在切線上也在曲線上得到切點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩方程；又曲線切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線斜率得第三個(gè)方程．三個(gè)方程聯(lián)立即可求出a的值．解答：解：設(shè)切點(diǎn)P（x0，y0），則y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵切線方程y=x+1的斜率為1，即，∴x0+a=1，∴y0=0，x0=﹣1，∴a=2．故答案為：2點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生在解方程時(shí)注意利用消元的數(shù)學(xué)思想．12.一個(gè)圓的圓心在直線上，且與x軸的正半軸相切，被y軸截得的弦長(zhǎng)為，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

▲

．參考答案：13.函數(shù)則的值是

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．參考答案：

略14.某大學(xué)有本科生12000人，碩士研究生1000人，博士研究生200人．現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，如果應(yīng)從博士研究生中抽取20人，那么n=

人．參考答案：132015.已知點(diǎn)A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一條直線上，則a=．參考答案：﹣8【考點(diǎn)】直線的斜率．【分析】由題意和直線的斜率公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：由題意可得AC的斜率等于AB的斜率，∴=，解得a=﹣8故答案為：﹣816.空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個(gè)球面的面積是． 參考答案：3πa2【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】PA、PB、PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C的球面即為棱長(zhǎng)為a的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對(duì)角線，求出對(duì)角線長(zhǎng)，即可求出球的表面積． 【解答】解：空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=a，則PA、PB、PC可看作是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的三條棱，所以過(guò)空間四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C的球面即為棱長(zhǎng)為a的正方體的外接球，球的直徑即是正方體的對(duì)角線，長(zhǎng)為，所以這個(gè)球面的面積． 故答案為：3πa2 【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接體知識(shí)，球的表面積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，分析出，正方體的對(duì)角線就是球的直徑是解好本題的關(guān)鍵所在． 17.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，，則c=______.參考答案：2【分析】直接利用余弦定理得到答案.【詳解】，，（舍去）故答案：2【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知二次函數(shù)滿足條件:且方程有等根

1）求的解析式

2)是否存在實(shí)數(shù)使定義域和值域分別為？存在求出

不存在說(shuō)明理由參考答案：（1）（2）。解析=的對(duì)稱軸為所以設(shè)存在使

19.(本小題滿分12分)如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，其中，底面，是的中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）若平面，求二面角的余弦值．參考答案：(1)法1：取PD中點(diǎn)F，連AF，F(xiàn)E，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，∴FE∥DC，且FE=DC.又AB∥DC且AB=DC；∴FE∥AB,且FE=AB,∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴AF∥BE,平面,AF平面,∴//平面…5分法2：設(shè)，建立如圖的空間坐標(biāo)系，

，,，.（1），，所以,平面，平面.

（2）平面，，即，，即.在平面和平面中，，設(shè)面的一個(gè)法向量為=(x,y,z),由×=0，且×=0；得取y=1,得z=-1,x=2,∴又平面的一個(gè)法向量為；cos<,>==-=-所以二面角的余弦值為．20.已知|x|≤2，|y|≤2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，求:（Ⅰ）當(dāng)x，y∈Z時(shí)，P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．（Ⅱ）當(dāng)x，y∈R時(shí)，P滿足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．參考答案：略21.對(duì)任意函數(shù)，，可按如圖所示的程序框圖構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，記由數(shù)