二次函數(shù)綜合題專(zhuān)題

2020二次函數(shù)綜合專(zhuān)題線段問(wèn)題、面積問(wèn)題、角度問(wèn)題、存在性問(wèn)題、新定義問(wèn)題

二次函數(shù)一直是中考的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，常以壓軸題形式出現(xiàn)，考查的類(lèi)型有：(1)線段問(wèn)題(2019年常州中考數(shù)學(xué)試卷第27題、2019年淮安中考數(shù)學(xué)試卷第26題、2017年南通中考數(shù)學(xué)試卷第28題)；(2)面積問(wèn)題(2019年無(wú)錫中考數(shù)學(xué)試卷第27題、2019年常州中考數(shù)學(xué)試卷第27題)；(3)角度問(wèn)題(2019年蘇州中考數(shù)學(xué)試卷第28題、2019年宿遷中考數(shù)學(xué)試卷第28題)；(4)存在性問(wèn)題(2019年鹽城中考數(shù)學(xué)試卷第28題)；(5)新定義型問(wèn)題(2019年常州中考數(shù)學(xué)試卷第28題)解讀目錄03010204線段問(wèn)題面積問(wèn)題角度問(wèn)題存在性問(wèn)題

第一部分線段問(wèn)題PART0101

[思路點(diǎn)撥](1)已知拋物線上點(diǎn)B的坐標(biāo)以及拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程，可用待定系數(shù)法求出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)首先求出AB的長(zhǎng)，結(jié)合題意，即可得出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再代入拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．(3)根據(jù)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，易求直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．線段MN的長(zhǎng)實(shí)際是直線CD與拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差，可將x＝t代入兩個(gè)函數(shù)的解析式中，得出的兩個(gè)函數(shù)值的差即為l，由此可求出l與t之間的函數(shù)解析式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出l取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．[方法歸納]

(1)確定拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式時(shí)需根據(jù)條件選擇合適的解析式，將圖象上的點(diǎn)代入拋物線解析式中得到方程組求解即可；(2)要求平行于坐標(biāo)軸的線段的最大值，只需用含有未知數(shù)x的二次函數(shù)解析式表示出該線段．如果平行于y軸，就用高處的縱坐標(biāo)減去低處的縱坐標(biāo)得出線段的關(guān)系式；如果平行于x軸，就用右邊的橫坐標(biāo)減去左邊的橫坐標(biāo)得出線段的關(guān)系式，最后用配方法或公式法求出線段的最值．

(2019·賀州中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)．(1)求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

(3)若P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，求PD長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第二部分面積問(wèn)題PART0202類(lèi)型2面積問(wèn)題例2(2019·通遼中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)為M(1，9)，經(jīng)過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)A(－3，－7)和B(3，m)的直線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)C.(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式和直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)在拋物線上A，M兩點(diǎn)之間的部分(不包含A，M兩點(diǎn))，是否存在點(diǎn)D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．思路點(diǎn)撥](1)可利用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)的解析式．(2)分別用含x的代數(shù)式表示△DAC與△DCM的面積，再構(gòu)造方程解決問(wèn)題．

2.(2019·吉林中考)如圖，拋物線y＝(x－1)2＋k與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)

B的左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C(0，－3)，P為拋物線上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為m，且m＞0.(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)點(diǎn)P位于x軸下方時(shí)，求△ABP面積的最大值．(3)設(shè)此拋物線在點(diǎn)C與點(diǎn)P之間的部分(含點(diǎn)C和點(diǎn)P)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之

差為h.①求h關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；②當(dāng)h＝9時(shí)，直接寫(xiě)出△BCP的面積．

第三部分角度問(wèn)題PART0303類(lèi)型3角度問(wèn)題

例3(2019·崇川區(qū)模擬)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于O(0，0)，A(8，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為4.(1)直接寫(xiě)出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)若C是拋物線上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足2BC2＝OA2＋2OC2，試判斷△OBC的形狀，并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，若拋物線上存在一點(diǎn)D，使得∠OCD＝∠AOC－∠OCA，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于O(0，0)，A(8，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為4，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)．根據(jù)2BC2＝OA2＋2OC2，易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(12，－12)，則∠AOB＝∠AOC＝45°，則∠BOC＝90°，因此△OBC是直角三角形．(3)作CE⊥x軸于點(diǎn)E.在△OBC中，tan∠OCB＝＝，可得直線上方的點(diǎn)D即為點(diǎn)B(4，4)，由點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′(－4，－4)，且OB⊥OC，可得∠OCB＝∠OCB′.求出直線B′C對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并與拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式聯(lián)立，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．[方法歸納]本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，涉及運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式、直角三角形的判定、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，與角度有關(guān)的問(wèn)題往往需要將角度合理轉(zhuǎn)化，借助銳角三角函數(shù)或相似三角形構(gòu)建方程求解．用銳角三角函數(shù)解題時(shí)需注意前提條件：在直角三角形中．

3.(2019·蘇州中考)如圖①，拋物線y＝－x2＋(a＋1)x－a與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.已知△ABC的面積是6.(1)求a的值．(2)求△ABC外接圓圓心的坐標(biāo)．(3)如圖②，P是該拋物線上一點(diǎn)，Q為射線CA上一點(diǎn)，且P，Q兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，Q，A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點(diǎn)．若點(diǎn)P到x軸的距離為d，△QPB的面積為2d，且∠PAQ＝∠AQB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

第四部分存在性問(wèn)題PART0404

[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，連接BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．(3)分點(diǎn)N在x軸上方或下方兩種情況進(jìn)行討論．[方法歸納]本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)、全等三角形等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是：(1)靈活利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；(2)利用“軸對(duì)稱(chēng)”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”求線段和的最小值；(3)平行四邊形的存在性問(wèn)題中要合理分類(lèi)解決問(wèn)題，如本題中拋物線上一點(diǎn)N需分在x軸上方或x軸下方兩種情形．

4.(2019·鹽城中考)如圖，二次函數(shù)y＝k(x－1)2＋2的圖像與一次函數(shù)y＝kx－

k＋2的圖像交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線AB分別與x軸，y軸交于C，

D兩點(diǎn)，其中k＜0.(1)求A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)若△OAB是以O(shè)A為腰的等腰三角形，求k的值．(3)若二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，是否存在實(shí)數(shù)k，使得∠ODC＝

2∠BEC？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第五部分新定義問(wèn)題PART0505

[方法歸納]本題是二次函數(shù)的新定義型題，解決新定義問(wèn)題要經(jīng)歷“提取信息→加工信息→轉(zhuǎn)化遷移→數(shù)學(xué)建模→解決問(wèn)題”這樣幾個(gè)過(guò)程，認(rèn)真讀題獲取信息是解題的關(guān)鍵，如本題理解“帶線”“路線”等定義是解題的關(guān)鍵．

2020二次函數(shù)綜合練習(xí)（1）

2.(2018·徐州中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝－x2＋6x－5的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P，連接PA，AC，CP，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線l.(1)求點(diǎn)P，C的坐標(biāo)．(2)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使△PBQ的面積等于△PAC面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(1)∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，∴P(3，4)．令x＝0，則y＝－5，∴C(0，－5)

x=5,y=34.

(2019·眉山中考)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－5，0)和點(diǎn)B(1，0)．(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．(2)P是拋物線上A，D之間的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PG⊥y軸，交拋物線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥x軸于點(diǎn)F，當(dāng)矩形PEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．(3)如圖②，連接AD，BD，點(diǎn)M在線段AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，作∠DMN＝∠DBA，MN交線段AD于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△DMN為等腰三角形？若存在，求出AN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2020二次函數(shù)綜合練習(xí)（2）1.(2019·東營(yíng)中考)已知拋物線y＝ax2＋bx－4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(－4，0)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)如圖①，P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2.(2019·連云港中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線L1：y＝x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)C(0，－3)，與拋物線L2：y＝－x2－x＋2的一個(gè)交點(diǎn)為A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，P，Q分別是拋物線L1，L2上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線L1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(2)若以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)設(shè)R為拋物線L1上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且CA平分∠PCR.若OQ∥PR，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

-3=22+2b+c-3=cb=-2c=-3

3.

(2019·常州中考)如圖，二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋3的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，D為OC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上．(1)b＝________.(2)若點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x