浙江省嘉興八校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

.2021學(xué)年第二學(xué)期嘉興八校聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷2022年4月考生須知：全卷分試卷和答卷.試卷共6頁(yè)，有4大題，22小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的模為|z|=（）A.2 B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)模的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，故選：B2.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所?故選：C3.在中，，，，則邊長(zhǎng)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解.【詳解】由正弦定理知，，即，解得.故選：D4.水平放置的的直觀圖如圖，其中，，那么原是一個(gè)（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.三邊中只有兩邊相等等腰三角形 D.三邊互不相等的三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則求解即可.【詳解】由圖形知，在原中，，如圖，因?yàn)?，所以，，，又?為等邊三角形.故選：A5.給出下列判斷，其中正確的是（）A.若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則B.空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C.如果兩個(gè)平面相交，則它們有有限個(gè)公共點(diǎn)D.如果直線與平面平行，則與平面內(nèi)任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)、基本事實(shí)、面面相交的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，直線上存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，因此本選項(xiàng)不正確；B：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可以確定無(wú)數(shù)個(gè)平面，因此本選項(xiàng)不正確；C：因?yàn)閮蓚€(gè)平面相交于一條直線，而直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，因此本選項(xiàng)不正確；D：根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知該選項(xiàng)正確，故選：D6.在中，，則此三角形（）A.無(wú)解 B.一解 C.兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形中大邊對(duì)大角性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由正弦定理可知：，因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，或，因此此三角形有兩解，故選：C7.如圖，圓錐的底面恰是圓柱的一個(gè)底面，圓柱的兩個(gè)底面分別為同一個(gè)球的兩個(gè)截面，且圓錐的頂點(diǎn)也在該球的球面上.若球的體積為，圓柱的高為，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作球的截面大圓，得圓柱、圓錐的軸截面，由此求得圓錐的底面半徑和高．【詳解】過(guò)球心作截面，得圓柱、圓錐軸截面，如圖，球半徑為，則，，圓柱的高，則，，，圓錐體積為．故選：D．8.在銳角中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，，則面積的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理及三角恒等變換求出，再由銳角三角形求出的范圍，得出的范圍，即可由面積公式得解.【詳解】由正弦定理，，，銳角中，，，，，，.故選：B二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱(chēng)這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”.若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）為“等部復(fù)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.a=1 B.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C. D.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）為“等部復(fù)數(shù)”，可得，所以A正確；由復(fù)數(shù)，可得在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第一象限，所以B正確；由復(fù)數(shù)，可得，所以C正確；由，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知，，為空間中直線，，為空間中平面，下列命題錯(cuò)誤的是（）A若，，則B.若，，且，則C.若，，則D.若，，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】A中，若，，則或，所以A不正確；B中，如圖所示，分別過(guò)直線作平面，使得，，因?yàn)?，且，所以，同理可證：，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，所以B正確；C中，若，，則或是異面直線，所以C錯(cuò)誤；D中，若，，，則或是異面直線，所以D錯(cuò)誤.故選：ACD.11.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列的結(jié)論中正確的是（）A.若，則為直角三角形B.若，則C.若，則△ABC為銳角三角形D.若，，則△ABC的外接圓半徑是4【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，可判定A正確；由，得到，進(jìn)而得到，結(jié)合正弦定理，可判定B正確；設(shè)，利用余弦定理，求得的值，可判定C錯(cuò)誤；利用正弦定理，求得外接圓的半徑，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即因?yàn)椋傻?，所以，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由，因?yàn)樵趨^(qū)間為減函數(shù)，可得，所以，又由正弦定理，可得，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，設(shè)，其中，由余弦定理得，因?yàn)椋?，所以為鈍角三角形，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，，可得外接圓的直徑為，所以外接圓的半徑為，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.12.如圖，延長(zhǎng)正方形ABCD的邊CD至點(diǎn)E，使得DE=CD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周后回到點(diǎn)A，若，則下列判斷正確的是（）A.滿足的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn) B.滿足的點(diǎn)P有兩個(gè)C.滿足的點(diǎn)P有且只有一個(gè) D.滿足的點(diǎn)P有且只有一個(gè)【答案】BC【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算確定AB，再由點(diǎn)P所在的直線與正方形四條邊所在直線的交點(diǎn)確定CD選項(xiàng).【詳解】由題意，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，滿足，但點(diǎn)P不是BC的中點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線，由圖可知，與各有一個(gè)交點(diǎn)，故滿足的點(diǎn)P有兩個(gè)，故B正確；當(dāng)時(shí)，，，所以點(diǎn)在直線上，而直線與的交點(diǎn)為，，與直線的交點(diǎn)為，，又點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，所以只有點(diǎn)滿足要求，即滿足的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，故C正確；當(dāng)時(shí)，同C，可得點(diǎn)在直線上，可得與正方形四條邊所在直線的交點(diǎn)為，點(diǎn)符合要求，所以滿足的點(diǎn)P有2個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：BC三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.復(fù)數(shù)，則z的虛部為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】，故復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：14.已知圓錐的高為1，軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐的高為1，圓錐的軸截面為等腰直角三角形可求得底面半徑和母線長(zhǎng)，即可求得答案.【詳解】圓錐的高為1，軸截面是等腰直角三角形.則圓錐的底面直徑為2，母線長(zhǎng)為，故該圓錐的側(cè)面積為，故答案為：15.已知向量，滿足，，與的夾角為，則在上的投影向量為_(kāi)__.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，計(jì)算出投影向量.【詳解】在上的投影向量為.故答案為：16.如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用，結(jié)合已知條件可把求出，由平面向量基本定理把，用已知向量，表示，再利用數(shù)量積的運(yùn)算法則可求數(shù)量積．【詳解】，，，，即，又，則，，，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.四?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量.（1）若，求k的值；（2）若，求k的值.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】(1)已知向量、的坐標(biāo)，根據(jù)向量平行(共線)，利用其坐標(biāo)表示有，即可求k的值；(2)首先用坐標(biāo)表示向量、，再根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式有，即可求k的值【詳解】（1）由，知：，解得或（2）由題意知：又∵∴解得或【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量共線、垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題18.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù).（1）求復(fù)數(shù)；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及純虛數(shù)的概念求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，又是純虛?shù)，所以，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，即，，解?19.在以下條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線處，然后解答問(wèn)題.①②③在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知___________.（1）求角的大??；（2）若，求邊的最小值.【答案】（1）（2）最小值為4【解析】【分析】（1）選①，由余弦定理求出得解；選②，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得，即可求解；選③，由面積公式及余弦定理化簡(jiǎn)求得解；（2）由余弦定理及均值不等式求最值.【小問(wèn)1詳解】若選①，由已知條件結(jié)合余弦定理推論得：，又，所以.若選②，由已知條件結(jié)合正弦定理得：，得，又，所以.若選③，由已知條件結(jié)合面積公式?余弦定理推論得：，得，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以邊的最小值為4.20.為繪制海底地貌圖，測(cè)量海底兩點(diǎn)，間的距離，海底探測(cè)儀沿水平方向在，兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，，，，在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).海底探測(cè)儀測(cè)得，，，，同時(shí)測(cè)得海里.（1）求的長(zhǎng)度；（2）求，之間的距離.【答案】（1）（2）海里【解析】分析】（1）根據(jù)題意，求得，得到，再中，利用正弦定理，即可求解；（2）根據(jù)題意求得，在中，由余弦定理求得，再在中，利用余弦定理求得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖所示，在中，，，且海里.可得，又因，所以，由正弦定理，可得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，且，，可得，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，即（海里）所以間的距離為海里.21.如圖所示，在四棱錐中，四邊形ABCD是梯形，，，E是PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PAB；（2）若M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)，則線段AD上是否存在點(diǎn)，使平面PAB？說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）線段存在點(diǎn)N，使得平面，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定即可證明；（2）取中點(diǎn)N，利用面面平行的判定證明平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可證明平面PAB.【小問(wèn)1詳解】如下圖，取中點(diǎn)，連接，由E是PD的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，而面，面，則面.【小問(wèn)2詳解】線段上存在點(diǎn)N，使得平面.理由：取中點(diǎn)N，連接，，∵E，N分別為，的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面.由（1）知：平面，又，平面，∴平面平面.又M是上的動(dòng)點(diǎn)，平面，∴平面PAB∴線段存在點(diǎn)N，使得平面，此時(shí)N為中點(diǎn).22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，，，．（1）若，，為軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，，且與的