復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的值域與函數(shù)的單調(diào)性我們將復(fù)習(xí)函數(shù)的值域與函數(shù)的單調(diào)性兩局部容．通過本專題的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)掌握求函數(shù)值域的常用方法；掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，能用定義判定函數(shù)的單調(diào)性；會判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般方法．[知識要點(diǎn)]一．函數(shù)的值域求函數(shù)值域的方法主要有：配方法、判別式法、換元法、根本不等式法、圖象法，利用函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的反函數(shù)、利用函數(shù)的值域、利用導(dǎo)數(shù)求值域等．二．函數(shù)的單調(diào)性1．定義如果對于給定區(qū)間上的任意兩個自變量的值*1、*2，當(dāng)*1<*2時,都有f(*1)<f(*2)，則就稱f(*)在這個區(qū)間是增函數(shù)；如果對于給定區(qū)間上任意兩個自變量的值*1、*2，當(dāng)*1<*2時，都有f(*1)>f(*2)，則就稱f(*)在這個區(qū)間上是減函數(shù)．如果y=f(*)在*個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說y=f(*)在這一區(qū)間上具有嚴(yán)格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做f(*)的單調(diào)區(qū)間．注：在定義域的一點(diǎn)處，這個函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)呢？函數(shù)的單調(diào)性是就區(qū)間而言，對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題．2．函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)算規(guī)律在共同的定義域上，設(shè)“f型〞是增函數(shù)，“g型〞是減函數(shù)，則：〔1〕f1(*)+f2(*)是增函數(shù)；〔2〕g1(*)+g2(*)是減函數(shù)；〔3〕f(*)-g(*)是增函數(shù)；〔4〕g(*)-f(*)是減函數(shù)．[典型例題]一．函數(shù)值域的求法〔一〕配方法例1．解：例2求函數(shù)y=2*+2-3×4

*(-1≤*≤0)

的值域解y=2*+2-3·4*=4·2*-3·22*令2*=t例3．解：∴函數(shù)定義域?yàn)閇3,5]例4．假設(shè)實(shí)數(shù)*、y滿足*2+4y2=4*，求S=*2+y2的值域解：∵4y2=4*-*2≥0∴*2-4*≤0，即0≤*≤4∴當(dāng)*=4時，Sma*=16當(dāng)*=0時，Smin=0∴值域0≤S≤16例5．函數(shù)y=f(*)=*2+a*+3在區(qū)間*∈[-1,1]時的最小值為-3，數(shù)a的值．分析：的位置取決于a，而函數(shù)的自變量*限定在[-1，1]，因此，有三種可能性，應(yīng)分別加以討論．解：綜合〔1〕〔2〕〔3〕可得：a=±7〔二〕判別式法例6．解由得(2y-1)*2-(2y-1)*+(3y-1)=0(*)〔2〕假設(shè)2y-1≠0，則∵*∈R∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0即(2y-1)(10y-3)≤0 例7．解由得(y-1)*2+(y-4)*-(6y+3)=0(*)①假設(shè)y=1，代入〔*〕式-3*-9=0∴*=-3，此時原函數(shù)分母*2+*-6的值為0∴y≠1②假設(shè)y≠1，則∵*∈R∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0化簡可得(5y-2)2≥0，則y∈R說明：m(y)*2+n(y)*+p(y)=0的形式，再利用*∈R，由Δ≥0求出y的取值圍，但需注意兩點(diǎn)：〔1〕要分m(y)=0和m(y)≠0兩種情況討論，只有m(y)≠0時，才可利用判別式；〔2〕在求出y的取值圍后，要注意“=〞能否取到．〔三〕換元法例8．解：∴yma*=1，ymin=-23∴原函數(shù)值域

-23≤y≤1例9．解：〔四〕利用函數(shù)的單調(diào)性例10．解：例11．解：調(diào)遞減說明在利用函數(shù)的單調(diào)性求值域時，應(yīng)注意如下結(jié)論：在共同定義域上，設(shè)“f型〞是增函數(shù)，“g型〞是減函數(shù)，則〔1〕f1(*)+f2(*)是增函數(shù)；〔2〕g1(*)+g2(*)是減函數(shù)；〔3〕f(*)-g(*)是增函數(shù)；〔4〕g(*)-f(*)是減函數(shù)．但當(dāng)兩個單調(diào)函數(shù)之間的運(yùn)算符號為“*〞、“÷〞時，則不具有這種規(guī)律．〔五〕根本不等式法這種方法是利用如下的“根本不等式〞和與“復(fù)數(shù)的模〞有關(guān)的不等式求函數(shù)值域．例12．解：例13．解：∵y≥0例14．解：又y是*的連續(xù)函數(shù)〔六〕利用原函數(shù)的反函數(shù)如果一個函數(shù)的反函數(shù)存在，則反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域．例15．解y·10*+y·10-*=10*-10-*即y·102*+y=102*-1∴1+y=(1-y)·102*〔七〕利用函數(shù)的值域例16．解利用三角函數(shù)的值域來求值域，把函數(shù)式去分母變形得：ycos*-sin*=1-3y〔八〕圖象法例17．解：由圖象知：值域?yàn)閥≥3〔九〕利用導(dǎo)數(shù)求值域此種方法在本學(xué)期學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時已作了詳盡的闡述，這里就不再多說了．二．函數(shù)的單調(diào)性〔一〕函數(shù)單調(diào)性的判定1．利用函數(shù)的單調(diào)性例1假設(shè)y=(2k+1)*+b是R上的減函數(shù)，則有〔〕解：選D說明：函數(shù)y=k*+b，當(dāng)k>0時是增函數(shù)；k=0時是常函數(shù)；k<0時是減函數(shù)．例2．減區(qū)間是__________________．解：減區(qū)間是〔-∞,-1〕和〔-1,+∞〕．說明：函數(shù)的兩個單調(diào)區(qū)間之間可以用“，〞或“和〞字連接，而不能用符號“∪〞連例3函數(shù)f(*)=4*2-m*+5，當(dāng)*∈(-2,+∞)時是增函數(shù)，則m的取值圍是_________；當(dāng)*∈(-2,+∞)時是增函數(shù)，當(dāng)*∈(-∞,-2)時是減函數(shù)，則f(1)=________________.解：∴m=-16∴f(1)=4+16+5=252．利用定義判定或證明函數(shù)的單調(diào)性例4根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(*)=-*3+1在R上是減函數(shù)．證明在〔-∞,+∞〕上任取*1、*2，且*1<*2，則f(*2)-f(*1)=*13-*23=(*1-*2)(*12+*1*2+*22)∵*1<*2∴*1-*2<0當(dāng)*1*2<0時，有*12+*1*2+*22=(*1+*2)2-*1*2>0當(dāng)*1*2≥0時，有*12+*1*2+*22>0∴f(*2)-f(*1)=(*1-*2)(*12+*1*2+*22)<0即f(*2)<f(*1)所以函數(shù)f(*)=-*3+1在(-∞,+∞)上是減函數(shù)說明-f(*1)的符號；同學(xué)們也不妨應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識來解決此題．〔2〕用定義證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性，要注意步驟清晰，討論嚴(yán)密．例5．解〔1〕i〕設(shè)*1，*2∈〔0，1]，且*1<*2，∵*1-*2<0,0<*1*2<1∴f(*1)-f(*2)>0即f(*1)>f(*2)ii〕設(shè)*1，*2∈[1,+∞)，且*1<*2∴由(1)中討論可知y當(dāng)*≥0時單調(diào)遞增，當(dāng)*=0時，∴當(dāng)*=0時，y有最小值說明(2)中函數(shù)最值不能用根本不等式求，因?yàn)椴淮嬖谑沟?；同理可證：3．利用圖象討論函數(shù)的單調(diào)性例6作函數(shù)f(*)=|*2-1|+*的圖象，并根據(jù)圖象討論函數(shù)的單調(diào)性．解由圖象，〔二〕復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例7．解∵-*2-2*+3≥0∴*2+2*-3≤0∴(*-1)(*+3)≤0∴-3≤*≤1則當(dāng)*∈[-3,-1]時，u=-*2-2*+3單調(diào)遞增當(dāng)*∈[-1,1]時，u=-*2-2*+3單調(diào)遞減例8．解：例9f(*)=8+2*-*2,g(*)=f(2-*2),討論g(*)的增減性．解：g(*)=8+2(2-*2)-(2-*2)2=8+4-2*2-4+4*2-*4=-*4+2*2+8=-(*2-1)2+9g’(*)=-4*3+4*=-4*(*+1)(*-1)令

g’(*)>0，得*≤-1

或

0≤*≤1令

g’(*)<0，得-1≤*≤0或*≥1∴g(*)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1]和[0,1]g(*)的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,0]和[1,+∞)〔三〕函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例10．的取值圍．解：時，f(*)在R上單調(diào)遞增，得0<a<1．綜上，a的取值圍是a∈(0,1)∪(2,+∞)例11．區(qū)間[0,+∞)是單調(diào)函數(shù)．解：〔1〕當(dāng)a≥1時，又*1-*2<0∴f(*1)-f(*2)>0即f(*1)>f(*2)所以，當(dāng)a≥1時，函數(shù)f(*)在[0，+∞)上是單調(diào)減函數(shù)．f(*1)=1，f(*2)=1，即f(*1)=f(*2)，所以函數(shù)f(*)在區(qū)間[0,+∞)上不是單調(diào)函數(shù)．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a≥1時，函數(shù)f(*)在區(qū)間(0,+∞]上是單調(diào)函數(shù)．例12定義在R+上的函數(shù)f(*)滿足①f(2)=1，②f(*y)=f(*)+f(y)③當(dāng)*>y時，有f(*)>f(y)，如果f(*)+f(*-3)≤2，求*的取值圍．解f(*)+f(*-3)=f(*2-3*)≤2=2f(2)=f(2)+f(2)=f(4)由③知*2-3*≤4∴*2-3*-4≤0又∵f(*)定義域?yàn)?>0[練習(xí)題]值域與最值A(chǔ)組一．選擇題1．I=R，函數(shù)y=lg*的值域?yàn)镻，y=a*〔a＞0且a≠1〕的值域?yàn)镸，則以下等式中不正確的選項(xiàng)是〔〕〔A〕〔IM〕∩P=φ 〔B〕M∪P=P〔C〕P∪〔IM〕=R 〔D〕P∩M=M5．函數(shù)y=f(*)的值域是[-2，2]，則函數(shù)y=f(*+1)的值域是〔〕〔A〕[-1，3] 〔B〕[-3，1]〔C〕[-2，2]〔D〕[-1，1]二．填空題6．假設(shè)*+2y=4，*＞0，y＞0，則lg*+lgy的最大值是___________圍是_________8．f(*)=a*2–c〔a≠0〕，如果-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，則f(3)的取值圍是___________三．解答題B組一．選擇題1．函數(shù)y=-*2–2*+3〔-5≤*≤0〕的值域是〔〕〔A〕〔-∞，4] 〔B〕[3，12] 〔C〕[-12，4] 〔D〕[4，12]〔A〕〔-∞，+∞〕 〔B〕〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕〔C〕〔-∞，0〕 〔D〕〔0，+∞〕〔A〕6 〔B〕12 〔C〕16 〔D〕245．函數(shù)y=*(*–2)的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇-1，3]，則點(diǎn)〔a，b〕的軌跡是右圖的〔A〕點(diǎn)H〔1，3〕和F〔-1，1〕 〔B〕線段EF，GH〔C〕線段EH，F(xiàn)G 〔D〕線段EF，EH6．函數(shù)f(*)=2*–1，g(*)=1–*2，構(gòu)造函數(shù)F(*)，定義如下：當(dāng)|f(*)|≥g(*)時，F(xiàn)(*)=|f(*)|，當(dāng)|f(*)|＜g(*)時，F(xiàn)(*)=-g(*)，則F(*)〔〕〔A〕有最小值0，無最大值 〔B〕有最小值-1，無最大值〔C〕有最大值1，無最小值 〔D〕無最小值，也無最大值二．填空題7．實(shí)數(shù)*，y滿足*y＞0且*2y=2，則*y+*2的最小值是___________8．設(shè)*，y∈R+，*+y+*y=2，則*+y的取值圍是____________三．解答題〔1〕數(shù)b、c的值〔2〕判斷函數(shù)F(*)=lgf(*)在*∈[-1，1]上的單調(diào)性，并給出證明.13．f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足如下兩個條件：①對于任意的*、y∈R，有f(*+y)=f(*)+f(y)②當(dāng)*＞0時，f(*)＜0，且f(1)=-2求函數(shù)f(*)在[-3，3]上的最大值和最小值.函數(shù)的單調(diào)性A組一．選擇題〔共20分〕1．函數(shù)f(*)在R上是增函數(shù)，假設(shè)a+b＞0，則〔〕A．f(a)+f(b)＞f(-a)+f(-b) B．f(a)+f(b)＞f(-a)–f(-b)C．f(a)+f(-a)＞f(b)+f(-b) D．f(a)+f(-a)＞f(b)–f(-b)A．(0，2] B．〔1，2] C．〔-1，0] D．〔1，+∞〕3．假設(shè)a＞1，且a-*+logay＜a-y+loga*，則*、y之間關(guān)系為〔〕A．*＞y＞0 B．*=y＞0 C．y＞*＞0 D．不確定，與a值有關(guān)4．F(*)=f(*)–f(-*)，其中l(wèi)gf(*)+*=0，則F(*)是〔〕A．單調(diào)遞增的奇函數(shù) B．單調(diào)遞增的偶函數(shù)C．單調(diào)遞減的奇函數(shù) D．單調(diào)遞減的偶函數(shù)二．填空題〔共20分〕6．假設(shè)f(*)=(m–1)*2+m*+3〔*∈R〕是偶函數(shù)，則f(*)的增區(qū)間是___________7．f(*)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞)上單調(diào)遞增，則使f(-2)≤f(a)的實(shí)數(shù)a的取值圍是___________減區(qū)間為___________三．解答題〔共15分〕B組1．函數(shù)f(*)=log2*，且函數(shù)g(*)的圖象與f(*)的圖象關(guān)于直線y=*對稱，則函數(shù)g(*2)是〔〕 〔A〕奇函數(shù)，且在〔0，+∞〕上單調(diào)遞減 〔B〕奇函數(shù)，且在〔-∞，0〕上單調(diào)遞減〔C〕偶函數(shù)，且在〔0，+∞〕上單調(diào)遞增〔D〕偶函數(shù)，且在〔-∞，0〕上單調(diào)遞增2．f(*)=*2+cos*，則〔〕的解集是〔〕①函數(shù)y=f(*)的圖象關(guān)于y軸對稱 ②在區(qū)間〔-∞，0〕上，f(*)是減函數(shù)③函數(shù)f(*)的最小值是lg2 ④在區(qū)間〔1，+∞〕上，f(*)是增函數(shù)其中正確命題是〔〕〔A〕①② 〔B〕②④ 〔C〕①③④ 〔D〕僅③正確6．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y=f(*)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是〔2，6〕，則函數(shù)y=f(2–*)的〔〕〔A〕對稱軸為*=-2且一個單調(diào)遞減區(qū)間是〔4，8〕〔B〕對稱軸為*=-2且一個單調(diào)遞減區(qū)間是〔0，4〕〔C〕對稱軸為*=2，且一個單調(diào)遞增區(qū)間是〔4，8〕〔D〕對稱軸為*=2，且一個單調(diào)遞增區(qū)間是〔0，4〕二．填空題10．教師給出一個函數(shù)y=f(*)，四個學(xué)生甲、乙、丙、丁各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)：甲：對于*∈R，都有f(1+*)=f(1–*)；乙：在〔-∞，0]上函數(shù)遞減；丙：f(0)不是函數(shù)的最小值；丁：在〔0，+∞〕上函數(shù)遞增如果其中恰有3人說得正確，請寫出這樣一個函數(shù)：_________________三．解答題〔I〕判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明單調(diào)性.13．設(shè)函數(shù)f(*)是定義在〔-∞，+∞〕上的增函數(shù)，如果不等式f(1–a*–*2)＜f(2–a)對于任意*∈[0，1]都成立，數(shù)a的取值圍.14．f(*)=*2+c，且f(f(*))=f(*2+1)〔1〕設(shè)g(*)=f(f(*))，求g(*)的解析式并在〔-1，0〕是增函數(shù)？[練習(xí)題答案及提示]值域與最值A(chǔ)組一．選擇題1．A 2．D 3．B 4．D 5．C二．填空題6．lg2三．解答題11．用換元法故當(dāng)t=1時y有最大值4即y的值域?yàn)椤?∞，4]∴所求函數(shù)值域?yàn)椤?，1].B組一．選擇題1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．B二．填空題7．3三．解答題當(dāng)y–2≠0時，由*∈R，有△=b2–4(2–y)(c–y)≥0，即4y2–4(2+c)y+8c–b2≤0當(dāng)y–2=0時，將b=-2，c=2代入〔*〕式中，得*=0∴b=-2，c=2為所求∵|*1|≤1，|*2|≤1，*1＜*2∴|*1*2|＜1即1–*1*2＞0而*2–*1＞0∴u1–u2＞0即u1＞u2由于u＞0∴l(xiāng)gu1＞lgu2即F(*1)＞F(*2)故F(*)在*∈[-1，1]上是減函數(shù).13．設(shè)0≤*1＜*2≤3，則由條件〔1〕得f(*2)=f[(*2–*1)+*1]=f(*2–*1)+f(*1)即f(*2–*1)=f(*2)–f(*1)∵*2–*1＞0，由條件〔2〕得f(*2–*1)＜0∵f(*2)–f(*1)＜0即f(*1)＞f(*2)∴f(*)在[0，3]上是減函數(shù)又f(*)為奇函數(shù)∴f(*)在[-3，0]上也是減函數(shù)從而f(*)在[-3，3]上是減函數(shù)∴f(*)ma*=f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)–f(1+1)