2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第2章函數(shù)第1節(jié)函數(shù)及其表示 學(xué)案

第一節(jié)函數(shù)及其表示考試要求：1．了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域．2．在實際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)．3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．函數(shù)的概念函數(shù)前提設(shè)A，B是兩個非空的實數(shù)集對應(yīng)關(guān)系f：A→B如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記法函數(shù)y＝f(x)，x∈A2.函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．3．函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系．4．表示函數(shù)的常用方法：列表法、圖象法和解析法．直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象有0個或1個交點．5．分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)法則，稱這種函數(shù)為分段函數(shù)．分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個函數(shù)，求分段函數(shù)的函數(shù)值，有時要分類討論．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的畫“√”，錯的畫“×”．(1)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個函數(shù)． (×)(2)對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B. (×)(3)f(x)＝x-3+2-(4)若兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)關(guān)系相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．(√)(5)函數(shù)y＝f(x)的圖象可以是一條封閉的曲線． (×)2．設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下面的4個圖形中，能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有()A．①②③④ B．①②③C．②③ D．②C解析：①圖象不滿足函數(shù)的定義域，不正確；②③滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，正確；④不滿足函數(shù)的定義．3．已知一次函數(shù)f(x)的圖象過點(1，0)和(0，1)，則此一次函數(shù)的解析式為()A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1D解析：設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則有a+b=0所以a＝－1，b＝1，所以f(x)＝－x＋1.4．函數(shù)f(x)＝1x+1＋lnx(0，＋∞)解析：要使函數(shù)有意義，需滿足x+1≠0，x>0，5．設(shè)f(x)＝x，x∈-∞，(－∞，2]解析：因為f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，所以a的取值范圍為(－∞，2].考點1函數(shù)的定義域——基礎(chǔ)性1．(多選題)下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是()A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝x－1，g(x)＝xC．f(x)＝x2，g(x)＝D．f(x)＝-x3，g(x)＝AC解析：對于A，f(x)＝x2－2x－1的定義域為R，g(s)＝s2－2s－1的定義域為R，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；對于B，f(x)＝-x3＝－x-x的定義域為{x|x≤0}，g(x)＝x-x的定義域為{x|x≤0}，對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；對于C，f(x)＝xx＝1的定義域為{x|x≠0}，g(x)＝1x0＝1的定義域為{x|x≠0}，定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，是同一函數(shù)；對于D，f(x)＝x的定義域為R，g(x2．(2022·煙臺模擬)函數(shù)f(x)＝lnxx-1A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)B解析：要使函數(shù)f(x)有意義，應(yīng)滿足xx-1>0，x≥0，3．已知等腰三角形ABC的周長為10，底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)解析式為y＝10－2x，則函數(shù)的定義域為()A．{x|x∈R} B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜5} D．xD解析：由題意知x＞0，104．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，2]，則函數(shù)g(x)＝f2x[0，1)解析：因為y＝f(x)的定義域為[0，2]，所以，要使g(x)有意義應(yīng)滿足0≤2x≤2，x-常見函數(shù)類型的定義域(1)分式中，分母不為0.(2)偶次方根中，被開方數(shù)非負．(3)對于y＝x0，要求x≠0，負指數(shù)的底數(shù)不為0.(4)抽象函數(shù)定義域要注意對應(yīng)法則下的取值范圍.(5)對數(shù)式中，真數(shù)大于0.考點2求函數(shù)的解析式——綜合性求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx2+1x2＝x4＋1(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)定義在(－1，1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式．解：(1)(換元法)設(shè)1－sinx＝t，t∈[0，2]，則sinx＝1－t.因為f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配湊法)因為fx2+1x2＝x2+1x22(3)(待定系數(shù)法)因為f(x)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此應(yīng)有a=2，故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程組法)當x∈(－1，1)時，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)①.又－x∈(－1，1)，以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)②.由①②消去f(－x)得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x求函數(shù)解析式的3種方法待定系數(shù)法當函數(shù)的類型已經(jīng)確定時，一般用待定系數(shù)法來確定函數(shù)解析式換元法如果給定復(fù)合函數(shù)的解析式，求外函數(shù)的解析式，通常用換元法將內(nèi)函數(shù)換元，然后求出外函數(shù)的解析式解方程組法如果給定兩個關(guān)于f(x)的關(guān)系式，可以通過變量代換建立方程組，再通過解方程組求出函數(shù)解析式1．已知f2x+1＝lgx，求f(解：令2x＋1＝t，得x＝2代入得f(t)＝lg2t-1.又x故f(x)＝lg2x-1，2．已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．解：設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a+b=b+1，a+b=1，解得a＝所以f(x)＝12x2＋12x，x∈3．已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．解：由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x.②①×2－②，得3f(x)＝2x+1－2－x，即f(x)＝2x+1故f(x)＝2x+1-2-x考點3分段函數(shù)——應(yīng)用性考向1分段函數(shù)求值(1)(2022·浙江卷)已知函數(shù)f(x)＝-x2+2，x≤1，x+1x-1，x>137283＋3解析：由已知可得f12＝－122＋2＝74，f74＝74+當x≤1時，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；當x>1時，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋1x－1≤3，所以1<x≤2＋3故1≤f(x)≤3等價于－1≤x≤2＋3，所以[a，b]?[－1，2＋3]，所以b－a的最大值為3＋3.(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2+2x+2，x≤0，-x2解析：當a>0時，f(a)＝－a2<0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝2(a＝0與a＝－2舍去)；當a≤0時，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程無解．綜上可知，a＝2.求分段函數(shù)的函數(shù)值的步驟(1)確定要求值的自變量所在區(qū)間．(2)代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值，直到求出具體值為止．提醒：①自變量的值不確定時，必須分類討論．②求值時注意函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用．③出現(xiàn)f(f(a))求值形式時，應(yīng)由內(nèi)到外或由外向內(nèi)逐層求值．考向2分段函數(shù)與方程、不等式(1)(2022·安慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝x+1，-1＜x＜0，2x，x≥0.若實數(shù)a滿足A．2 B．4C．6 D．8D解析：由題意得a≥0且－1＜a－1＜0，即0＜a＜1.由f(a)＝f(a－1)，即2a＝a，解得a＝14，則f1a＝(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝12x-1，A．[0，3] B．(－∞，3]C．[0，＋∞) D．[0，1]∪[3，＋∞)A解析：依題意，當x≤1時，由f(x)＝12x-1≤2，得21-x≤2，解得當x>1時，由f(x)＝1-log12x-1≤2，得log2(x－1)≤1，即0<x－1≤2，解得1<x求參數(shù)或自變量的值(范圍)的解題思路(1)解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可．(2)如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解．1．設(shè)f(x)＝x+3，x>A．16 B．18C．21 D．24B解析：因為f(x)＝x+3，x>10，f2．已知函數(shù)f(x)＝2x，x>0，x+1，x－3解析：當a>0時，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，無實數(shù)解；當a≤0時，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，滿足條件．課時質(zhì)量評價(六)A組全考點鞏固練1．下列集合A到集合B的對應(yīng)f是函數(shù)的是()A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的數(shù)的平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的數(shù)求平方根C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D．A＝R，B＝{正實數(shù)}，f：A中的數(shù)取絕對值A(chǔ)解析：選項B，集合A中元素出現(xiàn)一對多的情況；選項C，D中均出現(xiàn)元素0無對應(yīng)元素的情況．2．若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()B解析：A中函數(shù)的定義域不是[－2，2]，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)的值域不是[0，2].3．若函數(shù)f(x)滿足f(1－lnx)＝1x，則fA．12C．1eB解析：方法一：令1－lnx＝t，則x＝e1-t.于是f(t)＝1e1-t，即f(x)＝方法二：由1－lnx＝2，得x＝1e，這時1x＝114．若f(x－1)＝x＋x＋1，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)B．f(x)＝x2－1(x≥－1)C．f(x)＝x2＋3x＋3(x≥－1)D．f(x)＝(x－1)2(x≥－1)C解析：f(x－1)＝x＋x＋1，令t＝x－1≥－1,則x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＋t＋1＋1＝t2＋3t＋3(t≥－1)，∴f(x)＝x2＋3x＋3(x≥－1)．5．已知函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)，且f(5)＝3f(3)＋4，則f(4)＝()A．16 B．8C．4 D．2B解析：因為f(x＋1)＝2f(x)，且f(5)＝3f(3)＋4，故2f(4)＝32f(4)＋4，解得f6．(2022·北京卷)函數(shù)f(x)＝1x(－∞，0)∪(0，1]解析：因為f(x)＝1x+1-x，所以1故函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，1].7．記[x]為不超過x的最大整數(shù)，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2.已知函數(shù)f(x)＝2x-1，x≥1，x3[－2，3)解析：根據(jù)[x]的定義，得f(f(－1.2))＝f(2.44)＝2[2.44]－1＝3.當x≥1時，由f(x)＝2[x]－1≤3，得[x]≤2，所以x∈[1，3)；當x<1時，由f(x)＝x2＋1≤3，得－2≤x<1.故原不等式的解集為[－2，3)．8．(2022·德州二模)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2+1，x≤0，0或e解析：因為函數(shù)f(x)＝x2+1，x≤則當a≤0時，a2＋1＝1，所以a＝0；當a＞0時，lna＝1，所以a＝e.綜上，a＝0或e.B組新高考培優(yōu)練9．設(shè)x∈R，定義符號函數(shù)sgnx＝1，A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnxD解析：當x＜0時，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝(－x)·(－1)＝x，故選D.10．(多選題)下列函數(shù)中，滿足f(18x)＝18f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋2D．f(x)＝－2xABD解析：若f(x)＝|x|，則f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，則f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，則f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不滿足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，則f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．11．設(shè)f(x)，g(x)都是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)(f·g)(x)：?x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x)).若f(x)＝x，x＞0，xA．(f·f)(x)＝f(x)B．(f·g)(x)＝f(x)C．(g·f)(x)＝g(x)D．(g·g)(x)＝g(x)A解析：對于A選項，(f·f)(x)＝f(f(x))＝fx，