上海市長寧區(qū)延安中學(xué)2024屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

上海市長寧區(qū)延安中學(xué)2024屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，動點滿足，則動點軌跡與圓位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切2．如果是定義在上的函數(shù)，使得對任意的，均有，則稱該函數(shù)是“-函數(shù)”.若函數(shù)是“-函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．若，則有（）A.最大值 B.最小值C.最大值2 D.最小值24．已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5．圓與圓的位置關(guān)系是A.相離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切6．一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線，則它與另一條()A.相交 B.異面C.相交或異面 D.平行7．不等式的解集為（）A.（-∞，1） B.（0，1）C.（，1） D.（1，+∞）8．當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中增長速度最快的是（）A. B.C. D.9．命題“，有”的否定是（）A.，使 B.，有C.，使 D.，使10．函數(shù)的最小正周期是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)同時滿足以下條件：①定義域為；②值域為；③.試寫出一個函數(shù)解析式___________.12．計算=_______________13．過正方體的頂點作直線，使與棱、、所成的角都相等，這樣的直線可以作_________條.14．已知函數(shù)則的值等于____________.15．已知，則______16．在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．化簡或計算下列各式.（1）;（2）18．某企業(yè)開發(fā)生產(chǎn)了一種大型電子產(chǎn)品，生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年固定成本為2500萬元，每生產(chǎn)百件，需另投入成本（單位：萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足30百件時，；當(dāng)年產(chǎn)量不小于30百件時，；若每件電子產(chǎn)品的售價為5萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能全部銷售完.（1）求年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少百件時，該企業(yè)在這一電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？19．已知直線（1）求證：直線過定點（2）求過(1)的定點且垂直于直線直線方程.20．已知集合，，.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍.21．已知圓C過點，且與圓M：關(guān)于直線對稱求圓C的方程；過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于點A和點B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】設(shè)動點P的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程，化簡可得點P的軌跡方程為圓，再判斷圓心距和半徑的關(guān)系即可得解.，詳解】設(shè)，由，得，整理得，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心為為圓心，為半徑的圓兩圓的圓心距為，滿足，所以兩個圓相交.故選：C.2、A【解題分析】根據(jù)題中的新定義轉(zhuǎn)化為，即，根據(jù)的值域求的取值范圍.【題目詳解】，，函數(shù)是“-函數(shù)”，對任意，均有，即，，即，又，或.故選：A【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)新定義，關(guān)鍵是讀懂新定義，并使用新定義，并能轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域解決問題.3、D【解題分析】構(gòu)造基本不等式即可得結(jié)果.【題目詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即有最小值2.故選：D.【題目點撥】本題主要考查通過構(gòu)造基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點問題分析【題目詳解】即分別畫出和的函數(shù)圖像，則兩圖像有4個交點所以，即故選：C5、D【解題分析】圓的圓心，半徑圓的圓心，半徑∴∴∴兩圓內(nèi)切故選D點睛：判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系(2)切線法：根據(jù)公切線條數(shù)確定6、C【解題分析】如下圖所示,三條直線平行,與異面,而與異面,與相交,故選C.7、A【解題分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算化簡不等式，然后求解可得.【題目詳解】因為，，所以原不等式等價于，即.故選：A8、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)的特點即可判斷出增長速度.【題目詳解】因為指數(shù)函數(shù)是幾何級數(shù)增長，當(dāng)x越來越大時，增長速度最快.故選：B9、D【解題分析】全稱命題的否定：將任意改存在并否定原結(jié)論，即可知正確選項.【題目詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴原命題的否定為.故選：D10、D【解題分析】分析：直接利用周期公式求解即可.詳解：∵，，∴．故選D點睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于簡單題.由函數(shù)可求得函數(shù)的周期為；由可得對稱軸方程；由可得對稱中心橫坐標(biāo).二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或（答案不唯一）【解題分析】由條件知，函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)且值域為，可以寫出若干符合條件的函數(shù).【題目詳解】函數(shù)定義域為R，值域為且為偶函數(shù)，滿足題意的函數(shù)解析式可以為：或【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的定義域、值域、奇偶性以，屬于中檔題.12、【解題分析】原式考點：三角函數(shù)化簡與求值13、【解題分析】將小正方體擴(kuò)展成4個小正方體，根據(jù)直線夾角的定義即可判斷出符合條件的條數(shù)【題目詳解】解：設(shè)ABCD﹣A1B1C1D1邊長為1第一條：AC1是滿足條件的直線；第二條：延長C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是滿足條件的直線；第三條：延長C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是滿足條件的直線；第四條：延長C1A1到C4且C4A1，AC4是滿足條件的直線故答案為4【題目點撥】本題考查滿足條件的直線條數(shù)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，考查分類與整合思想，是基礎(chǔ)題14、18【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)定義計算【題目詳解】故答案為：1815、【解題分析】根據(jù)，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為可求得結(jié)果.【題目詳解】因為，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查了利用誘導(dǎo)公式求值，解題關(guān)鍵是拆角：，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，,則長方體的對角線長等于三棱錐P-ABC外接球的直徑，即可求出三棱錐P-ABC外接球的表面積【題目詳解】∵三棱錐P?ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=，∴構(gòu)造長方體,使得面上的對角線長分別為4,5,，則長方體的對角線長等于三棱錐P?ABC外接球的直徑.設(shè)長方體的棱長分別為x,y,z,則，∴三棱錐P?ABC外接球的直徑為，∴三棱錐P?ABC外接球的表面積為.故答案為：26π.【題目點撥】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出球的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡整理即可得答案；（2）根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系化簡即可得答案.【小問1詳解】解：【小問2詳解】解：18、（1）；（2）100百件【解題分析】（1）根據(jù)收益總收入成本，進(jìn)行分情況討論，構(gòu)建出分段函數(shù)；（2）對分段函數(shù)每一段進(jìn)行研究最大值，然后再求出整個函數(shù)的最大值.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，.年產(chǎn)量為100百件時，該企業(yè)獲得利潤最大，最大利潤為1800萬元.【題目點撥】本題考查了數(shù)學(xué)建模問題、分段函數(shù)最值問題，數(shù)學(xué)建模要能準(zhǔn)確地從題意中抽象出函數(shù)模型，分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段不分家，一般需要分情況討論。19、（1）見解析；（2）.【解題分析】⑴將直線化為，解不等式組即可得證；⑵由（1）知定點為，結(jié)合題目條件計算得直線方程解析：（1）根據(jù)題意將直線化為的解得，所以直線過定點（2）由（1）知定點為，設(shè)直線的斜率為k，且直線與垂直，所以，所以直線的方程為20、（1）（2）或.【解題分析】（Ⅰ）由交并補(bǔ)集定義可得；（Ⅱ），說明有公共元素，由這兩個集合的形式，知或即可.試題解析：（Ⅰ），，，又，；（Ⅱ）若，則需或，解得或.21、（1）（2）直線AB和OP一定平行．證明見解析【解題分析】由已知中圓C過點，且圓M：關(guān)于直線對稱，可以求出圓心坐標(biāo)，即可求出圓C的方程；由已知可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，設(shè)PA：，PB：，求出A，B坐標(biāo)后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB斜率是否相等，即可得到答案【題目詳解】由題意可得點C和點關(guān)于直線對稱，且圓C和圓M的半徑相等，都等于r設(shè)，由且，解得：，故原C的方程為再把點代入圓C的方程，求得故圓的方程為：；證明：過點P作兩條相異直線分別與